排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想

羅小平

(江西省信豐中學(xué),江西 贛州 341600))

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排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想

羅小平

(江西省信豐中學(xué),江西 贛州 341600))

本文筆者通過幾個(gè)排列組合問題的實(shí)例，在求解問題過程中滲透多種數(shù)學(xué)思想方法，既達(dá)到了解題的目的，又提高了讀者的數(shù)學(xué)思維能力.值得大家學(xué)習(xí)與參考.

排列組合;數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)思維能力

一、函數(shù)與方程思想

函數(shù)與方程思想就是利用函數(shù)、方程的觀點(diǎn)和方法來處理變量或未知數(shù)之間的關(guān)系，從而解決問題的一種思維方式.函數(shù)與方程思想體現(xiàn)了動(dòng)與靜、變量與常量的辯證統(tǒng)一.二項(xiàng)展開式的系數(shù)最值的求解，排列、組合的有關(guān)求值問題中，都蘊(yùn)藏著豐富的函數(shù)與方程思想.

例1 已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的展開式中的一次項(xiàng)的系數(shù)為19.

①求f(x)展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)的最小值；

②當(dāng)項(xiàng)系數(shù)最小時(shí)，求f(x)展開式中x7項(xiàng)的系數(shù).

分析 本題在得到m，n的關(guān)系后可借助于二次函數(shù)知識解決.

二、數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合的解題方法，就是把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和幾何圖形結(jié)合起來考慮的思維方式.其實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，抽象思維與形

象思維結(jié)合起來，使抽象問題具體化，復(fù)雜問題簡單化，通過“數(shù)”與“形”的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，從而使問題得以解決.在解決有關(guān)排列問題時(shí)，如果能借助于圖形進(jìn)行數(shù)形結(jié)合，有時(shí)能使問題解決得簡潔明快.

例2 以圓x2+y2-2x-2y-1=0內(nèi)橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有多少個(gè)？

分析 利用坐標(biāo)系，先求出圓內(nèi)的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，再求組合數(shù).

三、分類討論思想

分類討論是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)的是化整為零，各個(gè)擊破的思想.在解答數(shù)學(xué)題時(shí)，如果題目受到各種限制條件的制約，很難從整體上加以解決，這時(shí)就從分割入手，把整體劃分為若干個(gè)局部，轉(zhuǎn)而去解決局部問題，最后達(dá)到整體上的解決.在進(jìn)行分類討論時(shí)，一定要做到不重不漏.

例3 新學(xué)期開始，某學(xué)校新招聘了6名教師，要把他們按排到3個(gè)宿舍去，每個(gè)宿舍2人，其中甲必須在一號宿舍，乙與丙不能到三號宿舍，不同的安排方法有多少種？

分析 本題是有附加條件的組合問題，可先安排甲，然后對乙、丙進(jìn)行分類，最后再安排其他人.

解 先安排甲到一號宿舍，然后安排乙.

四、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想

等價(jià)轉(zhuǎn)化就是在處理問題時(shí)，把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或易解決的問題，最終求得問題的解答.有些排列組合問題，根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征，需要變換觀察的視角，改變思考的路徑，采用“倒過來想”，“正難則反”的逆向思維策略，以此來達(dá)到順暢解題的目的.

例4 在2010年世博會期間，組織者要從6名男志愿者和4名女志愿者中選出4人，分別從事解說，接待，宣傳，清潔工作.若這4人中至少有一名女志愿者，則選派方案共有多少種？

分析 本題直接求解，需要討論女志愿者的人數(shù)，比較麻煩，而我們采用逆向思考的方法，可使問題簡潔獲解.

五、整體思想

整體思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，就是結(jié)合題目條件，把特殊的組合視為一個(gè)整體，通過整體代入來達(dá)到處理與解決問題的目的.在排列組合問題中，許多元素相鄰，可按“整體思想”把相鄰的元素視為一個(gè)元素，作為一個(gè)整體進(jìn)行計(jì)算，然后再將相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列.

例5 讓4對孿生兄弟排成一排，每對孿生兄弟不能分開，共有多少種排法？

分析 將每對孿生兄弟看成一個(gè)整體進(jìn)行排列，然后內(nèi)部再進(jìn)行排列.

[1]洪其強(qiáng)．解排列組合問題中的數(shù)學(xué)思想[J]．高中數(shù)理化，2009(Z1)．

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

羅小平(1975.11-)，男，江西信豐人，高級教師，從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué).

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