掌握函數與方程思想提升解題能力

牛立新

(甘肅省定西市渭源縣第一中學，甘肅 定西 748200)

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掌握函數與方程思想提升解題能力

牛立新

(甘肅省定西市渭源縣第一中學，甘肅 定西 748200)

函數與方程思想就是利用運動與變化的觀點去分析和研究數學中的等量關系.通過建立和構造函數關系，再運用函數的圖象和性質去分析問題達到轉化問題的目的，從而使問題得到解決，本文通過實踐舉例說明函數與方程思想的應用.例如恒成立問題中，數列問題中，近年高考中等，從而提升解題能力.

函數；數列；方程；解題能力

一、函數與方程思想概要

函數與方程思想：函數思想就是利用運動與變化的觀點去分析和研究數學中的等量關系.通過建立和構造函數關系，再運用函數的圖象和性質去分析問題，達到轉化問題的目的，從而使問題獲得解決，方程思想就是從問題的數量關系入手，運用數學語言將問題中的條件轉化為數學模型——方程或方程組，通過解方程或方程組，或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.

函數與方程思想實際上是一種模型化的思想.常見的應用有：數字問題、面積問題、幾何問題方程化；應用函數思想解方程問題、不等式問題、幾何問題、實際問題；利用方程作判斷；構建方程模型探求實際問題；應用函數設計方案和探求面積等.

方程與函數有著必然聯系，方程f(x)=0的解就是函數y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標，函數y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0，確定變化過程的某個或某些量，往往要建立某個或某些量的方程(組)，通過解方程(組)來求得這些量.函數與方程之間可以相互轉化，方程是函數關系式中的動中求靜，函數則是方程的靜中求動.

二、函數與方程思想實踐及應用

恒成立問題中運用函數與方程思想

例1 對于滿足0≤p≤4的一切實踐，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，試求x的取值范圍.

解 不等式x2+px>4x+p-3恒成立，即(x-1)p+x2-4x+3>0恒成立，構造函數f(p)=(x-1)p+x2-4x+3.

當x=1時，f(p)=0,不滿足f(p)>0 ∴f(p)表示p的一次函數，

在數列問題中運用函數與方程思想

例2 設等差數列{an}的前n項和為Sn，已知a3=12,S12>0,S13<0.

(1)求公差d的取值范圍；(2)指出S1,S2,S3,…,S12中哪一個最大，并說明理由.

三、運用函數與方程思想解近年高考題典例

A.(7/4,+∞) B.(-∞,7/4)

C.(0,7/4) D.(7/4,2)

(1)求曲線y=f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

[1]薛金星.中學教材全解·數學[M].西安：陜西人民教育出版社，2009.

2017-05-01

牛立新(1968.11-)，男，甘肅省定西市，中學高級教師，本科，從事高中數學教學.

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1008-0333(2017)16-0024-02