空間動點軌跡問題的判斷與確定

呂 濤

(廣東省佛山市順德區容山中學，廣東 佛山 528303)

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空間動點軌跡問題的判斷與確定

呂 濤

(廣東省佛山市順德區容山中學，廣東 佛山 528303)

立體幾何是高考命題的重要部分，在近年的高考試題中，與立體幾何交匯的一類軌跡問題不斷涌現，是考生比較懼怕的一類難度較大的試題.本文力求把這些分散的問題集中起來，揭示了空間動點軌跡問題的本質，對這一類問題的解法給出了一個系統的歸納.

空間動點；軌跡問題；解題策略

《中學數學新課程標準》對學生的空間想象能力考查提出了更高要求：“能夠想象幾何圖形的運動和變化情況”．正是這一高要求導致了近幾年的高考試題或模擬試題中設置了許多與立體幾何交匯的一類軌跡問題．筆者從全國高考試題和有關省市高考模擬試題中收集并歸納了這類題目，試圖從解題策略上揭示題型規律，探索解題方法.

一、通過線面位置關系確定動點軌跡

例1 (2016年黃岡調考題) 平面α的斜線AB交α于點B，過定點A的動直線l與AB垂直，且交α于點C，則動點C的軌跡是( ).

A．一條直線 B．一個圓

C．一個橢圓 D．雙曲線的一支

解 過點A作直線AB的垂面β有且只有一個，該平面β與平面α必相交(否則AB⊥β，α∥β?AB⊥α,與AB為α的斜線矛盾)于一條直線m，則直線m即為點C的軌跡，故選A．

例2 (2015北京模擬題)l1、l2是兩條異面直線，在l1、l2之間有一平面α，與l1、l2都平行，且與l1、l2距離相等，求證：平面α上與l1、l2距離相等的點的軌跡是兩條相交直線．

分析 先將空間幾何的有關元素“集中”到平面α內，再利用平面幾何知識即可順利求解．

解 如圖1，設MN為l1、l2的公垂線段，交平面α于點O．因為l1、l2與α平行且距離相等，所以點O為MN的中點，且MN⊥平面α．

設P為所求軌跡上的一點，則P到l1、l2的距離PA、PB相等．設MA、MO確定的平面與α的交線為l3，則l3必過O點．在此平面內作AA′⊥l3，則AA′⊥平面α，故PA′為PA在平面α內的射影．由l1∥l3得AP⊥OA′，根據三垂線定理的逆定理知，PA′⊥l3．再設NB、NO確定的平面與α的交線為l4，在此平面內作BB′⊥l4，同理可證PB′⊥l4(PB′為PB在平面α內的射影)．∵AA′=BB′，PA=PB，∴PA′=PB′．∴P點的軌跡是∠A′OB′及其外角的平分線．故平面α上與l1、l2距離相等的點的軌跡是兩條相交直線．

點評 以上幾例都是通過題目中的線面位置關系得出一些容易判定的等式，從而確定動點的軌跡，其基本策略就是將空間問題“平面化”．

二、利用曲線的定義確定動點的軌跡

例4 如圖3，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側面BCC1B1內一動點，若P到直線BC與直線C1D1的距離相等，則動點P的軌跡所在的曲線是( ).

A.直線 B.圓

C.雙曲線 D.拋物線

解 連結PC1，在正方體中，由D1C1⊥平面BCC1B1，得D1C1⊥PC1，即PC1是P到直線C1D1的距離．由題意，點P到直線BC與點C1的距離相等．故P點的軌跡是以C1為焦點，BC為準線的拋物線，選D．

變式1 把“P到直線BC與直線C1D1的距離相等”變為“P到直線BC與直線C1D1的距離之比為2∶1”，則動點P的軌跡所在曲線是橢圓．

變式2 把“P到直線BC與直線C1D1的距離相等”變為“P到直線BC與直線C1D1的距離之比為1∶2”，則動點P的軌跡所在曲線是雙曲線．

點評 以上兩例先仍然是由點、線、面的位置關系得出一些等式或不等式，再結合圓錐曲線的定義求解，它完全符合“在知識交匯點處命題”的高考命題原則．

三、通過建系設點轉化為方程形式確定動點軌跡

A.拋物線 B.雙曲線 C.橢圓 D.直線

點評 對于復雜一些的空間圖形中點的軌跡問題可先將有關問題轉化到一個平面內，再建立平面直角坐標系，利用解析幾何或代數的方法求出軌跡方程進行判斷解決．

四、利用向量的方法確定動點軌跡

例7 (2016年深圳模擬)一定長線段AB的兩個端點分別沿互相垂直的兩條異面直線l、m運動，求它的中點的軌跡．

解 如圖7，設MN為l、m的公垂線段，連結AN，則AM⊥MN，NB⊥MN．分別記MN、AB的中點為O、P，AB=a，MN=b，

∴P點必在MN的垂直平分面上．

[1]王勇. 探求空間圖形中的軌跡問題[J].考試(高考數學版) ,2007(2).

[2]唐永,徐秀. 聚焦“正方體”中的軌跡[J]. 中學數學,2005(07).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

呂濤(1977.10-),男，湖北當陽，大學本科，中學一級教師,從事高考研究.

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1008-0333(2017)16-0022-02