“突破常規(guī)”別樣解題也精彩
——從一道高考立體幾何復(fù)習(xí)題談起

常曉兵

(新疆大學(xué)附屬中學(xué),新疆 烏魯木齊 830000)

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“突破常規(guī)”別樣解題也精彩
——從一道高考立體幾何復(fù)習(xí)題談起

常曉兵

(新疆大學(xué)附屬中學(xué),新疆 烏魯木齊 830000)

本文試圖利用課堂上實(shí)際解決一道立體幾何題目的過程，向?qū)W生展示如何寫出動點(diǎn)坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生利用已知的知識，例如平面內(nèi)的直線方程，解決空間點(diǎn)的坐標(biāo)問題.同時(shí)，想說明解題無定法，不能有固定思維.立體幾何題目的一問就用傳統(tǒng)的方法解決，第二問就建系，需要具體問題具體對待.探尋解決問題的最好方法，用學(xué)生最易理解的方法解題.

集合題目；解題方法

立體幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力最有力的工具,也是高考的重要考點(diǎn),空間向量為解決立體幾何問題提供了一個十分有效的工具.因此人教版數(shù)學(xué)選修2-1第三章“空間向量與立體幾何”對此進(jìn)行了專題研究.但在實(shí)際教學(xué)中筆者發(fā)現(xiàn)：目前高考的立體幾何問題一般分為兩小問，第一小問多為空間中各種幾何元素的位置關(guān)系的問題；例如：要求證明線面垂直、面面垂直、線面平行等等；而第二小問多為求二面角、空間距離的問題.由于題目的固定性，導(dǎo)致解題方法也比較固定，一般學(xué)生在解決第一小問通常采用傳統(tǒng)方法，即利用學(xué)習(xí)過的判定定理、性質(zhì)定理及各種推論；解決第二小問一般采用建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量的夾角與二面角的關(guān)系求解.但筆者也發(fā)現(xiàn)，目前理科的立體幾何題目的出題者有意識的在加大難度.調(diào)整考察角度，如下題：

題目：如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.(1)在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結(jié)論；(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.

分析 本題第一小問涉及到動點(diǎn)P的位置的確定，學(xué)生對該類題目的解答不太熟悉，若采用傳統(tǒng)方法解題，勢必落入作多條輔助線的困境，對學(xué)生的空間想象能力的要求較高；而標(biāo)準(zhǔn)答案也是采用了傳統(tǒng)方法解答.第二小問求二面角的平面角的余弦值，大多數(shù)學(xué)生都會采用建系的方法，利用空間直角坐標(biāo)系解答.從表面上看這樣做是比較合理的，但實(shí)際在解題過程中會發(fā)現(xiàn)，這樣做就落入了出題者的陷阱，大量的計(jì)算使學(xué)生疲于應(yīng)付.最終筆者引導(dǎo)學(xué)生嘗試第一問就建系，看看能否解決問題.

此時(shí)有同學(xué)提出這樣的證明不完備，理由是甲同學(xué)事先如何知道P為BC的中點(diǎn)？

筆者抓住這個契機(jī)，就問大家那么怎樣解決這個問題呢？從甲同學(xué)的證明過程看，點(diǎn)P的確滿足題目的要求啊！此時(shí)乙同學(xué)舉手說到，應(yīng)該設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y,z),利用題目給出的條件解出坐標(biāo)的值.筆者接著問：“點(diǎn)P的坐標(biāo)有三個未知數(shù)，需要三個方程，那么請同學(xué)們找出三個方程解出坐標(biāo)的值，這時(shí)有同學(xué)提出解不出來，條件不夠；乙同學(xué)又說：點(diǎn)P在xOy平面內(nèi)它的豎坐標(biāo)為0.大家的情緒又被調(diào)動起來了，這時(shí)只需要兩個方程就可以解出來了.筆者給同學(xué)們幾分鐘的時(shí)間討論，突然同學(xué)丙舉手說：老師，點(diǎn)P在直線BC上，能否利用直線的方程找到x與y的函數(shù)關(guān)系，這樣就只需要一個方程.但有同學(xué)提出，在空間中的直線方程沒學(xué)過啊！丙同學(xué)說：直線BC就在平面xOy內(nèi)，能否在平面直角坐標(biāo)系中建立x與y的函數(shù)關(guān)系，然后求解.

(2)過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于點(diǎn)G，連接DG.因?yàn)镋D∥AC，所以ED∥l，則l是平面EBD與平面ABC的交線.因?yàn)槠矫鍱AC⊥平面ABC,DC⊥AC,所以DC⊥平面ABC，所以DC⊥l.又CG⊥l，所以l⊥平面DCG，所以l⊥DG，所以∠DGC即為所求二面角的平面角.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.高中數(shù)學(xué)選修2-1(人教A版).北京：人民教育出版社，2007，第2版.

[責(zé)任編輯 楊惠民]

2017-05-01

常曉兵(1978.12-)，男，本科學(xué)歷，陜西米脂人，中學(xué)一級教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué).

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