直線與圓位置關系類問題的解法

王統文

(重慶市墊江中學校,重慶 墊江408300)

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直線與圓位置關系類問題的解法

王統文

(重慶市墊江中學校,重慶 墊江408300)

直線與圓方程問題求解問題，對剛進入解析幾何學習的初學者是較為困難的.怎樣才能順利完成解答是題他們非常關心的問題.本文就如何挖掘條件、怎樣利用幾何知識探求解決問題的途徑介紹幾種方法，幫助初學者樹立正確理念、掌握解題方法.

直線與圓；直線與圓的位置關系；解法

直線與圓方程的求解問題，對剛進入解析幾何學習的初學者是較為困難的.怎樣才能順利完成解答是他們非常關心的問題.本文就如何挖掘條件、怎樣利用幾何知識探求解決問題的途徑介紹幾種方法，幫助初學者樹立正確理念、掌握解題方法.

直線與圓的位置關系的判定通常有兩類方法：一是代數法，就是將直線方程代入圓方程后得到一個一元二次方程，該方程有兩個不同實根(即根的判別式Δ>0)時直線與圓相交，該方程有兩個相同實根(即根的判別式Δ=0)時直線與圓相切，該方程無實根(即根的判別式Δ<0)時直線與圓相離；二是幾何法，就是計算出圓心到直線的距離d后，與圓半徑r比較大小，當dr時直線與圓相離.在實際解題中，僅按照這些基本方法解決直線與圓位置關系類問題是有困難的.本文就如何解決直線與圓位置關系類問題介紹幾種方法.

一、利用直譯法判別直線與圓的位置關系

在求動點軌跡方程時常常用直譯法.直譯法就是將題設條件“翻譯”為數學術語，再利用相應數學知識解決相應數學問題.這個方法同樣適合判斷直線與圓的位置關系，就是直接計算出圓心到直線的距離d，再與圓半徑r比較大小.

例1 如果點M(x0,y0)為圓x2+y2=a2(a>0)內異于圓心的一點，那么直線x0x+y0y=a2與該圓的位置關系是( ).

A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交

所以直線x0x+y0y=a2與圓x2+y2=a2(a>0)相離.

A．相切 B．相交 C．相離 D．相切或相交

所以直線與圓相交.

二、利用曲線系解決切點弦問題

從圓外一點向圓引切線，這樣的切線有兩條，求兩條切線的方程是比較簡單的.若要通過求切線方程，進而求出兩切點坐標后得到過兩切點的直線(通常稱為切點弦)方程就比較麻煩.但是，如果利用切線垂直過切點的半徑，從而判定圓心、兩切點及圓外已知點四點共圓，再利用圓系，就可求出公共弦方程完成求解.

例3 過點P(3，-2)引圓C：(x+1)2+(y-2)2=9的兩切線，切點為A、B，則直線AB的直線方程為____.

分析 若按常規思路求解，一般要設出切線PA、PB的直線方程y+2=k(x-3)后，利用圓心到直線的距離等于圓半徑求出切線斜率k的值，再求出切點A、B的坐標，從而得到直線AB的方程.這個方法運算量較大，不宜使用.考慮到切線與過切點的半徑的垂直關系，不妨利用C、A、P、B都在以CP為直徑的圓上，從而AB是兩圓的公共弦，問題解決就變得簡單了.

解 如圖1，因為PA⊥CA，PB⊥CB，

所以C、A、P、B都在以CP為直徑的圓上.

且線段CP的中點坐標為M(1,0),

所以圓M的方程為(x-1)2+y2=8.

所以公共弦AB的直線方程為

[(x+1)2+(y-2)2]-[(x-1)2+y2]=9-8,即4x-4y+3=0.

三、利用平面幾何知識等價轉換

解析幾何法就是用代數方法研究幾何問題的數學方法.在解決解析幾何問題時自然要利用幾何知識解決相應問題.

例4 到點A(2,3)的距離等于1的直線同時到點B(-1,-1)的距離為d，當這樣的直線有4條時，則d的取值范圍是____.

分析 到點A距離等于1的直線就是與以A為圓心、1為半徑的圓的切線，到點B的距離等于d的直線是與以B為圓心、d為半徑的圓的切線.本題的4條直線就是上述兩圓的公切線，所以兩圓相離.

解 由題設知|AB|>d+1，即5>d+1，所以0

例5 圓C：(x-1)2+(y-2)2=2上至少有3點到直線l:x+y+m=0的距離1，則m的取值范圍是____.

分析 到直線距離相等的兩個點有兩種情況，一是過這兩點的直線與已知直線平行，二是已知直線過這兩點連線段的中點.當圓上至少有三點到直線l距離等于1時，三點中必有兩點在直線l的靠近圓心的同側，過這兩點的直線l1與已知直線l平行且距離為1，另外的點在直線l的另一側且與l平行距離也等于1的直線l2上(如圖2).從而圓心C到l1的距離小于半徑，到l2的距離不大于半徑.由此可求出參數范圍.

解 圓C：(x-1)2+(y-2)2=2的圓心C(1,2)到直線l:x+y+m=0的距離d為

當圓上至少有三個點到直線l:x+y+m=0的距離等于1時,

四、利用解三角形法解決有關圓的問題

涉及三角形問題時，要聯系三角形的解法，利用邊角關系、正弦定理、余弦定理等尋找解題方法.同時，要分析問題涉及的元素特征，選擇適當的三角形完成解答.

例6 直線與圓C：(x-1)2+(y-2)2=2相交于A、B兩點，則正三角形ABP的頂點P到圓心C的最大距離是____.

五、利用對稱性求解直線與圓方程問題

有些試題題設條件給出的有用信息較為隱蔽，如果不能挖掘這些隱藏的對解題有用的信息就很難完成試題解答.對稱性就是容易隱藏的信息，如角的兩邊關于角平分線對稱、入射線與反射線所在直線關于反射直線對稱等，解題時需重視.

例7 已知△ABC的頂點A的坐標為(6,4)，∠ABC的角平分線與∠ACB的外角平分線所在直線的方程分別為x-y=0,5x-y-10=0，求邊BC所在直線的方程.

分析 關于直線BC現有的已知條件很隱蔽，斜率、截距、直線上的點坐標都不是已知，要求BC的方程好像無從下手.但是，如果對角平分線有較深刻的認識，知道角的兩邊關于角平分線對稱，求出點A關于角平分線x-y=0,5x-y-13=0的對稱點A1、A2(如圖4)的坐標，即可求出直線BC的方程.

利用關于直線對稱解答試題時，抓住兩對稱點的連線與對稱軸垂直，連線段的中點在對稱軸上是關鍵.

利用對稱性，還可以解決一些最值問題.

[1]王統文.新課標下高中數學概念教學探討[J].教育，2016(11)：06.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王統文(1962.8-)，男，漢族，重慶市墊江縣人，中學高級教師，從事解題方法研究.

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