求最值的常用方法
——以一道高考題為例

羅 燕

(陜西省延安市吳起高級(jí)中學(xué),陜西 延安 717600)

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求最值的常用方法
——以一道高考題為例

羅 燕

(陜西省延安市吳起高級(jí)中學(xué),陜西 延安 717600)

最值問題是一種能力考查題，它能有效地考查學(xué)生對(duì)知識(shí)和方法的綜合與靈活應(yīng)用.因此，求解最值問題，是高考數(shù)學(xué)中的熱點(diǎn)，也是學(xué)生平時(shí)學(xué)習(xí)的難點(diǎn).本文通過對(duì)一道高考題的研究，歸納了幾種高考中常用的求最值的方法.

最值；方法；高考題

最值問題是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點(diǎn)問題.它可以以求最值為載體，考查高中數(shù)學(xué)的主要知識(shí)與方法，解決最值問題要求學(xué)生要有扎實(shí)的數(shù)學(xué)基本功與良好的數(shù)學(xué)思維能力.本文試以2016年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷中的14題為例，探析最值問題在高考中的常見解決方法.

題目：在銳角三角形ABC中，若sinA=2sinBsinC，則tanAtanBtanC的最小值是____.

解法一 構(gòu)造二次函數(shù)求最值

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC，

∴tanB+tanC=2tanBtanC.

又∵tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,

∴tanA+2tanBtanC=tanAtanBtanC,

又tanBtanC>0,

∴tanA>2.

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

點(diǎn)評(píng) 設(shè)法構(gòu)造二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的解析式及性質(zhì)獲得最大(小)值.

解法二 利用均值不等式求最小值

前面化解步驟同解法一，

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

點(diǎn)評(píng) 利用均值不等式求最值時(shí)，要注意“一正，二定，三相等”；構(gòu)造“定值”，口訣是“和定積最大，積定和最小”.

解法三 利用函數(shù)單調(diào)性求最小值

點(diǎn)評(píng) 利用函數(shù)的單調(diào)性求最值，需要先判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性求最值

解法四 利用方程思想求最小值

設(shè)t=tanAtanBtanC,x=tanA,

解得t≥8.

所以tanAtanBtanC的最小值是8.

方法 利用方程根的取值情況，列不等式組，然后求函數(shù)的最值.

當(dāng)然,解最值問題的方法遠(yuǎn)不止這些，比如，還有三角代換法、放縮法、反函數(shù)法等等，這里僅是根據(jù)這道高考題列舉了求最值問題的幾種方法.另外，通過不同方法的求解，也體現(xiàn)出高考題的綜合性.在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，只要我們能夠熟練地掌握各種方法，就能在高考場(chǎng)上游刃有余.

[1]代歡.高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題的幾種求解方法[J].理科考試研究，2017(01).

[2]王超.三角函數(shù)最值問題探究[J].理科考試研究，2014(07).

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

羅燕(1985.7-)，女，四川，中學(xué)二級(jí)教師，研究生，從事數(shù)學(xué)教育.

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1008-0333(2017)16-0019-02