提高核心素養(yǎng)妙解高考真題

劉彥永

(東北師范大學(xué)附屬中學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130021) )

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提高核心素養(yǎng)妙解高考真題

劉彥永

(東北師范大學(xué)附屬中學(xué)，吉林 長(zhǎng)春 130021) )

本文通過對(duì)2016年課標(biāo)Ⅰ卷高考?jí)狠S試題的分析和求解過程闡述，淺談試題命制和解答中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要性和重要性.

數(shù)學(xué)；核心素養(yǎng)；高考真題

從雙基教學(xué)的產(chǎn)生，到情感態(tài)度價(jià)值觀、學(xué)生學(xué)科核心素養(yǎng)等一系列理念的提出、研究和實(shí)施，教育教學(xué)目標(biāo)的實(shí)施逐步具體、明確、可操作.數(shù)學(xué)素養(yǎng)是相對(duì)于其它素養(yǎng)而言的，是專指一個(gè)人在事情處理過程中體現(xiàn)出的數(shù)學(xué)方面的素質(zhì)與水平的高低，或者是情境中某些因素激發(fā)了個(gè)人的數(shù)學(xué)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而使得個(gè)人更多地從數(shù)學(xué)角度來看待問題.素養(yǎng)離不開具體的情境，數(shù)學(xué)素養(yǎng)只有在解決問題中才能體現(xiàn)出來，沒有具體的情境，就無法判斷一個(gè)人的數(shù)學(xué)素養(yǎng)的高低.2016年高考數(shù)學(xué)試題充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)(包含數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析)，對(duì)深化課程改革、教材更新、引領(lǐng)數(shù)學(xué)教學(xué)等起到了積極的導(dǎo)向作用.通過分析其典型試題的試題命制、解答過程，能更具象化地揭示其所蘊(yùn)含或要求的核心素養(yǎng)，也更有利于強(qiáng)化培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念.

一、試題分析——試題命制蘊(yùn)含核心素養(yǎng)

本文以2016年課標(biāo)1卷壓軸題為載體，淺談試題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以及提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的必要性和重要性.試題呈現(xiàn)(2016課標(biāo)1理21)如下：

已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，求證x1+x2<2.

本題已知條件簡(jiǎn)明扼要，問題卻又內(nèi)涵豐富，讓筆者“一見鐘情”.第一問是已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問題，第二問本質(zhì)是函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題.既考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)方程和等價(jià)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，又考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，故是一道綜合考查核心素養(yǎng)的絕佳好題.通過試題的解答過程，可進(jìn)

一步體會(huì)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

二、試題求解——試題解答體現(xiàn)核心素養(yǎng)

問題(Ⅰ)的解法探究

問題(Ⅰ)屬于含有參數(shù)的函數(shù)問題.對(duì)于該類問題的解答，方法很多，而不同的方法也需要或體現(xiàn)出解題者所具備的不同的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

方法一：分離參數(shù)法

方法二：分類討論法

對(duì)于已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的問題，分類討論也是解決這類問題的有效“利刃”.對(duì)函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2求導(dǎo)可得f′(x)=(x-1)(ex+2a)，問題便轉(zhuǎn)化為探討導(dǎo)數(shù)何時(shí)為正何時(shí)為負(fù).進(jìn)一步而言，如何對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論呢？這個(gè)時(shí)候可以先討論我們最“喜歡”的情形，即a=0時(shí)的情況，從而也可以確立分類討論的標(biāo)準(zhǔn).

①當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=(x-2)ex有且只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意.

綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個(gè)零點(diǎn).

問題(Ⅱ)的解法探究

問題(Ⅱ)屬于雙變量問題.該類問題的解法不一，各解法過程也蘊(yùn)含著不同的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

方法一：利用已知條件統(tǒng)一變量

由(Ⅰ)知a>0，不妨設(shè)x1<1f(2-x2).又因?yàn)閒(x1)=f(x2)=0，也即證f(x2)>f(2-x2).可以證明更一般的結(jié)論以解決這個(gè)問題.構(gòu)造差函數(shù)F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+xe2-x(x>1)，則F′(x)=(x-1)(ex-e2-x).當(dāng)x>1時(shí)，ex>e2-x，所以F′(x)>0，F(xiàn)(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增.因此F(x)>F(1)=0，也就有f(x2)-f(2-x2)>0，即f(x2)>f(2-x2)，所以x1+x2<2.

方法二：構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)

對(duì)于本題，構(gòu)造H(x)=f(1+x)-f(1-x)=(x-1)ex+1+(x+1)e1-x，x∈(0,+∞)，求導(dǎo)數(shù)就有H′(x)=x(ex+1-e1-x)=ex(ex-e-x)>0 ，H(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增且H(0)=0，故H(x)>0恒成立.由(Ⅰ)知x1<10，H(x2-1)>0，

即H(x2-1)=f(1+x2-1)-f[1-(x2-1)]=f(x2)-f(2-x2)>0，故f(x2)>f(2-x2).

由f(x1)=f(x2)=0，知f(x2)=f(x1)>f(2-x2).因?yàn)閤1<1，2-x2<1，且f(x)在(-∞,1)單調(diào)遞減，故x1<2-x2，即x1+x2<2.

上述兩個(gè)典型問題的解答都充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)對(duì)解題的思路引領(lǐng).解法分別建立了對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，通過逐步深入的邏輯推理和數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算簡(jiǎn)化問題，最后使問題得以輕松解決.

三、試題討論——提高核心素養(yǎng)的必要性、重要性

本題由淺入深，對(duì)計(jì)算難度、思維深度的要求逐步提高，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的科學(xué)性、應(yīng)用性和創(chuàng)造性.其考查層次分明，區(qū)分度較高，使考生充分展示理性思維的廣度和深度，突出選拔功能和對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的考查.近幾年的高考?jí)狠S題都有明顯考查學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的傾向，這也昭示著提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是十分有必要的.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是一個(gè)高度抽象的思維產(chǎn)物，它要高于數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)一般的思維方法，因此有人認(rèn)為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都排除或忘掉后剩下的東西,即能從數(shù)學(xué)的角度看問題,有條理地進(jìn)行理性思維、嚴(yán)密求證、邏輯推理和清晰準(zhǔn)確地表達(dá)的意識(shí)與能力.但是它同時(shí)又不可能脫離這些下位的知識(shí)與方法，它只能在數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)思想方法的掌握過程中，通過逐步積累、領(lǐng)悟、內(nèi)省形成. 發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，有利于學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維分析世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，有助于發(fā)展學(xué)生的思維品質(zhì)，形成理性精神、批判思維等.然而，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，不是短時(shí)間內(nèi)就能形成的，需要長(zhǎng)期的堅(jiān)持和引導(dǎo).弗賴登塔爾認(rèn)為，數(shù)學(xué)教育方法的核心是學(xué)生的再創(chuàng)造.教師應(yīng)該創(chuàng)造合適的條件，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，用自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí).在實(shí)際教學(xué)過程中，廣大一線教師要結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容和創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生親自去感受、體驗(yàn)、思考、動(dòng)手做、總結(jié)和反思，才能有效地促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)與提高.

[1]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]王尚志. 如何在數(shù)學(xué)教育中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J]. 中國(guó)教師, 2016(9).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

劉彥永，男，碩士，中教一級(jí)教師，數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽教練員.

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