構造對偶式 妙解六類題

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學校,四川 資陽 641300)

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構造對偶式 妙解六類題

蔡勇全

(四川省資陽市外國語實驗學校,四川 資陽 641300)

對偶式是指形式相似并具有一定對稱關系的兩個數學式子.在數學解題過程中，如果能挖掘出題目中潛在的對稱性，合理構造出相應的對偶式，再結合適當的加、減、乘等運算，往往能使問題獲得巧妙的解決.

結構特征；構造；對偶式

有些數學問題，按常規思路尋求解答，常常由于繁瑣的運算而極易出錯，甚至思維一時受阻.這時若調整解題思路，根據題設條件或所求結論中某些式子的結構特征，聯想并構造出能與之形成和與差、積與商、正與負、互為有理化因式、互為共軛因式、正弦與余弦、正切與余切、奇函數與偶函數等匹配類型的對偶式，然后將這兩個對偶式通過合理的變換與運算，簡捷高效地完成問題的解決，使陷入僵局的解答過程“撥云見日”.這樣做，不僅可以極大地減少運算量，優化解題過程，起到化繁為簡、化難為易的效果，而且可以較好地體現數學的對稱美、奇異美、和諧美與統一美.本文結合實例介紹對偶式在解答幾類數學問題時的妙用，旨在探索題型規律，揭示解題方法，供大家參考.

一、三角求值

二、證明不等式或恒等式

1.證明不等式

例2 求證:2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x≤5.

證明 令A=2sin4x+3sin2xcos2x+5cos4x，B=2cos4x+3cos2xsin2x+5sin4x，則A+B=7(sin4x+cos4x)+6sin2xcos2x=7(sin2x+cos2x)2-8sin2x·cos2x=7-2sin22x=5+2cos22x①.

A-B=3(cos4x-sin4x)=3(cos2x-sin2x)=3cos2x②.

變式1 已知a，b，c，d∈R，a2+b2+c2+d2≤1，求證:(a+b)4+(a+c)4+(a+d)2+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4≤6.

證明 令A=(a+b)4+(a+c)4+(a+d)2+(b+c)4+(b+d)4+(c+d)4，再令B=(a-b)4+(a-c)4+(a-d)2+(b-c)4+(b-d)4+(c-d)4，A+B=6(a4+b4+c4+d4+2a2b2+2a2c2+2a2d2+2b2c2+2b2d2+2c2d2)=6(a2+b2+c2+d2)2≤6.

又B≥0，所以A≤6，即原不等式得證.

2.證明恒等式

例3 求證:sin3α·sin3α+cos3α·cos3α=cos32α.

證明 令m=sin3α·sinα·sin2α+cos3α·cosα·cos2α，且n=cos3α·cosα·sin2α+sin3α·sinα·cos2α，則m+n=cos2α，m-n=cos4α·cos2α，

所以2m=cos2α(1+cos4α)=2cos32α，m=cos32α，即原結論得證.

變式1 求證:cos2α+cos2β-2cosαcosβcos(α+β)=sin2(α+β).

評注 從例3及其變式1可以看到，構造對偶式證明恒等式時，對于同一個式子，可以局部對偶創設其對偶式，其余部分不變.

三、求最值或取值范圍

1.求最值

二、求取值范圍

例5 已知實數x，y滿足x2-3xy+y2=2，求x2+y2的取值范圍.

評注 對于例5的變式，題目中的兩個條件式本是一組對偶式，而在解答過程中，通過逆用公式又得到了sin(α+β)與sin(α-β)，從和與差的角度看，它們仍是一組對偶式，這正是解答本題的關鍵所在.

四、求和問題

1.函數中的求和問題

評注 從例6可以看到，構造對偶式解決函數中的求和問題時，可多次設出必要的對偶式，既體現個別(局部)性，又體現整體性.

2.二項展開式中的求和問題

3.數列中的求和問題

五、解方程

評注 從例9可以看到，對于無理方程的求解，是從和與差的視角來構造對偶式的；對于復數方程的求解，是從尋找共軛復數代數式的視角來構造對偶式的；對于三角方程的求解，是從正弦(切)對余弦(切)的角度來構造對偶式的.

六、求函數解析式

變式1 已知定義域為R的函數y=f(x)滿足3f(1-x)-f(1+x)=2x+4，求函數y=f(x)的解析式.

評注 若把上述變式中條件式左邊改為“3f(-x)±f(x)”或“3f(a-x)±f(a+x)”，則構造對偶式的替換策略依然不會發生改變.對于變式4，其對偶構造思想體現在利用f(x)與g(x)的奇、偶性，構造出“f(x)+g(x)”與“f(x)-g(x)”這一組對偶式.

[1]蔡勇全.構造"輔助元"解題的十種策略[J].數理化解題研究，2016(5).

[2]蔡勇全.簡化數學運算的若干策略[J].數學教學研究，2015(1).

[3]蔡勇全.從結構聯想模型巧證不等式的著眼點[J].中學數學研究，2012(1).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

蔡勇全(1980.8-)，男,四川省資陽市人，碩士，中學數學一級教師，從事數學教學.

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1008-0333(2017)16-0032-03