淺談高中數(shù)學(xué)概念研究的幾點(diǎn)認(rèn)識

戴天竹

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué),江蘇 蘇州 215000)

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淺談高中數(shù)學(xué)概念研究的幾點(diǎn)認(rèn)識

戴天竹

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué),江蘇 蘇州 215000)

本文以導(dǎo)數(shù)的概念、數(shù)列求和的引入為例，從多角度闡述了研究概念的重要性以及研究概念的常用方法.

定義；概念；導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)的定義；數(shù)列求和；放縮法

著名數(shù)學(xué)家華羅庚教授在“大哉數(shù)學(xué)之為用”一文中精采地敘述了數(shù)學(xué)的各種應(yīng)用：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁等各個方面，無處不有數(shù)學(xué)的重要貢獻(xiàn)．他指出：數(shù)學(xué)是一切科學(xué)得力的助手和工具．它有時由于其它科學(xué)的促進(jìn)而發(fā)展，有時也先走一步，領(lǐng)先發(fā)展，然后再獲得應(yīng)用．任何一門科學(xué)缺少了數(shù)學(xué)這一工具便不能確切地刻劃出客觀事物變化的狀態(tài)，更不能從已知數(shù)據(jù)推出未知的數(shù)據(jù)來，因而就減少了科學(xué)預(yù)見的可能性，或者減弱了科學(xué)預(yù)見的精確度．?dāng)?shù)學(xué)的重要地位也帶來了數(shù)學(xué)這門學(xué)科在高中教育中的重要地位．現(xiàn)今，高考數(shù)學(xué)對基礎(chǔ)概念，基礎(chǔ)技能更加重視，這也提示我們：高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對概念深入研究是重要的．

從多角度把握概念的含義對我們解決數(shù)學(xué)問題有舉足輕重的作用．本文就從多角度把握概念含義來談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)概念的研究．

一、“數(shù)”的角度

“數(shù)形結(jié)合”是一個很重要的數(shù)學(xué)思想方法．我們就先從“數(shù)”的角度來研究，這里以導(dǎo)數(shù)的定義來舉例．

解：我們先將所求式子變形(向?qū)?shù)定義中式子靠攏)，有

二、“形”的角度

這里我們也以導(dǎo)數(shù)為例．導(dǎo)數(shù)f′(x0)的幾何意義就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P0(x0,f(x0))處的切線的斜率．

我們都知道切線可以用直線逼近的方法得到：設(shè)P是曲線上不同于P0的一點(diǎn)，隨著點(diǎn)P沿曲線向點(diǎn)P0運(yùn)動，割線PP0在點(diǎn)P0附近越來越逼近曲線在點(diǎn)P0處的切線．當(dāng)點(diǎn)P無限逼近點(diǎn)P0時，直線PP0最終成為曲線在點(diǎn)P0處的切線．

如右圖所示曲線，此類曲線與點(diǎn)P0處的切線之間還有些特殊的關(guān)系，比如將切線向上平移后與曲線有2個交點(diǎn)，再比如在點(diǎn)P0附近(除點(diǎn)P0外)曲線都在其切線上方．對于這類凹(凸)函數(shù)，事實(shí)上在切點(diǎn)附近都有類似的性質(zhì)，這些相關(guān)特點(diǎn)在我們的解題中也有相當(dāng)幫助．

解 首先，我們得到函數(shù)的定義域?yàn)閇0,2]，題目中要求將函數(shù)圖象繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)θ，我們可以考慮將坐標(biāo)軸繞坐標(biāo)原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)θ，旋轉(zhuǎn)后的圖象與x軸垂直的直線至多有1個交點(diǎn)．原函數(shù)的圖象如右圖所示，坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后如果y軸與函數(shù)在x=x0∈(0,2)處的切線平行，則y軸與函數(shù)圖象必定還有除原點(diǎn)外的另一個交點(diǎn)，即坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后使得y軸與函數(shù)在x=0處的切線平行是極限位置，下面求函數(shù)在x=0處的切線斜率即可．

例3 已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(2)=3，且f(x)在R上的導(dǎo)函數(shù)滿足f′(x)-1<0，解不等式f(x2)

三、從“引入”出發(fā)

探究概念的本質(zhì)內(nèi)涵，能給我們解題帶來相應(yīng)的思路，從定義出發(fā)，從基礎(chǔ)概念出發(fā)往往能事半功倍，課本上定義是如此，有時課本上一些概念的引入(尤其是一些經(jīng)典的引入)，更能給我們以啟發(fā)．

故原不等式得證．

[1]戴榮. 對高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的幾點(diǎn)認(rèn)識與思考[J]. 新課程導(dǎo)學(xué),2013(35):19.

[2]王韶君. 淺談高中數(shù)學(xué)新課標(biāo)理念的幾點(diǎn)認(rèn)識[J]. 中學(xué)教研(數(shù)學(xué)),2007(05):4-6.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

戴天竹(1982.11-)，男，漢，一級，碩士，從事組合數(shù)學(xué)教學(xué).

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