談談蝸牛爬井式運動模型

郭公禮,于 淼

(1.烏魯木齊一中，烏魯木齊 830006, 2.烏魯木齊高級中學，烏魯木齊 830049)

?

談談蝸牛爬井式運動模型

郭公禮1,于 淼2

(1.烏魯木齊一中，烏魯木齊 830006, 2.烏魯木齊高級中學，烏魯木齊 830049)

通過對直線運動式蝸牛爬井模型和回旋式蝸牛爬井模型的分析，強調運動過程認識，探究運動的細節處理，更好掌握此類題型解題規律及變式應用.

蝸牛;爬井;模型

小學數學有這樣一道有趣的應用題：一口枯井十米深，一只蝸牛從井底向上爬，白天爬三米，晚上退兩米，問幾天能爬到井口？不少學生順口就說十天，而答案是八天，像這樣的運動，稱之為“蝸牛爬井式”的運動模型，這類試題的運動特點學生模型不熟，過程不清，細節易錯.對這類試題做一些題型的歸類與梳理總結一下易錯細節 ，探究一下解題規律，可以幫助學生更好的解決這類問題.

模型一：直線運動式的蝸牛爬井

這類試題的特點是：先正向直線運動X1的距離，再反向運動距離X2的距離，一個周期運動了(X1-X2)，但題目中所給時間往往不是運動周期的整數倍，所以計算距離時有N(X1-X2)+△X其中△X需要單獨處理，有時題目運動距離看似是(X1-X2)的整數倍，由于最后一段的正向運動的距離大于反向運動的距離，到達終點后無需返回，所以運動時間也不是周期的整數倍即N(t1-t2)+△t其中△t需要分段處理.體現了運動的共性與個性差異化處理模式.

例1 (動力學類)一個質量為2.0kg的物塊放置光滑的水平面上，用一大小等于2N的力作用在物體上，1.5秒后撤去此力，用大小相等方向相反的力再作用2秒，以后每個2秒改變一次力的方向，共作用100秒，求通過的位移以及第一次運動50m的位移所用的時間.

圖1

點評 本題的第二問易錯點在于運動的位移恰好是運動一個周期位移的整數倍，學生容易誤認為時間是運動周期的整數倍.實際上最后一段正向運動就達到了終點，不需反向運動就到達終點.

例2 (電場類)如圖2(a)所示，兩平行正對的金屬板A、B間加有如圖(b)所示的交變電壓，一重力可忽略不計的帶正電粒子被固定在兩板的正中間P處．若在t0時刻釋放該粒子，粒子會時而向A板運動，時而向B板運動，并最終打在A板上．則t0可能屬于的時間段是( ).

點評 粒子在電場中運動與動力學類似，但往往是采用逆向的命題，運到的模型題目已交代清楚，進入電場時刻不同，運動的模型與過程就不同，以四分之一周期為分界線，如正向運動的時間大于反向運動的時間，最終物體朝正向運動；反之則最終朝反方向運動.

例3 (動量類)如圖3所示，水平傳送帶AB長l=8.3m，質量為M=1kg的木塊隨傳送帶一起以v1=2m/s的速度向左勻速運動(傳送帶的傳送速度恒定)，木塊與傳送帶間的動摩擦因數μ=0.5.當木塊運動至最左端A點時，一顆質量為m=20g的子彈以v0=300m/s水平向右的速度正對射入木塊并穿出，穿出速度u=50m/s，以后每隔1s就有一顆子彈射向木塊，設子彈射穿木塊的時間極短，且每次射入點各不相同，g取10m/s2.求：

(1)在被第二顆子彈擊中前，木塊向右運動離A點的最大距離?

(2)木塊在傳送帶上最多能被多少顆子彈擊中?

(3)從第一顆子彈射中木塊到木塊最終離開傳送帶的過程中，子彈、木塊和傳送帶這一系統所產生的熱能是多少?(g取10m/s2)

解 (1)第一顆子彈射入木塊過程中動量守恒mv0-Mv1=mu+Mv1′ (1)

解得：v1′=3 m/s (2)

木塊向右作減速運動

解得t1=0.6 s/1 s(5)

解得t1=0.6 s<1 s(6)

(2)在第二顆子彈射中木塊前，木塊再向左作加速運動，時間t2=1 s-0.6 s=0.4 s(7)

速度增大為v2=at2=2 m/s(恰與傳遞帶同速)(8)

所以兩顆子彈射中木塊的時間間隔內，木塊總位移S0=S1-S2=0.5m方向向右 (10)

第16顆子彈擊中前，木塊向右移動的位移為S=15S0=7.5m(11)

第16顆子彈擊中后，木塊將會再向右先移動0.9m，總位移為0.9m+7.5=8.4m>8.3m木塊將從B端落下.所以木塊在傳送帶上最多能被16顆子彈擊中.

木塊向右減速運動過程中板對傳送帶的位移為S′=v1·t1+S1(13)

產生的熱量為Q2=μmgS′(14)

木塊向左加速運動過程中相對傳送帶的位移為S′=v1·t1-S2(15)

產生的熱量為Q3=μmgS′(16)

第16顆子彈射入后木塊滑行時間為t3有

解得t3=0.4 s (18)

木塊與傳送帶的相對位移為S=v1t3+0.8m(19)

產生的熱量為Q4=μmgS(20)

全過程中產生的熱量為Q=15(Q1+Q2+Q3)+Q1+Q4

解得Q=14155.5J(21)

點評 本題難點在于全程產生的熱量要細分為：子彈打擊木塊生熱，正向運動的摩擦生熱，反向運動的摩擦生熱，前15個子彈具有共性；即最后一發單獨分段處理.

模型二：回旋式蝸牛爬井

這類試題的特點是：先正向旋進X1的距離，再反向旋進X2的距離，一個周期運動了(X1-X2)，最后到達終點的距離為N(X1-X2)+X1距離(其中N為運動周期的整數倍)，抓住這一點就抓住了解題的關鍵.

例4 (磁場類)如圖4所示，在x<0與x>0的區域中，存在磁感應強度大小分別為B1與B2的勻強磁場，磁場方向均垂直于紙面向里，且B1>B2．一個帶負電荷的粒子從坐標原點O以速度V沿x軸負方向射出，要使該粒子經過一段時間后又經過O點，B1與B2的比值應滿足什么條件？

現分析粒子運動的軌跡.如圖5所示，在xy平面內，粒子先沿半徑為r1的半圓C1運動至y軸上離O點距離為2r1的A點，接著沿半徑為r2的半圓D1運動至O1點，OO1的距離：d=2(r2-r1)(3)

此后，粒子每經歷一次“回旋”(即從y軸出發沿半徑為r1的半圓和半徑為r2的半圓回到原點下方的y軸)，粒子的y坐標就減小d.設粒子經過n次回旋后與y軸交于on點，若oon即nd滿足：nd=2r1(4)

則粒子再經過半圓Cn+1就能經過原點，式中n=1，2，3，…為回旋次數．

聯(1)(2)(5)式可得B1、B2應滿足的條件：

點評 本題的難點一定要考慮粒子運動的周期性，許多學生沒有寫出表達的通式，只考慮了一種情況，造成漏解.

例5 (碰撞類)如圖6，在x軸下方有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于xy平面向外.P是y軸上距原點為h的一點，N0為x軸上距原點為a的一點.A是一塊平行于x軸的擋板，與x軸的距離為h/2，A的中點在y軸上，長度略小于a/2.帶電粒子與擋板碰撞前后，x方向的分速度不變，y方向的分速度反向、大小不變.質量為m，電荷量為q(q>0)的粒子從P點瞄準N0點入射，最 后又通過P點.不計重力.求粒子入射速度的所有可能值.

粒子速率不變,每次進入磁場與射出磁場位置間距離x1持不變有x1=N0′N0=2Rsinθ(2)

粒子射出磁場與下一次進入磁場位置間的距離x2始終不變,與N0′N1相等.由圖可以看出x2=a(3)

設粒子最終離開磁場時,與檔板相碰n次(n=0、1、2、3…).若粒子能回到P點,由對稱性,出射點的x坐標應為-a,即(n+1)x1-nx2=2a(4)

聯立(3)(4)(6)得n<3(7)

點評 本題的難點一是找到運動的表達通式，二是根據題目給定的特定條件(對稱和邊界)寫出滿足的臨界條件的關系式.

總之,蝸牛爬井式運動試題既具有周期性的共性特性，最后一段的處理又各具特點，應引起足夠的重視.

[1]教育部考試中心.普通高等學校招生全國統一考試大綱的說明[M].高等教育出版社，2012.

[責任編輯：閆久毅]

2017-05-01

郭公禮,男,烏魯木齊市,高級教師,新疆奧賽特級輔導員，從事高中物理教育.

G632

B

1008-0333(2017)16-0063-03