求最值的常用方法
——以一道高考題為例

羅 燕

(陜西省延安市吳起高級中學,陜西 延安 717600)

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求最值的常用方法
——以一道高考題為例

羅 燕

(陜西省延安市吳起高級中學,陜西 延安 717600)

最值問題是一種能力考查題，它能有效地考查學生對知識和方法的綜合與靈活應用.因此，求解最值問題，是高考數學中的熱點，也是學生平時學習的難點.本文通過對一道高考題的研究，歸納了幾種高考中常用的求最值的方法.

最值；方法；高考題

最值問題是高中數學的重要內容之一，也是高考的熱點問題.它可以以求最值為載體，考查高中數學的主要知識與方法，解決最值問題要求學生要有扎實的數學基本功與良好的數學思維能力.本文試以2016年江蘇高考數學試卷中的14題為例，探析最值問題在高考中的常見解決方法.

題目：在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是____.

解法一 構造二次函數求最值

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

∴tanB+tanC=2tanBtanC.

又∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

∴tanA+2tanBtanC=tanAtanBtanC,

又tanBtanC>0,

∴tanA>2.

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

點評 設法構造二次函數，利用二次函數的解析式及性質獲得最大(小)值.

解法二 利用均值不等式求最小值

前面化解步驟同解法一，

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

點評 利用均值不等式求最值時，要注意“一正，二定，三相等”；構造“定值”，口訣是“和定積最大，積定和最小”.

解法三 利用函數單調性求最小值

點評 利用函數的單調性求最值，需要先判斷函數在給定區間上的單調性，然后結合單調性求最值

解法四 利用方程思想求最小值

設t=tanAtanBtanC,x=tanA,

解得t≥8.

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

方法 利用方程根的取值情況，列不等式組，然后求函數的最值.

當然,解最值問題的方法遠不止這些，比如，還有三角代換法、放縮法、反函數法等等，這里僅是根據這道高考題列舉了求最值問題的幾種方法.另外，通過不同方法的求解，也體現出高考題的綜合性.在平時的學習中，只要我們能夠熟練地掌握各種方法，就能在高考場上游刃有余.

[1]代歡.高中數學函數最值問題的幾種求解方法[J].理科考試研究，2017(01).

[2]王超.三角函數最值問題探究[J].理科考試研究，2014(07).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

羅燕(1985.7-)，女，四川，中學二級教師，研究生，從事數學教育.

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1008-0333(2017)16-0019-02