掌握函數(shù)與方程思想提升解題能力

牛立新

(甘肅省定西市渭源縣第一中學(xué)，甘肅 定西 748200)

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掌握函數(shù)與方程思想提升解題能力

牛立新

(甘肅省定西市渭源縣第一中學(xué)，甘肅 定西 748200)

函數(shù)與方程思想就是利用運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系.通過建立和構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題達(dá)到轉(zhuǎn)化問題的目的，從而使問題得到解決，本文通過實(shí)踐舉例說明函數(shù)與方程思想的應(yīng)用.例如恒成立問題中，數(shù)列問題中，近年高考中等，從而提升解題能力.

函數(shù)；數(shù)列；方程；解題能力

一、函數(shù)與方程思想概要

函數(shù)與方程思想：函數(shù)思想就是利用運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)去分析和研究數(shù)學(xué)中的等量關(guān)系.通過建立和構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再運(yùn)用函數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問題，達(dá)到轉(zhuǎn)化問題的目的，從而使問題獲得解決，方程思想就是從問題的數(shù)量關(guān)系入手，運(yùn)用數(shù)學(xué)語言將問題中的條件轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題獲得解決.

函數(shù)與方程思想實(shí)際上是一種模型化的思想.常見的應(yīng)用有：數(shù)字問題、面積問題、幾何問題方程化；應(yīng)用函數(shù)思想解方程問題、不等式問題、幾何問題、實(shí)際問題；利用方程作判斷；構(gòu)建方程模型探求實(shí)際問題；應(yīng)用函數(shù)設(shè)計(jì)方案和探求面積等.

方程與函數(shù)有著必然聯(lián)系，方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0，確定變化過程的某個(gè)或某些量，往往要建立某個(gè)或某些量的方程(組)，通過解方程(組)來求得這些量.函數(shù)與方程之間可以相互轉(zhuǎn)化，方程是函數(shù)關(guān)系式中的動(dòng)中求靜，函數(shù)則是方程的靜中求動(dòng).

二、函數(shù)與方程思想實(shí)踐及應(yīng)用

恒成立問題中運(yùn)用函數(shù)與方程思想

例1 對(duì)于滿足0≤p≤4的一切實(shí)踐，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，試求x的取值范圍.

解 不等式x2+px>4x+p-3恒成立，即(x-1)p+x2-4x+3>0恒成立，構(gòu)造函數(shù)f(p)=(x-1)p+x2-4x+3.

當(dāng)x=1時(shí)，f(p)=0,不滿足f(p)>0 ∴f(p)表示p的一次函數(shù)，

在數(shù)列問題中運(yùn)用函數(shù)與方程思想

例2 設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一個(gè)最大，并說明理由.

三、運(yùn)用函數(shù)與方程思想解近年高考題典例

A.(7/4,+∞) B.(-∞,7/4)

C.(0,7/4) D.(7/4,2)

(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0，f(0))處的切線方程；

[1]薛金星.中學(xué)教材全解·數(shù)學(xué)[M].西安：陜西人民教育出版社，2009.

2017-05-01

牛立新(1968.11-)，男，甘肅省定西市，中學(xué)高級(jí)教師，本科，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué).

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