“突破常規”別樣解題也精彩
——從一道高考立體幾何復習題談起

常曉兵

(新疆大學附屬中學,新疆 烏魯木齊 830000)

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“突破常規”別樣解題也精彩
——從一道高考立體幾何復習題談起

常曉兵

(新疆大學附屬中學,新疆 烏魯木齊 830000)

本文試圖利用課堂上實際解決一道立體幾何題目的過程，向學生展示如何寫出動點坐標，引導學生利用已知的知識，例如平面內的直線方程，解決空間點的坐標問題.同時，想說明解題無定法，不能有固定思維.立體幾何題目的一問就用傳統的方法解決，第二問就建系，需要具體問題具體對待.探尋解決問題的最好方法，用學生最易理解的方法解題.

集合題目；解題方法

立體幾何是培養學生空間想象能力最有力的工具,也是高考的重要考點,空間向量為解決立體幾何問題提供了一個十分有效的工具.因此人教版數學選修2-1第三章“空間向量與立體幾何”對此進行了專題研究.但在實際教學中筆者發現：目前高考的立體幾何問題一般分為兩小問，第一小問多為空間中各種幾何元素的位置關系的問題；例如：要求證明線面垂直、面面垂直、線面平行等等；而第二小問多為求二面角、空間距離的問題.由于題目的固定性，導致解題方法也比較固定，一般學生在解決第一小問通常采用傳統方法，即利用學習過的判定定理、性質定理及各種推論；解決第二小問一般采用建立空間直角坐標系，利用法向量的夾角與二面角的關系求解.但筆者也發現，目前理科的立體幾何題目的出題者有意識的在加大難度.調整考察角度，如下題：

題目：如圖，已知直角梯形ACDE所在的平面垂直于平面ABC，∠BAC=∠ACD=90°，∠EAC=60°，AB=AC=AE.(1)在直線BC上是否存在一點P，使得DP∥平面EAB？請證明你的結論；(2)求平面EBD與平面ABC所成的銳二面角θ的余弦值.

分析 本題第一小問涉及到動點P的位置的確定，學生對該類題目的解答不太熟悉，若采用傳統方法解題，勢必落入作多條輔助線的困境，對學生的空間想象能力的要求較高；而標準答案也是采用了傳統方法解答.第二小問求二面角的平面角的余弦值，大多數學生都會采用建系的方法，利用空間直角坐標系解答.從表面上看這樣做是比較合理的，但實際在解題過程中會發現，這樣做就落入了出題者的陷阱，大量的計算使學生疲于應付.最終筆者引導學生嘗試第一問就建系，看看能否解決問題.

此時有同學提出這樣的證明不完備，理由是甲同學事先如何知道P為BC的中點？

筆者抓住這個契機，就問大家那么怎樣解決這個問題呢？從甲同學的證明過程看，點P的確滿足題目的要求啊！此時乙同學舉手說到，應該設點P的坐標為(x,y,z),利用題目給出的條件解出坐標的值.筆者接著問：“點P的坐標有三個未知數，需要三個方程，那么請同學們找出三個方程解出坐標的值，這時有同學提出解不出來，條件不夠；乙同學又說：點P在xOy平面內它的豎坐標為0.大家的情緒又被調動起來了，這時只需要兩個方程就可以解出來了.筆者給同學們幾分鐘的時間討論，突然同學丙舉手說：老師，點P在直線BC上，能否利用直線的方程找到x與y的函數關系，這樣就只需要一個方程.但有同學提出，在空間中的直線方程沒學過啊！丙同學說：直線BC就在平面xOy內，能否在平面直角坐標系中建立x與y的函數關系，然后求解.

(2)過B作AC的平行線l，過C作l的垂線交l于點G，連接DG.因為ED∥AC，所以ED∥l，則l是平面EBD與平面ABC的交線.因為平面EAC⊥平面ABC,DC⊥AC,所以DC⊥平面ABC，所以DC⊥l.又CG⊥l，所以l⊥平面DCG，所以l⊥DG，所以∠DGC即為所求二面角的平面角.

[1]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.高中數學選修2-1(人教A版).北京：人民教育出版社，2007，第2版.

[責任編輯 楊惠民]

2017-05-01

常曉兵(1978.12-)，男，本科學歷，陜西米脂人，中學一級教師，從事中學數學教學.

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1008-0333(2017)16-0053-02