提高核心素養妙解高考真題

劉彥永

(東北師范大學附屬中學，吉林 長春 130021) )

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提高核心素養妙解高考真題

劉彥永

(東北師范大學附屬中學，吉林 長春 130021) )

本文通過對2016年課標Ⅰ卷高考壓軸試題的分析和求解過程闡述，淺談試題命制和解答中蘊含的數學核心素養以及培養學生數學核心素養的必要性和重要性.

數學；核心素養；高考真題

從雙基教學的產生，到情感態度價值觀、學生學科核心素養等一系列理念的提出、研究和實施，教育教學目標的實施逐步具體、明確、可操作.數學素養是相對于其它素養而言的，是專指一個人在事情處理過程中體現出的數學方面的素質與水平的高低，或者是情境中某些因素激發了個人的數學的認知結構，從而使得個人更多地從數學角度來看待問題.素養離不開具體的情境，數學素養只有在解決問題中才能體現出來，沒有具體的情境，就無法判斷一個人的數學素養的高低.2016年高考數學試題充分體現了數學的六大核心素養(包含數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析)，對深化課程改革、教材更新、引領數學教學等起到了積極的導向作用.通過分析其典型試題的試題命制、解答過程，能更具象化地揭示其所蘊含或要求的核心素養，也更有利于強化培養學生數學核心素養的理念.

一、試題分析——試題命制蘊含核心素養

本文以2016年課標1卷壓軸題為載體，淺談試題所蘊含的數學核心素養以及提高數學核心素養的必要性和重要性.試題呈現(2016課標1理21)如下：

已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(Ⅰ)求a的取值范圍；

(Ⅱ)設x1,x2是f(x)的兩個零點，求證x1+x2<2.

本題已知條件簡明扼要，問題卻又內涵豐富，讓筆者“一見鐘情”.第一問是已知函數零點個數求參數范圍的問題，第二問本質是函數的極值點偏移問題.既考查學生的數形結合、分類討論、函數方程和等價轉化等數學思想，又考查學生分析問題和解決問題的能力，故是一道綜合考查核心素養的絕佳好題.通過試題的解答過程，可進

一步體會所蘊含的數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析等數學核心素養.

二、試題求解——試題解答體現核心素養

問題(Ⅰ)的解法探究

問題(Ⅰ)屬于含有參數的函數問題.對于該類問題的解答，方法很多，而不同的方法也需要或體現出解題者所具備的不同的數學思維品質、關鍵能力等數學核心素養.

方法一：分離參數法

方法二：分類討論法

對于已知函數零點個數求參數范圍的問題，分類討論也是解決這類問題的有效“利刃”.對函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2求導可得f′(x)=(x-1)(ex+2a)，問題便轉化為探討導數何時為正何時為負.進一步而言，如何對參數進行討論呢？這個時候可以先討論我們最“喜歡”的情形，即a=0時的情況，從而也可以確立分類討論的標準.

①當a=0時，f(x)=(x-2)ex有且只有1個零點，不符合題意.

綜上所述，當a>0時f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

問題(Ⅱ)的解法探究

問題(Ⅱ)屬于雙變量問題.該類問題的解法不一，各解法過程也蘊含著不同的數學思維品質、關鍵能力等數學核心素養.

方法一：利用已知條件統一變量

由(Ⅰ)知a>0，不妨設x1<1f(2-x2).又因為f(x1)=f(x2)=0，也即證f(x2)>f(2-x2).可以證明更一般的結論以解決這個問題.構造差函數F(x)=f(x)-f(2-x)=(x-2)ex+xe2-x(x>1)，則F′(x)=(x-1)(ex-e2-x).當x>1時，ex>e2-x，所以F′(x)>0，F(x)在(-∞,1)單調遞增.因此F(x)>F(1)=0，也就有f(x2)-f(2-x2)>0，即f(x2)>f(2-x2)，所以x1+x2<2.

方法二：構造對稱差函數

對于本題，構造H(x)=f(1+x)-f(1-x)=(x-1)ex+1+(x+1)e1-x，x∈(0,+∞)，求導數就有H′(x)=x(ex+1-e1-x)=ex(ex-e-x)>0 ，H(x)在(0,+∞)上單調遞增且H(0)=0，故H(x)>0恒成立.由(Ⅰ)知x1<10，H(x2-1)>0，

即H(x2-1)=f(1+x2-1)-f[1-(x2-1)]=f(x2)-f(2-x2)>0，故f(x2)>f(2-x2).

由f(x1)=f(x2)=0，知f(x2)=f(x1)>f(2-x2).因為x1<1，2-x2<1，且f(x)在(-∞,1)單調遞減，故x1<2-x2，即x1+x2<2.

上述兩個典型問題的解答都充分體現了數學核心素養對解題的思路引領.解法分別建立了對應的數學模型，通過逐步深入的邏輯推理和數據分析、數學運算簡化問題，最后使問題得以輕松解決.

三、試題討論——提高核心素養的必要性、重要性

本題由淺入深，對計算難度、思維深度的要求逐步提高，很好地體現了數學的科學性、應用性和創造性.其考查層次分明，區分度較高，使考生充分展示理性思維的廣度和深度，突出選拔功能和對學生數學核心素養的考查.近幾年的高考壓軸題都有明顯考查學生數學素養的傾向，這也昭示著提高學生數學核心素養是十分有必要的.

數學核心素養是一個高度抽象的思維產物，它要高于數學知識、數學一般的思維方法，因此有人認為數學核心素養是指把所學的數學知識都排除或忘掉后剩下的東西,即能從數學的角度看問題,有條理地進行理性思維、嚴密求證、邏輯推理和清晰準確地表達的意識與能力.但是它同時又不可能脫離這些下位的知識與方法，它只能在數學知識的學習過程中，數學思想方法的掌握過程中，通過逐步積累、領悟、內省形成. 發展學生的數學核心素養，有利于學生學會用數學眼光觀察世界，用數學思維分析世界，用數學語言表達世界，有助于發展學生的思維品質，形成理性精神、批判思維等.然而，培養學生的數學核心素養，不是短時間內就能形成的，需要長期的堅持和引導.弗賴登塔爾認為，數學教育方法的核心是學生的再創造.教師應該創造合適的條件，讓學生在學習數學的過程中，用自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識.在實際教學過程中，廣大一線教師要結合具體的教學內容和創設情境，讓學生親自去感受、體驗、思考、動手做、總結和反思，才能有效地促進學生的數學核心素養的培養與提高.

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準[M].北京：人民教育出版社，2003.

[2]王尚志. 如何在數學教育中提升學生的數學核心素養[J]. 中國教師, 2016(9).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

劉彥永，男，碩士，中教一級教師，數學奧林匹克競賽教練員.

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