圓錐曲線題的數與形的雙重解法

楊曉光

(河北省邢臺市南宮中學，河北 邢臺 055750)

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圓錐曲線題的數與形的雙重解法

楊曉光

(河北省邢臺市南宮中學，河北 邢臺 055750)

解析幾何體現了代數和幾何的統一性，曲線的方程代表了其代數一方面，而方程的曲線又代表了幾何一方面，因此圓錐曲線問題可以從代數和幾何雙重方面來研究.圓錐曲線的離心率問題是高考的常考題型，而離心率的求解過程就可以體現出圓錐曲線習題的數與形的雙重解法.

圓錐曲線；代數方法；幾何方法；離心率；角平分線定理

圓錐曲線的方程展現了其代數方面，而其圖象又展現了它的圖形一面，因此解決圓錐曲線的相關題目就可以從數與形兩方面進行研究.筆者以下題為例，來展示圓錐曲線題目在數與形兩方面的解決方案，以期給讀者以啟發.

分析 (1)此題題目中的條件“a>b>0”是多數學生易忽略的地方，導致此題作圖時就出錯.由于a>b>0，漸近線斜率小于1，所以雙曲線的圖象更扁；

(2)解決離心率問題就需要通過題中的條件找到關于a,b,c的關系，進而求出離心率．

解法一 (代數方法) 聯立方程解出M,N的坐標，再利用題目中的條件進而求得答案.

點評 此題中的△OMN中線段OF2的長度是定值，所以要求△OMN的面積，只需找到點M,N的縱坐標，因此需聯立漸近線和直線MN的方程，解出M,N的縱坐標，使用面積公式，進而找到a,b,c的關系，求出離心率.此方法主要從代數的方面解決了雙曲線的離心率問題，方法比較直觀，學生容易理解，但缺點在于計算繁瑣，容易出錯.

由①②可得a=2b

解法三 (幾何方法) 在Rt△OMN中，發現x軸為∠MON的角平分線，利用角平分線定理[1]，找到關于a,b,c的關系，進而求出離心率．

由①②可得a=2b.

此題利用三種方法，兩個維度(代數，幾何)解決了解析幾何的相關問題，從而也剖析了解析幾何(圓錐曲線)的雙重性，即代數、幾何雙重特性.其實數學就是解決數與形的相關問題，數可以衡量形，形又可以形象的反映數，兩者相得益彰，因此學習數學的過程就是對數與形的認知過程，從而達到數形結合的境界，其實這就是數學美的所在.

[1] 陳杰明.解析與平幾聯手解題[J].數理天地，2016(7).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

楊曉光(1981-11)，男，漢族，河北人，理學學士，中學一級，從事高中數學教學和高中奧賽教學研究.

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1008-0333(2017)16-0040-02