三角函數中的方程思想

王國賓

(山東省臨沂第十九中學，山東 臨沂 276016)

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三角函數中的方程思想

王國賓

(山東省臨沂第十九中學，山東 臨沂 276016)

三角函數中的諸多公式均可以看作方程，因此利用方程的思想觀點去分析問題、轉化問題，使問題獲得解決，也是我們解題的方向.本文就：(1)利用求根公式簡化條件；(2)方程中的估值定角；(3)利用方程中的制約關系確定角的范圍；(4)合理構建方程求值；(5)利用方程有解的充要條件求最值進行了初步探討.

方程思想；三角函數；轉化

三角函數中的諸多公式均可以看作方程，因此利用方程的思想觀點去分析問題、轉化問題，使問題獲得解決，也是我們解題的方向.下面分析三角函數中的方程思想.

一、利用求根公式簡化條件

分析 題設中條件較為復雜，若考慮分解因式，則不易求解.因此可看作關于sinx(或cosx)的一個二次方程，利用二次方程求根公式可簡化條件，從而達到求值的目的.

解 原方程整理為2sin2x+(cosx-6)sinx+3cosx-cos2x=0，

Δ=(cosx-6)2-8(3cosx-cos2x)=9(cosx-2)2，

二、方程中的估值定角

分析 角α的范圍是由已知的三角方程確定，但解這個方程又超出了高中數學的范圍.因此可利用α所在的范圍內，有這樣的α值使得方程成立的這一原理，通過估值選出正確答案，或利用數形結合的方法解決.

因此應選C.

圖1

三、利用方程中的制約關系確定角的范圍

在△ABC中0°

四、合理構建方程求值

例4 在△ABC中，BC上的中線AD=1，∠C=60°，試求△ABC面積的最大值.

圖2

解 設BC=2x，AC=y，則DC=x.

在△ADC中由余弦定理得12=x2+y2-2xycos60°，

即1=x2+y2-xy≥2xy-xy=xy，所以xy≤1.

五、利用方程有解的充要條件求最值

分析 將已知函數表達式去分母，整理為關于sinx的一元二次方程，根據方程有實根的條件利用判別式可求得函數的最大值.

解 已知函數整理為(1+y)sin2x+(2y-1)sinx+y=0 ①.

[1]楊昌存.略談高中數學三角函數教學策略[J].教師,2011(21).

[2]王尚志、張思明、胡鳳娟、付麗.整體把握高中數學新課程中的三角函數與三角[J].中學數學教學參考,2008(15).

[3]南紅安.利用函數與方程的思想解三角形問題[J].考試周刊,2009(50).

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

王國賓(1979.6-)，男，山東省沂水縣，本科，中學一級，從事新課程資源的開發與利用.

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1008-0333(2017)16-0009-03