基于數形結合思想的一次函數實踐研究

魏宏

摘 要：數形結合思想是數學學科教學進程中常用的教學策略之一.教師在講授數學知識點、數學問題案例時，都需要將數學語言與圖形符號進行有機結合、相互補充，從而達到有效講授的目標預期.本文在此以利用數形結合思想為目標，對深入實施一次函數課堂教學作簡要的論述.

關鍵詞：數形結合思想；一次函數；課堂教學；實踐；研究

在講授數學知識點、數學問題案例時，都需要將數學語言與圖形符號進行有機結合、相互補充，從而達到有效講授的目標預期.筆者教學實踐意識到，數形結合思想，是數學學科解析問題的常用教學策略和思想渠道之一.通過對函數部分內容分析發現，一次函數在整個初中數學學科函數章節中扮演重要的角色，它和反比例函數、正比例函數以及二次函數等其他內容聯系較為密切，關聯較為強烈.由于一次函數的圖像以及性質的內在特點，決定了數形結合思想在其中發揮不可替代的重要功效.本人在此以利用數形結合思想為目標，對深入實施一次函數課堂教學作簡要的論述.

一、以“形”補“數”，講授一次函數新知要義

數學學科中的語言抽象、內涵豐富，需要圖形符號補充佐證和具體展示.學生面對抽象的數學語言文字，經常通過問題題意，進行作圖練習，畫出圖形，幫助和推動學生更好的認知、研析數學概念，從而領悟其深刻內涵.眾所周知，學生可以借助函數的圖像，窺探到圖像里包含的函數豐富性質，這樣就為學生研究函數中的數量關系提供充分條件.因此，教師在一次函數新知教學中，應該抓住一次函數圖形和數字的內在關聯特性，通過“形”將數學文字的深刻內涵以及實際意義進行補充和體現，從而把復雜的一次函數要義通過圖形符號進行有效的認知和掌握.

如在“一次函數的性質”中，如果單純從字面上組織學生進行理解，很難較為深刻、較為全面的領悟和理解.此時，將電子畫板引入其中，利用電子畫板的動畫功能以及圖形變換功能，運用圖形符號來加深學生對一次函數性質的理解.設置出一次函數y=kx+b（k，b為常數，k≠0）的圖像，要求學生開展分析思考，借助于教師提供的一次函數圖像發現，當這一函數的k值發生變化時，其圖像中y的值也隨著發生變化，通過圖形觀察可以看出，當k>0時，y的值隨著自變量x的值增大而增大；k<0時，y的值隨著自變量x的值增大而減少.在此基礎上，通過變化k與b的取值范圍，組織學生進行一次函數圖像的觀察，借助于圖像展示，認識到k和b都大于0時，此時一次函數的圖像一，二，三象限；當k>0，b<0時，一次函數的圖像則經過一，三，四三個象限；當k<0，b>0時，一次函數的圖像經過一，二，四象限；k<0，b<0時，函數的圖像經過二，三，四象限.在這一以數補形的過程中，對一次函數的性質內涵有了全面深刻的理解，讓他們在通俗易懂、形象直觀的圖像中掌握要義.

二、借“形”助“數”，推動一次函數案例解析

數學問題的解答，需要通過“數”和“形”的兩個不同角度同向發力，才能達到對題意的深刻理解和有效解答.筆者發現，有不少學生在解析案例時，經常從代數角度方面入手，難以對數學問題的內涵和深刻要義進行全面理解.而通過借助直觀的數學圖形，學生在理解和認知時能夠更為深入直觀的掌握[1].初中數學教師應在一次函數的教學中，充分發揮圖形的豐富直觀性，借助圖形，深層次理解分析案例，通過以“形”助“數”，借助于圖形符號，將數學語言演變為圖形符號，突出圖的形象思維，推動形象思維與抽象思維深度融合，保證學生的一次函數案例解析效果.

例1 已知一條直線經過點A（0，2）、點B（1，0），將這條直線向下平移與x軸，y軸分別交于點C、D，若DB=DC，試求直線CD的函數解析式.

在一次函數案例講解中，要求結合題意，進行作圖練習，畫出圖形進行問題題意的思考分析.學生在認真分析數學案例題意中，通過數形結合思想，將數學案例題意的文字符號變化為圖形符號，其圖形如圖所示.在分析題意、觀察圖形的共同活動中認識到，要求函數的解析式，就需要通過代入法進行，先設出一次函數的基本解析式，然后通過把A（0，2）、點B（1，0）代入，得b=2，k+b=0，解得k=-2，b=2，從而得到直線AB的解析式為y=-2x+2；此時將這直線向左平移與x軸負半軸、y軸負半軸分別交于點C、點D，使DB=DC，通過觀察圖形發現，DO垂直平分BC，得到CD=AB，其點D的坐標為（0，-2），通過觀察圖形符號，發現平移后的圖形與原圖形平行，此時根據函數解析式的性質得到平移以后的函數解析式為：y=-2x-2.此時，針對學生的解析和觀察活動，向他們指出，該問題是關于一次函數圖象與幾何變換方面的案例，需要現求出直線AB的解析式，再根據平移的性質求直線CD的解析式.在解答問題活動結束后，強調指出，該問題解答時，一定要利用圖形對文字的補充作用，利用一次函數的特點，列出方程組，求出未知數的值從而求得其解析式；求直線平移后的解析式時，要時刻注意平移時k的值不變，只有b發生變化.

三、“數”“形”融合，建立一次函數生活模型

一次函數在現實生活中有著廣泛深入的應用.初中數學教師在一次函數教學中，要借助數形結合思想，設置具有數形合一的生活模型，通過函數模型將現實生活中較為復雜的、變化深刻的問題有效解決，采用對函數圖像及語言文字進行“加工”的形式[2]，找到對應的函數值，在有效建立函數模型中，實現對數學生活問題的解決.

例2 某移動通訊公司開設了兩種通訊業務：“全球通”使用者先繳50元月租費，然后每通話1分鐘，再付話費0.4元；“神舟行”不繳月租費，每通話1min付費0.6元.若一個月內通話xmin，兩種方式的費用分別為y1元和y2元.（1）寫出y1、y2與x之間的函數關系式；（2）一個月內通話多少分鐘，兩種移動通訊費用相同；（3）某人估計一個月內通話300min，應選擇哪種移動通訊合算些？

這是一道關于現實生活中話費使用的一次函數問題案例，教師在講解時，引導學生根據問題的題意，作出一次函數方面的圖像，組織他們圍繞解題的要求進行初步的相互討論.利用幾何畫板展示有關該案例的生活模型，開展數形結合分析，明確指出，（1）因為該公司所提供的兩種通訊業務中，“全球通”需要預先交50元的月租，才能享受通話1分鐘再付費0.4元的優惠；而“神舟行”不需要繳費，只要通話1分鐘付0.6元.現在可以設定這一個月聯系了x分鐘，則可以設定消費了y1元和y2元，則y1=50+04x，y2=06x；（2）令y1=y2，解方程即可；（3）令x=300，分別求出y1、y2的值，再做比較即可.

利用數形結合的方法，通過建立生活模型，解析一次函數問題，是學生在解答現實生活一次函數案例的有效、經常性教學方式.

以上，是本人對數形結合思想背景下，一次函數課堂教學的粗淺認知，還有許多不妥之處，還請教育同仁指正，提供寶貴經驗.

參考文獻：

[1]呂小保.一次函數圖像知識與直線型圖形性質的互通應用[J].上海中學數學，2012（02）：15.

[2]朱翠芳.“一次函數的圖像（2）”教學案例[J].考試周刊，2010（ 01）：77-78.