指數函數y=ax圖象與直線y=x的交點個數探究

張優科

(陜西興平西郊高級中學，陜西 咸陽 713100)

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指數函數y=ax圖象與直線y=x的交點個數探究

張優科

(陜西興平西郊高級中學，陜西 咸陽 713100)

關于指數函數y=ax的圖象與直線y=x的位置關系問題，因受中學教材及一般教參中圖象的直觀影響，形成了一種錯誤認識，本文將從以下01兩種情況對這兩個函數交點情況進行探討.

指數函數;圖像;交點個數

關于指數函數y=ax的圖象與直線y=x的位置關系問題，因受中學教材及一般教參中圖象的直觀影響，形成了以下的認識：

(1)當0

(2)當a>1時，y=ax的圖象恒在直線y=x的上方.

我們要指出的是，(2)是一種錯誤認識，對于像y=2x，y=10x的圖象來說，它們確實在直線y=x的上方，但是當a=1.1>1時，y=1.1x的圖象就與直線y=x不但相交，而且有兩個交點，因為(2,1.21)在直線y=x的下方.以下我們來探討y=ax(a>1)圖象的特征.

當y=ax圖象上點的切線斜率為1，即y′=axlna=1，x=-loga(lna).

如果要求切點在直線y=x上，就應有

于是得到，(1)當a=e1/e時，y=ax的圖象與直線y=x相切于(e,e).

(2)當a>e1/e時，無論x≤0還是x>0，都有ax>x，因此y=ax的圖象恒在直線y=x的上方.

(3)當1

說明直線x=e與y=ax圖象的交點M(e,ae)在它與直線y=x的交點N(e,e)的下方，又x<0時，顯然有ax>x，此外當x充分大時，ax>x.因此y=ax的圖象與直線y=x有兩個交點，且兩交點分布在x=e的兩側.

綜上得到：當a=e1/e時，y=ax的圖象與直線y=x相切于(e,e)；

當a>e1/e時，y=ax的圖象恒在直線y=x的上方；

當1

從而糾正了“當a>1時，y=ax的圖象恒在直線y=x的上方”的錯誤認識.從中可領悟高等數學對初等數學的指導意義，以及幾何直觀在數學學習中既有其積極意義——形象、直觀，能啟迪思路，但也有其不足的地方——因直觀帶來的片面性、局限性.所以應全面看待幾何直觀在數學學習和研究中的作用,更好地把握這一思想方法.

[1]張真子. 函數y=a～x和y=log_a～x圖象與直線y=x交點的探討[J].黑龍江科技信息1999(12):55.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

張優科(1982.10-)，男，漢族，中學二級教師，本科，從事中學基礎數學教學.

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1008-0333(2017)16-0002-01