例談求參問題的解題策略

岳茂富

(山東省寧陽縣第二實驗中學,山東 泰安 271400)

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例談求參問題的解題策略

岳茂富

(山東省寧陽縣第二實驗中學,山東 泰安 271400)

函數中的求參問題是高中階段一種重要題型，本文提供了四種求參方法，旨在培養學生通過對題目信息的分析以期在第一時間內選擇恰當的解題方法的能力.

求參;分離;討論;特值;放縮;能力;反思;數學思維

波利亞說：“中學數學教學的首要任務就是加強解題訓練.”而解題方法的優劣關乎解題效率.對于同一類型的題目，因方法選擇的不同，會使解題過程的繁簡程度大不一樣，思維量也有很大的不同.求參數的取值范圍一直以來為高考命題者所鐘愛，此種題目的解題方法也逐漸由單一走向多姿多彩.筆者結合近幾年求參數范圍題目的變化歸納了以下幾種方法，方便大家在做此類題目時根據題目特點進行恰當選擇.

一、分離參數法

分離參數法是最基本也是最常用的求參數范圍的方法，大體分兩步，一是分離，二是求函數值域.

例1 (2013年新課標Ⅰ卷理21)已知函數f(x)=x2+ax+b，g(x)=ex(cx+d)，若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.

(Ⅰ)求a，b，c，d的值;

(Ⅱ)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

解析 (Ⅰ)由已知得f(0)=2，g(0)=2，f′(0)=4，g′(0)=4.

而f′(x)=2x+b，g′(x)=ex(cx+d+c)，∴a=4，b=2，c=2，d=2.

(Ⅱ)當x≥-2時，x2+4x+2≤2kex(x+1)

①當x=-1時，-1≤0恒成立，所以k∈R.

綜上所述，k的取值范圍是[1,e2].

二、討論求參

自導數進入高中教材以來，在解答題中求參數取值范圍的方法不再單調，其中計算函數導數后分類討論求參數的范圍在每年高考題目中都有所涉及.這種題目若采用分離參數法，在求函數值域的時候會遇到瓶頸，這時往往要求導后通過討論參數的范圍判斷函數的單調性，借助函數的零點尋找滿足題意的參數范圍.

例2 (2014新課標Ⅱ卷理21)已知函數f(x)=ex-e-x-2x.

(Ⅰ)討論f(x)的單調性；(Ⅱ)設g(x)=f(2x)-4bf(x)，當x>0時，g(x)>0,求b的最大值；(Ⅲ)略.

解析 (Ⅰ)略；

(Ⅱ)g(x)=f(2x)-4bf(x)=e2x-e-2x-4x-4b(ex-e-x-2x)，顯然g(0)=0，g′(x)=2(e2x+e-2x-2)-4b(ex+e-x-2)=2(ex-e-x)2-4b(ex/2-e-x/2)2=2(ex/2+e-x/2)2(ex/2-e-x/2)2-4b(ex/2-e-x/2)2=2(ex/2-e-x/2)2[(ex/2+e-x/2)2-2b]，

因為x>0，所以ex/2+e-x/2>2，(ex/2+e-x/2)2>4，

當2b≤4，即b≤2時，g′(x)>0，所以g(x)在(0,+∞)上為增函數，所以g(x)>g(0)=0，所以b≤2滿足題意.

綜上知，b≤2.

三、特值輔助求參

對于在某個區間內的不等式恒成立求參問題，可以根據題目特點，選取適當的特值代入不等式求得參數的一個范圍，而參數的準確范圍顯然是由這個特值求得的范圍的子集，但是這個范圍對于進一步求參數的準確范圍有時會起到事半功備的效果.

例3 (2012浙江名校聯考)已知函數f(x)=ex(ax2+a+1)(a∈R).

(Ⅰ)若a=-1，求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程；

四、放縮求參

若f(x)≥g(x)，求f(x)≥h(x)恒成的某參數的取值范圍，若參數的準確范圍滿足g(x)≥h(x)(這是出題背景)，這時可以通過g(x)≥h(x)求參數的范圍.此種方法在2013年遼寧高考題中出現，題目中第二問的解決緊緊依賴第一問所證明的結論鋪墊.

(Ⅱ)若f(x)≥g(x)恒成立，求實數a的取值范圍.

解析 (Ⅰ)略.

下面證明當a>-3時，f(x)≥g(x)在[0,1]上不恒成立.

啟示：通過四種求參方法的分析，筆者認為解決這類題目應注意以下幾個方面.

1.培養學生敏銳的數學觀察能力與過硬的運算能力

運算能力是思維能力與運算技能的結合，對高考而言，離開運算談數學題目的解題思路與解決方法是沒有意義的．一般來說，運算通暢說明解題方法選擇正確，運算受阻時往往會對解題方法有所懷疑.所以，當解題方法正確時，過硬的運算能力就成為解題的保障.

2.培養學生解后反思的習慣

解后反思可以加深對題目的理解，提高解題的質量.解后反思重在反思解題切入點與解題細節.解題的切入點說到底是就解題方法的選擇，決定了解題的成敗.解題細節組成了解題過程，對解題細節反思，是因為每一個解題細節都決定了解題方向.

3.培養學生靈活的數學思維

每一道數學題目總有適合它的最優解法，而一種數學思想方法并不一定適用于一類題目，這就需要培養學生靈活的數學思維.對于一類數學題目，不能過份的依賴一種解題方法，以免形成非良性思維定勢.

[1]蘇凡文，高中數學中分離技巧的應用[J].中學數學研究，2015(08).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

岳茂富(1974.11-)，男，山東省泰安市寧陽縣人，中學一級，本科,從事中學階段的解題方法與課程改革研究.

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1008-0333(2017)16-0038-02