改進的各向異性擴散圖像去噪算法

肖 丹，黃玉清

(西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621010)

改進的各向異性擴散圖像去噪算法

肖 丹，黃玉清

(西南科技大學信息工程學院，四川 綿陽 621010)

圖像去噪是圖像處理中的重要環節，經典的圖像去噪算法，如中值濾波、高斯濾波和加權平均濾波等，去噪效果都不是很理想。傳統方法在去除噪聲的同時，會使圖像的邊緣也變得模糊。偏微分方程(PDE)是近年比較流行的圖像處理方法，它具有各向異性的特點，在去除噪聲的同時，能很好地保持圖像的邊緣。基于現有算法，提出了一種改進的去噪算法。將傳統P-M算子中的固定邊緣閾值改為隨梯度模變化的自適應閾值，并結合圖像結構張量構造一個擴散函數。在圖像平坦區，改進的P-M模型具有各向同性的特點，有利于平滑噪聲；而在圖像邊緣處，該模型只沿切線方向擴散，有利于保護圖像細節。試驗表明，改進的P-M模型能很好地改善圖像去噪效果，同時也能很好地保持圖像的邊緣。

圖像去噪； 偏微分方程(PDE)； 各向異性； P-M模型； 邊緣閾值； 結構張量； 擴散函數

0 引言

圖像去噪是圖像處理的重要環節。傳統的去噪方法有很多，如中值濾波、高斯濾波和加權平均濾波等[1]。這些傳統的濾波方法主要是去除圖像的高頻成分，而圖像的邊緣也屬于高頻區域，所以對圖像噪聲濾除時會使圖像的細節變得模糊。近年來，偏微分方程(partial differential equation，PDE)在圖像去噪領域得到了廣泛的應用。該方法通過擴散系數的作用，使模型自動在圖像邊緣處和其他平坦區產生不同的平滑作用，因此能夠在去除噪聲的同時，很好地保留圖像的邊緣。

偏微分方程中，波動方程、熱傳導方程和拉普拉斯方程最早使用在數學和物理學中[2]。熱傳導方程在1990年被Perona和Malik推廣到非線性領域，建立了P-M模型[3]。該模型是基于熱擴散方程的各向異性擴散模型，它對非線性擴散方程的數值方法和理論研究起到了積極的推動作用，但試驗研究表明，P-M模型也存在缺陷，具有一定的局限性[4-5]。對于圖像細節特征比較復雜的圖像，P-M模型在去除噪聲時，圖像會出現“分塊狀”，因此有許多學者對P-M模型進行了改進。為了更好地區分圖像的邊緣區域，有的學者引入了結構張量[6-7]用于分析圖像局部結構，提出了基于結構張量的異性擴散系數[8]。除此之外，有的學者對P-M模型中的邊緣閾值進行修改。這些改進雖然都取得了較好的效果，但仍然存在一些問題。

本文通過分析P-M擴散系數，對其進行改進，并引用結構張量作為擴散系數的自變量。同時引入隨梯度模變化的邊緣閾值；在P-M各向異性擴散的基礎上，使其再自適應地選取擴散系數。試驗結果表明，在同樣的測試條件下，改進后的方法所得到的峰值性噪比(peak signal to noise ratio，PSNR)更高，且對應的均方根誤差(root-mean-square error，RMSE)更小，同時所需要的迭代次數也更少。

1 P-M模型的擴散函數

1990年，Perona和Malik提出了保護邊緣的非線性各向異性擴散方程(P-M擴散方程):

(1)

式中:u0(x,y)為原始圖像；|u|為梯度模,|u|用來區分該區域是平坦區域還是邊緣區域，在平坦區，|u|的值比較小，而在邊緣區，值比較大；f(|u|)為擴散系數函數，它的值表示擴散的強度，需要滿足的條件是f(0)=1,limx→∞f(x)=0，且f(|u|)∈(0,1)。

基于以上條件，提出了如下兩個擴散系數函數:

f1(|u|)=

(2)

f2(|u|)=exp-

(3)

2 改進的P-M模型圖像去噪

P-M模型雖然能夠兼顧噪聲的消除和保留邊緣，但也存在一定的問題:①當處理噪聲圖像時，噪聲點的梯度較大、擴散系數較小，不能完全消除噪聲，帶噪聲的邊緣也會被破壞；②模型本身在數學上是病態的，不能保證解的存在性和唯一性[2]。這些問題會使得處理后的圖像出現“階梯”效應[11-12]。因此本文對P-M模型的擴散系數進行了改進。

通過坐標變換，可將P-M模型改寫成以下的形式:

f(|u|)uζζ

(4)

式中:uηη和uζζ為u在η和ζ方向上的二階導數。

(5)

(6)

式中:ux和uy分別為u在x和y方向上的偏導數。

為解決P-M模型解的不適定性，將P-M模型改寫為:

(7)

對于擴散函數f(x)，要求在平坦區，f(x)趨于0.5，切線方向和梯度方向具有同等擴散；而在邊緣區域，f(x)趨于0，只沿著切線方向擴散，因此采用了以下擴散函數[13]:

(8)

由于圖像的梯度不能很好地獲得圖像的局部信息[14]，而結構張量能獲得更豐富的信息，所以引入結構張量[6-7]作為擴散函數的自變量，結構張量一般是由海森矩陣所得到的，即:

(9)

而J的兩個特征值分別為:

(10)

(11)

得到結構張量|I1-I2|，從而將此代入到引用的擴散函數中。

由于擴散函數中k為固定的閾值，但當圖像中噪聲幅度比較大時，噪聲也會產生較大的梯度值，將無法區分邊緣和噪聲，會使濾波性能降低，所以將閾值k改為隨著梯度|u|變換的函數[15]，即:

k(|u|)=kmexp[?/1+|u|]

(12)

式中:km為迭代穩定時的邊緣閾值，km=3；?為常量。

(13)

3 試驗結果及分析

為了驗證本文改進方法的有效性，本文選取了Pepper圖像和House圖像作為測試圖像，分別對均值濾波、高斯濾波、維納濾波、熱擴散、P-M模型和本文改進的P-M模型進行比較，對測試圖像分別加入標準差δ為30和20的噪聲。

比較幾種方法的去噪效果可知，本文的方法比其他方法的效果要好，本文方法在抑制噪聲的同時也很好地保留了圖像的細節。

表1是在不同方法下對兩種性能指標測試的試驗數據。根據表1可以看出，采用本文方法降低了RMSE值，提高了PSNR值。當噪聲越大時，該方法的效果更佳，并且改進后算法的運行時間比傳統方法的運行時間更少。

表1 試驗數據

表2是后三種方法對達到相同的精確度所需要的迭代次數。由表2可以看出，本文方法所需要的迭代次數比P-M模型和熱擴散所需要的次數少很多。

表2 迭代次數比較

4 結束語

本文在P-M模型的基礎上，將P-M模型中的邊緣固定閾值改為隨著梯度模變化的函數，并將結構張量引入到擴散函數中。該方法在去除噪聲的同時，保留了圖像的細節。根據試驗結果的比較，相對傳統的濾波方法和P-M模型，本文方法的效果更加有效。

[1] GONZALEZ R C，WOODS R E.Digital image processing[M].Second edition.Beijing:Beijing Electronic and Industrial Press,2002.

[2] 馮象初,王衛衛.圖像處理的變分和偏微分方程方[M].北京：科學出版社,2009.

[3] PERONA P,MALIK J.Scale-space and edge detection using anisotropic diffusion[J].IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence,1990,12(8):629-639.

[4] 黃敦,游志勝.對彩色和亮度通道進行各向異性擴散的彩色圖像分割[J].計算機工程,2002,28(6):166-169.

[5] CATTE F,COLL T,LIONS P,et al.Image selective smoothing and edge detection by nonlinear diffusion[J].SIAM Journal on Numerical Analysis,1992,29(1):182-193.

[6] 何寧,呂科,王袆雪.基于結構保持的MR圖像運動偽影快速抑制方法[J].電子學報,2013,41(7):1319-1323.

[7] LIU F,LIU J B.Anisotropic diffusion for image denoising based on diffusion tensors[J].Journal of Visual Communication and Image Representation,2012,23(3):516-521.

[8] 王益艷，肖丹，鐘超,等.基于結構張量擴散的改進PDE濾波算法[J].云南民族大學學報，2015,24(1):57-61.

[9] YOU Y L,XU W,TANNENBAUM A,et al.Behavioral analysis of anisotropic diffusion in image processing[J].IEEE Transaction on Image Processing,1996,5(11):1539-1553.

[10]GUICHARD F,MOISAN L,MOREL J M.A review of PDE models in image processing and image analysis[J].Journal de Physique IV,2002,92(12):137-154.

[11]郭敏，馬遠良，朱霆.基于偏微分方程的醫學超聲波圖像去噪方法[J].計算機工程與應用，2007,43(15):243-244.

[12]陳龍，蔡光程.基于PDE的圖像去噪方法[J].計算機工程與應用，2015,51(16):142-145.

[13]佟成，王士同，滿麗紅.一種改進的PDE圖像去燥方法[J].計算機工程與應用，2010,46(15):176-178.

[14]WEICKERT J.Applications of nonlinear diffusion in image processing and computer vision[J].Mathematica Universitatis Comenianae,2001(1):33-50.

[15]熊保平，杜民.基于PDE圖像去噪方法[J].計算機應用，2007，27(8):2025-2026.

Improved Anisotropic Diffusion Image Denoising Algorithm

XIAO Dan，HUANG Yuqing
(School of Information Engineering,Southwest University of Science and Technology,Mianyang 621010,China)

Image denoising is an important part of image processing,the denosing effect of classic image denoising algorithms,such as median filtering,Gaussian filtering,weighted average filtering,etc.,is not very ideal.With traditional methods,while removing noise,the edges of image may also become blurred. In recent years,partial differential equation (PDE) is a popular image processing method，and it has the characteristics of anisotropy,and it can well keep the edge while removing noise.An improved denoising algorithm is proposed based on the existing algorithms.The fixed threshold value in the traditional P-M operator is changed into an adaptive threshold,which is changing with the change of the gradient mode,and combining with the image structure tensor,a diffusion function featuring adaptive characteristics is constructed; it is isotropic in flat zone of the image,and conducive to smooth the noise while at the edge of the image,the model only diffuses along the tangential direction,and it is conducive to protect the image details.The tests show that the improved P-M model can improve the image denoising effect,meanwhile can also well keep the edge of the image.

Image denoising; Partial differential equation (PDE); Anisotropy; P-M model; Edge threshold; Structure tensor; Diffusion function

國家自然科學基金資助項目(61401379)

肖丹(1993—)，女，在讀碩士研究生，主要研究方向為視覺圖像處理、目標檢測與跟蹤。E-mail:xd930922@163.com。 黃玉清(通信作者)，女，碩士，教授，主要研究方向為無線控制及無線通信技術、圖像處理與機器視覺、智能技術應用。 E-mail:hyq_851@163.com。

TH7;TP391

A

10.16086/j.cnki.issn1000-0380.201707001

修改稿收到日期:2017-03-27