解析構(gòu)造圓解最值問題

孫筱麟

(浙江省嵊州市馬寅初中學(xué)高中部，浙江 杭州 312400)

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解析構(gòu)造圓解最值問題

孫筱麟

(浙江省嵊州市馬寅初中學(xué)高中部，浙江 杭州 312400)

本文主要談?wù)勅绾螛?gòu)造圓求解最大值和最小值問題，供師生參考.

構(gòu)造圓；最大值；最小值

求最大值和最小值的方法較多，也各有特色，但構(gòu)造法卻非常新穎.

一、最大值問題

則z可以看成圓x2+y2=25上的點P(x,y)到這圓上兩定點B(3，-4)，C(-3，-4)的距離之和，這個和最大時，顯然P點在優(yōu)孤中點.

解 如圖1，∠ABC=∠ACB=α, ∠ABP=∠ACP=β,則AB=AC=2Rsinα,∴AB+AC=4Rsinα.又PC=2Rsin(α+β),PB=2Rsin(α-β).

注：當(dāng)β=0時，P(x,y)與A(0，5)重合.這時y=5,x=0.

二、最小值問題

與圓x2+y2=1有公共點，即直線與圓相交或相切，故形如t=|ax+by+c|的最值問題，可轉(zhuǎn)化為圓心到定直線距離的最值問題.

解 如圖2構(gòu)造一個輔助圓x2+y2=1，注意到M(cosα,sinα)恒在此圓上，由題意知直線恒過單位圓上一點M，即直線與輔助圓的關(guān)系為相切或相交.有圓心到直線距離d=

評注 此法的關(guān)鍵是根據(jù)點的特征聯(lián)想到單位圓上的點，深入探究隱含條件，巧妙構(gòu)造單位圓，問題轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系.

三、最大(小)值問題

分析 由x2+y2=169,把所求式子變形

解 如圖3，設(shè)P(x,y),A(5,-12),B(-5,-12)，

則所求式子M為圓x2+y2=169上一點到兩定點A、B的距離的之和，即M=|PA|+|PB|.

綜上所述，應(yīng)用構(gòu)造圓求最大(小)值問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)及所求題目的結(jié)構(gòu)特征去構(gòu)造相適應(yīng)的圓形求解即可.此法數(shù)形結(jié)合，直觀性強，故便于理解，因此有必要一讀.

[1]鄭毓信.“數(shù)學(xué)文化”與數(shù)學(xué)教育[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2005(10).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

孫筱麟，男，2001，浙江嵊州人，浙江省嵊州馬寅初中學(xué)高一年級.

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