找準數學背景，巧解物理問題

彭立君

(湖南省岳陽市第一中學，湖南 岳陽 414000)

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找準數學背景，巧解物理問題

彭立君

(湖南省岳陽市第一中學，湖南 岳陽 414000)

物理問題的解答一般是把物理過程分析與數學技巧相結合，本文介紹一例少見的利用了雙曲線方程進行求解的問題.

數學背景；物理問題；雙曲線

物理問題的解答一般是把物理過程分析與數學技巧相結合，解答過程中常常利用“圓”、“二次函數”、“三角函數”、“數列”知識進行處理，單純的數學解法往往會失去物理特征，從而增加解題難度.但有一些問題隱藏著數學背景，如果能夠找出數學背景，解答也會變得簡潔清晰.

下面一例少見的利用了雙曲線方程進行求解.

如圖1所示，一艘海輪用船上天線D向海岸邊的信號接收器A發送電磁波脈沖求救信號．信號接收器和船上天線的海拔高度分別為AB=H和CD=h.船上天線某時刻發出一個電磁波脈沖信號，接收器接收到一個較強和較弱的脈沖，前者是直接到達的信號，后者是經海平面反射后再到達的信號，兩個脈沖信號到達的時間間隔為Δt，電磁波的傳播速度為光速c，求船上天線發出信號時海輪與海岸的距離L.

一般的求解過程如下：

如圖2所示，從船上天線D向接收器A發出的電磁波脈沖信號，一方面沿直線DA直接傳播到A，另一方面經過海面E點反射沿折線DEA傳播到A.

由兩點間距離公式可得(ct1)2=(H-h)2+L2，(ct2)2=(H+h)2+L2.根據題意有t2-t1=Δt，然后聯立可解.

本題看似就此解決問題，但在實際求解計算過程中，卻是很復雜的，學生一般列完方程抄了個答案了事.

有沒有更好解決問題的辦法呢？可以利用雙曲線方程來求解.

旋轉上解圖形如圖3所示，以C點為坐標原點，建立坐標如圖，標出各點坐標，列出題意方程：

很明顯，A(H,L)到F(-h,0)和D(h,0)兩定點距離之差為定值cΔt.動點到兩定點的距離之差為定值即為雙曲線方程，即A、F、D三點滿足數學的雙曲線關系，其中A為雙曲線上的點，D、F為雙曲線的焦點.

由題圖3可知，當x=H時，y=L，則

物理問題一般充分利用本身所具有的物理特征求解會比較簡單，本例卻是有些特殊，物理過程列出方程相當簡潔，但要求出結果卻很困難，而利用雙曲線知識會讓求解過程變得直截了當，是一類相當有趣的解法.

[1]827858797.2016物理高三一輪復習物理課時作業1[DB/OL].百度文庫，2016-09-13.

[責任編輯：閆久毅]

2017-05-01

彭立君(1970.11-)，男，湖南岳陽，中學高級，大學本科，從事高中物理教學與研究.

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1008-0333(2017)16-0066-02