一個相同的式子，三個不同的結論

劉紅霞

【摘要】 新課程標準下的高中數學教材內容新穎，知識豐富，每一道例題的安排，習題的設置，都凝聚著無數教育專家的智慧，具有深刻的思想性，廣泛的應用性，嚴謹的邏輯性。因此，深入挖掘教材習題，發揮內在潛能，非常有利于培養學生思維的深刻性、廣闊性與創造性。同時，教材中的習題還具有廣范性，典型性和探究性，是課本的精髓。

【關鍵詞】 高中數學 習題教學

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）05-146-01

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高中數學課本（選修（2-1））（北師版）中有這樣兩道題：①ΔABC兩個頂點A、B的人材分別是（-6，0）、（6，0），邊AC 、BC 所在直線的斜率之積等于，求頂點C 的軌跡方程（課本第70頁）。②已知橢圓，求以點P（2，-1）為中點的弦所在的直線方程（課本第96頁）。關于這兩道習題的求解過程及正確答案，無論是初學者、還是高三學生都已不是問題。可是，你是否真正掌握了這兩道習題的作用呢？下面就將這兩道習題拓展開吧！

拓展一：A、B是橢圓，長軸的兩端點，P是橢圓上除A、B外的任意一點，設直線PA 的斜率為k1，直線PB 的斜率為k2，求k1·k2=-b21a2

解：設p（x0，y0） （其中y0≠0 ），由題意知A（-a，0） ，B（a，0） ，則k1=y01x0+a，k2=y01x0-a

∴k1 · k2 = -y20 1x20 -a2

又∵x21 1a2 + y21 1b2 = 1（a > 0，b > 0）

∴y20 = b2（1-x20 1a2） = b2（a2-x20 ）1a2∴k1·k2=-b21a2

拓展二：如圖（2），已知斜率為k1的直線l與橢圓x21a2+y21b2=1（a>0，b>0）相交于A、B兩點，弦AB 的中點P與橢圓中心O的連線斜率為k2，則k1·k2=-b21a2

設A（x1，y1）、B（x2，y2） 則P（x1+x212，y1+y212）

∴k1=y1-y21x1-x2， k2=y1+y21x1+x2

k1 · k2 = y21 -y22 1x21 -x22

又∵ A（x1，y1） 、B（x2，y1）在橢圓上

∴x21 1a2 + y21 1b2 = 1 ①

x22 1a2 + y22 1b2 = 1②

①-②得x21 -x22 1a2 + y21 -y22 1b2 = 0x21 -x22 1a2 = -y21 -y22 1b2

∴y21 -y22 1x21 -x22 = -b21a2即k1·k2=-b21a2

拓展三：已知A、B是橢圓x21a2+y21b2=1（a>0，b>0）上點關于原點對稱的兩點，點M是橢圓上與A、B不重合的一點，若直線MA的斜率為k1，直線MB 的斜率為k2，則k1·k2=-b21a2（證明略）

拓展四：根據上面橢圓中的三個拓展性質，類比地研究雙曲線中，對應的有關結論：

①已知A、B是雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的實軸兩端點，P是雙曲線上除A、B外的一點，若直線PA 的斜率為k1，直線PB 的斜率為k2，則k1·k2=b21a2

②已知斜率為k1的直線l與雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）相交于A、B兩點，弦AB的中點P與雙曲線中心O的連線斜率為k2，則k1·k2=b21a2

③已知A、B是雙曲線x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）上關于原點對稱的兩點，點M是曲線上異于A、B的一點，若直線MA的斜率為k1，直線MB 的斜率為k2 ，則k1·k2=b21a2

對于形如x21m2-y21n2=1的曲線，都是成立的。

拓展五：拓展一、二、三、中的結論，不僅在橢圓、雙曲線中成立，在圓中也是成立的，只要是形如x21m+y21n=1的曲線中，都有k1·k2=-n1m，也就是說：通過以上的推導證明，大家應該注意在學習數學的過程中，不應該僅局限于算出問題的答案，我們要學會對問題的變疑，推廣與拓展，只有這樣，我們才能真正地理解數學中的每一個知識點，撐握課本中的每一道習題。

下面提供幾道練習題，供大家小試牛刀：

①已知橢圓4x2+y2=1 ，若直線y=x+m 被橢圓所截得的弦的中點在直線x=-113 上時，求直線方程；

②已知M（4，2）是直線l被橢圓x2+4y2=36 所截得的線段AB的中點，求直線l的方程；

③過橢圓C ：x21a2+y21b2=1（a>0，b>0） 上一點M作直線MA、MB 交橢圓于A、B兩點，且點A、B關于原點對稱，設MA 、MB 的斜率分別為k1、k2，k1·k2=-213 又橢圓的一個焦點與拋物線y2=4x 的焦點重合，求該橢圓方程。

[ 參 考 文 獻 ]

[1]趙國瑞.不同的圖形相同的結論——“M”型圖和“U”型圖角之間的關系[J].語數外學習：初中版七年級，2011（3）：31-32.

[2]宋慶.一個問題的簡單解答[J].中學數學，2002（11）：10.

[3]劉超.凸四邊形的一個面積公式——“類海倫公式”[J].數學通訊，2010（5）：41-42.