多角度、深探究
——由一道數學質檢題引發的思考

蔡貴斌

(福建省漳州外國語學校，福建 漳州 363000)

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多角度、深探究
——由一道數學質檢題引發的思考

蔡貴斌

(福建省漳州外國語學校，福建 漳州 363000)

本文通過對一道質檢題進行多向探索，靈活轉換，給出多種解法，培養學生合作交流和自主探究，以使學生的認識逐步深化，思路日見開闊，使學生做到知識學習和能力培養的協調發展，提高總復習的有效性.

一題多解；復習；解三角形；數學核心素養

在總復習中應該精選例題，善用一題多解，精準訓練，進行有效復習，讓學生從例題中探究解題規律，反復歸納、類比拓展，經歷數學學習過程，體驗解決數學問題的一般規律，并從數學思想方法的高度去分析、探究新的習題，提高高考總復習的有效性.

一、多角度評析例題

例1 (2017福建質檢)△ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,2bcosC-c=2a.

(Ⅰ)求B的大小；

考點分析 本小題主要考查正弦定理、余弦定理、兩角和與差的三角函數公式等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數與方程思想、化歸與轉化思想等.

思路分析 對于(Ⅰ)問可以有兩種思路： 1.用余弦定理進行轉化化簡可得； 2.用正弦定理進行轉化化簡可得.

對于(Ⅱ)問由于題目給出的條件是中線長，所以可以利用同角余弦值相等，然后用余弦定理進行計算，也可以用向量通過構造平行四邊形，也可以用坐標化.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得，b2=a2+c2+ac=c2+3c+9.①

把①代入②，化簡得c2-3c-10=0,

解得c=5,或c=-2(舍去)，所以c=5.

解法點評 以上解法實際上是解三角形的常規思路，利用同角的余弦值相等，只是計算量相對大一些，但屬于通法.

解法點評 在解法二中主要是由已知AC邊上的中線長，所以聯想到向量的加法.

其實解法三與解法一用的知識點實際上是一樣的，只是在原來的基礎上利用已知中點找中點.

由以上三種解法可見：對于《解三角形》的問題我們一般可以從正弦定理或者余弦定理入手解決我們的第一小問，至于第二小問解決的途徑因題而異，但主要的思路大體可以歸結為如下幾種：(1)利用正弦定理或余弦定理；(2)利用余弦定理結合不等式；(3)利用正弦定理及其兩角兩角和與差的三角函數公式等基礎知識；(4)從已知圖形構造平行四邊形或者三角形結合余弦定理；(5)利用中點或者幾等分點結合向量；(6)利用直角坐標進行坐標化解題.

二、對教學的啟示

1.建構知識形成知識網絡體系

在分析例1時，我們可以引導學生構建知識體系，關注概念的生成，關注知識的邏輯系統和網絡結構.比如說在解決例1的第一步時，我們可以給學生復習正弦定理和余弦定理以及兩角和與差的三角函數公式等基礎知識、向量的相關知識等，通過這些知識的復習，讓學生把所學知識綜合起來，串點成線、連線成網形成有機的整體，從而提高學生的綜合運用能力.

2.重視思維能力的培養

在復習《解三角形》時，一部分學生不滿足于前面總結的方法一和方法三直接用余弦定理進行求解，他們還從不同的視角總結出利用向量、構造平行四邊形、圖形坐標化等不同解法.這樣，學生從數學探究活動中不僅學到了知識，重要的是培養了綜合能力，從而提高了學生的數學素養.

3.把核心素養貫穿于數學教學整個過程

教什么，如何教？這是教師教學的永恒話題.基于數學核心素養的數學教學要更新觀念提升核心素養將“學生為本”的理念與教學實際相結合.

(1)整體把握數學課程：因此在解決例1中首先要整體把握三角函數課程內容結構——利用已知條件分析問題——解三角形——正余弦定理及其兩角和與差的三角函數公式等基礎知識進行轉化，除此以外還可以從向量的角度，幾何的角度去思考，對這一過程學生不斷感悟、理解抽象、推理，從而改善思維品質.

(2)從例1中我們還可以進行主題單元教學：所以在教學中我們可以進行整體分析，分析如下：首先對重點(本質、核心素養)的分析，在這節中我們最重要的是讓學生把握好正余弦定理的運用以及從本題聯想到向量、坐標等相關知識；其次是學情分析，在解決本問題前要觀察學生對三角函數、解三角形的基本知識以及通性通法的掌握情況；最后是教學方式，從學生的學情中我們再來確定是以讓學生自主探究還是教師進行逐步引導.總之，主題教學的除了可以促進學生自主學習還有助于提高教師專業水平.

(3)創設合適情境：圍繞教學環節，逐步引導學生思考和調動學生的積極情緒，讓學生展開聯想，激發學生的求知欲，喚醒長期記憶中的有關知識、經驗或表象，為掌握新知識創設一個最佳的心理和認知環境，使學生愛學、樂學.在復習《解三角形》中，拋出此例題，并告訴學生：此題有五種解法，你能找出幾種？激發學生的興趣和求知欲.

三、拓展例題簡析

例2 (2015全國甲卷文17)△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，BD=2DC.

思路分析 對(Ⅰ)問：1.利用正弦定理結合已知條件直接求解； 2.作圖構造直角三角形進行求解.

對(Ⅱ)問： 1.利用三角恒等變形公式得到∠B和∠C之間的一個關系式，再利用(1)的結果得出∠B和∠C之間的另一個關系式，聯立求解；

2.由正弦定理得AB和AD之間的關系，進而由余弦定理得BD和AD之間的關系；

3.由正弦定理得AB和AD之間的關系，進而由余弦定理得BC和AC之間的關系；

4.取AB的中點E，連接CE，則可證明△ACE是等邊三角形，△BEC是等腰三角形.由(1)和正弦定理得AB=2AC；

5. 延長AC到E，使得AE=AB，連接BE，則可證明△ABE是等邊三角形.，由C是AE的中點求得.

思路分析 1.利用單調遞增所以導數大于等于零轉化成恒成立問題； 2.利用單調遞增所以導數大于等于零轉化成二次函數問題； 3.應用結論“奇函數的導函數是偶函數，偶函數的導函數是奇函數”.

總之，一題多解多角度探究有助于學生對數學知識的整體建構以及理解運用，有助于學生對數學思想方法的理解運用，有助于學生分析問題解決問題的能力，有助于培養學生的創新思維能力、有助于提高學生的數學核心素養.教學經驗告訴我們一題多解的精髓就是能夠從不同的視角去思考問題，通過一題去整合所學知識，讓學生在緊張煩悶的高三復習中找到學習的樂趣，對提高高考復習效率起到重要作用.

[1]王儉訓.巧用一題多解，提高有效復習[J].東方青年教師，2010(11).

[2]朱永廠.從一道高考數學題的課堂探究說起[J].中學數學教學參考,2015(12).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

蔡貴斌,男,1986.10, 福建省龍海市,本科,中學二級職稱,從事數學教學與研究.

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