排列組合問題中的數學思想

羅小平

(江西省信豐中學,江西 贛州 341600))

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排列組合問題中的數學思想

羅小平

(江西省信豐中學,江西 贛州 341600))

本文筆者通過幾個排列組合問題的實例，在求解問題過程中滲透多種數學思想方法，既達到了解題的目的，又提高了讀者的數學思維能力.值得大家學習與參考.

排列組合;數學思想;數學思維能力

一、函數與方程思想

函數與方程思想就是利用函數、方程的觀點和方法來處理變量或未知數之間的關系，從而解決問題的一種思維方式.函數與方程思想體現了動與靜、變量與常量的辯證統一.二項展開式的系數最值的求解，排列、組合的有關求值問題中，都蘊藏著豐富的函數與方程思想.

例1 已知f(x)=(1+x)m+(1+x)n(m,n∈N*)的展開式中的一次項的系數為19.

①求f(x)展開式中x2項的系數的最小值；

②當項系數最小時，求f(x)展開式中x7項的系數.

分析 本題在得到m，n的關系后可借助于二次函數知識解決.

二、數形結合思想

數形結合的解題方法，就是把數學問題中的數量關系和幾何圖形結合起來考慮的思維方式.其實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，抽象思維與形

象思維結合起來，使抽象問題具體化，復雜問題簡單化，通過“數”與“形”的聯系與轉化，從而使問題得以解決.在解決有關排列問題時，如果能借助于圖形進行數形結合，有時能使問題解決得簡潔明快.

例2 以圓x2+y2-2x-2y-1=0內橫坐標與縱坐標均為整數的點為頂點的三角形有多少個？

分析 利用坐標系，先求出圓內的整點個數，再求組合數.

三、分類討論思想

分類討論是一種重要的解題策略，它體現的是化整為零，各個擊破的思想.在解答數學題時，如果題目受到各種限制條件的制約，很難從整體上加以解決，這時就從分割入手，把整體劃分為若干個局部，轉而去解決局部問題，最后達到整體上的解決.在進行分類討論時，一定要做到不重不漏.

例3 新學期開始，某學校新招聘了6名教師，要把他們按排到3個宿舍去，每個宿舍2人，其中甲必須在一號宿舍，乙與丙不能到三號宿舍，不同的安排方法有多少種？

分析 本題是有附加條件的組合問題，可先安排甲，然后對乙、丙進行分類，最后再安排其他人.

解 先安排甲到一號宿舍，然后安排乙.

四、等價轉化思想

等價轉化就是在處理問題時，把待解決的問題或難解決的問題，通過某種轉化過程，歸結為一類已經解決或易解決的問題，最終求得問題的解答.有些排列組合問題，根據題目的結構特征，需要變換觀察的視角，改變思考的路徑，采用“倒過來想”，“正難則反”的逆向思維策略，以此來達到順暢解題的目的.

例4 在2010年世博會期間，組織者要從6名男志愿者和4名女志愿者中選出4人，分別從事解說，接待，宣傳，清潔工作.若這4人中至少有一名女志愿者，則選派方案共有多少種？

分析 本題直接求解，需要討論女志愿者的人數，比較麻煩，而我們采用逆向思考的方法，可使問題簡潔獲解.

五、整體思想

整體思想是一種重要的數學思想方法，就是結合題目條件，把特殊的組合視為一個整體，通過整體代入來達到處理與解決問題的目的.在排列組合問題中，許多元素相鄰，可按“整體思想”把相鄰的元素視為一個元素，作為一個整體進行計算，然后再將相鄰元素內部進行排列.

例5 讓4對孿生兄弟排成一排，每對孿生兄弟不能分開，共有多少種排法？

分析 將每對孿生兄弟看成一個整體進行排列，然后內部再進行排列.

[1]洪其強．解排列組合問題中的數學思想[J]．高中數理化，2009(Z1)．

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

羅小平(1975.11-)，男，江西信豐人，高級教師，從事高中數學教育教學.

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1008-0333(2017)16-0008-02