求二次函數最值問題的一些類型題

周儒東

(廣東高州中學，廣東 茂名 525200)

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求二次函數最值問題的一些類型題

周儒東

(廣東高州中學，廣東 茂名 525200)

本文主要總結了求二次函數最值問題的一些方法，其中包括配方法、函數的單調性、平移對稱軸、平移區間、函數的導數等等.

二次函數;最值

二次函數是高中數學必修一的一個非常重要的知識點，其中求二次函數的最值問題更是重中之重，是高一第一學期期中試與期末試中必考內容. 如果我們學生在平時做練習的過程中能夠積累一些類型題及類型方法，那么學生不僅能夠很好很快地掌握二次函數這個知識點，而且無論是在平時做題還是在考試中更能得心順手地做題.

下面我們就介紹高中有關二次函數的最值問題的幾類型題及其求解方法.

一、配方法

初中所學習的配方法一般用于具體的，其定義域為R的二次函數.

例1 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)的最小值.

解 ∵f(x)=x2+4x-1=(x+2)2-5≥-5,

∴fmin(x)=f(-2)=-5.

二、函數的單調性

函數的單調性是高一學習的用來求二次函數的最值問題的最常用的方法，一般用于具體的，定義在某個區間的二次函數.

例2 已知f(x)=x2+4x-1，求f(x)在區間[-3,1]的最值.

解 ∵y=f(x)的對稱軸為x0=-2，開口向上

∴y=f(x)在區間[-3,-2]上單調遞減，fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(-3)=-4；

又y=f(x)在區間[-2,1]上單調遞增，

∴fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

綜上，y=f(x)在區間[-3,1]上的最值為：fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

三、平移對稱軸

高中我們有時會遇到一種對稱軸沒定的，即一次項含有未知數的二次函數求最值，這時，我們就要學會先定區間，再平移對稱軸來討論.

例3 已知函數f(x)=x2+2ax-1，x∈[-5,5]，求f(x)的最小值.

分析 因為該函數圖象的對稱軸是個變量：x0=-a，開口向上，不知道對稱軸是否在[-5,5]區間內，所以要分對稱軸在區間的左側、對稱軸在區間內，對稱軸在區間的右側三種情況進行討論，如下圖所示：

解 易知：f(x)=x2+2ax-1圖象的對稱軸為：x0=-a.

(1)當-a≤-5，即a≥5時，y=f(x)在[-5,5]上單調遞增,∴fmin(x)=f(-5)=-10a+24.

(2)當-5<-a≤5，即-5≤a<5時，fmin(x)=f(-a)=-a2-1.

(3)當-a>5，即a<-5時，y=f(x)在[-5,5]上單調遞減,∴fmin(x)=f(5)=10a+24.

四、平移區間

還有是一種已知二次函數，但要求該函數在某個未定的區間內的最值問題，這時我們就應該先定函數的對稱軸，再平移區間來討論.

例4 已知函數f(x)=x2-2x+2，x∈[t,t+1]的最小值為g(t)，求g(t)的表達式.

分析 由于該函數的對稱軸是個定數x0=1，開口向上，而區間[t,t+1]未知，不知道對稱軸是否在該區間內，所以要分區間在對稱軸的左側、區間包含對稱軸、區間在對稱軸的右側三種情況進行討論，如下圖所示：

解 易知：f(x)=x2-2x+2圖象的對稱軸為：x0=1.

(1)當t+1≤1，即t≤0時，y=f(x)在[t,t+1]單調遞減,∴g(t)=fmin(x)=f(t+1)=t2+1.

(2)當t≤1

g(t)=fmin(x)=f(1)=1.

(3)當t>1時，y=f(x)在[t,t+1]單調遞增,

∴g(t)=fmin(x)=f(t)=t2-2t+2.

當然，以上的題都可以用高二導數的知識來求最值，以例2、3為例.

例2 解 ∵f(x)=x2+4x-1,∴f′(x)=2x+4.

令f′(x)=0，有x=-2.

∵f(-3)=-4，f(-2)=-5，f(1)=4,

∴y=f(x)在區間[-3,1]上的最值為：fmin(x)=f(-2)=-5，fmax(x)=f(1)=4.

例3 解 ∵f(x)=x2+2ax-1,∴f′(x)=2x+2a.

令f′(x)=0，有x=-a.

當-a≤-5，即a≥5時，由于x∈[-5,5]，所以f′(x)>0，因此y=f(x)在[-5,5]單調遞增，所以fmin(x)=f(-5)=-10a+24；

當-5<-a≤5，即-5≤a<5時，由于x∈[-5,5]，所以當x∈[-5,a)，f′(x)<0；當x∈[a,5]，f′(x)>0，因此y=f(x)在[-5,a)單調遞減，在[a,5]單調遞增，所以fmin(x)=f(a)=3a2-1；當-a>5，即a<-5時，由于x∈[-5,5]，所以f′(x)<0，因此y=f(x)在[-5,5]單調遞減，所以fmin(x)=f(5)=10a+24.

此外，我們還可以把求一些二次不等式的問題轉化為求二次函數最值問題.

[1]孫明科.金版學案，新課標高中同步輔導與檢測必修[M].北京：團結出版社，2015.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

周儒東(1986.10-)，男，廣東高州，中一,碩士研究生,從事代數研究..

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