淺談數(shù)學(xué)解題后反思教學(xué)的幾點(diǎn)體會(huì)

丁丁

【摘要】 數(shù)學(xué)離不開解題，但是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的不是為了解題，而是為了學(xué)會(huì)解題。學(xué)生在解題過程中投入了大量的時(shí)間和精力，然而效果并不理想，究其主要原因是缺乏對解題活動(dòng)進(jìn)行反思。在新課標(biāo)改革的背景下，反思作為一種能力，已經(jīng)越來越被人們認(rèn)識(shí)到它對學(xué)習(xí)的促進(jìn)和發(fā)展帶來的作用。學(xué)生通過解題后反思，能拓寬思路，優(yōu)化解法，促進(jìn)知識(shí)點(diǎn)之間的遷移，從而提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)分析解決問題的能力和多種思維能力。

【關(guān)鍵詞】 反思 思維構(gòu)建 能力提升

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）05-078-01

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中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生通過對解決問題過程的反思，獲得解決問題的經(jīng)驗(yàn)，從而不斷地經(jīng)歷反思與構(gòu)建思維的過程，彰顯了對反思學(xué)習(xí)的重視。教師講解后的反思是指講解者對自身解題活動(dòng)的深層次的反向思考，而作為學(xué)生，不僅是對解題的一般性的回顧或重復(fù)，更為重要的是深究解題過程中所涉及的知識(shí)、方法、思路及解題策略等，從而提高學(xué)習(xí)效率，增強(qiáng)多種思維能力，達(dá)到解題能力的提升。所以解題后的反思就顯得尤為重要，那么解題后如何進(jìn)行反思呢？我在近幾年的九年級畢業(yè)班教學(xué)積累了一些經(jīng)驗(yàn)與感悟，愿與大家共享。

一、反思解題方法，訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散思維能力

2017新課標(biāo)新中考《浙江中考》第二課整式及其運(yùn)算中有下面一道題目：

已知實(shí)數(shù)m，n滿足m-n2=1，則代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值為______。

解析：∵m-n2=1，∴n2=m-1，∴原式=m2+2m-2+4m-1=m2+6m+9-12=

（m+3）2-12≥-12，即代數(shù)式m2+2n2+4m-1的最小值為-12。明顯，答案的解析過程是有偏差的。當(dāng)m=-3時(shí)，代數(shù)式取到最小值-12，而在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，不存在n的值使得m=-3。換句話說，當(dāng)m=-3時(shí)，n2=-4，n無實(shí)數(shù)解。

正確解法∵m-n2=1，∴n2=m-1，∵n2≥0，∴m-1≥0，m≥1.y=m2+2n2+4m-1

y=（m+3）2-12.（m≥1）由二次函數(shù)圖像的性質(zhì)可知，當(dāng)m>-3時(shí)，y隨著m的增大而增大，∴當(dāng)m=1時(shí)，ymin=4.即m2+2n2+4m-1的最小值為4.

反思解題過程，其實(shí)這是一道求解代數(shù)式的最值問題，代數(shù)式本身的取值大小由變量決定，而在求解實(shí)際問題中，往往變量本身存在取值范圍的限制，而函數(shù)能夠很好的幫助我們研究變量之間的關(guān)系。從函數(shù)本身的性質(zhì)出發(fā)，結(jié)合變量的取值范圍，就能很好的避免錯(cuò)誤的發(fā)生。

二、反思解題規(guī)律，促進(jìn)學(xué)生的解題多樣性

我們一起來看下面一道題：

如圖，點(diǎn)A的初始位置位于數(shù)軸上的原點(diǎn)，現(xiàn)對點(diǎn)A做如下移動(dòng)：第1次從原點(diǎn)向右移動(dòng)1個(gè)單位長度至點(diǎn)B，第2次從點(diǎn)B向左移動(dòng)3個(gè)單位長度至點(diǎn)C，第3次從點(diǎn)C向右移動(dòng)6個(gè)單位長度至點(diǎn)D，第4次從點(diǎn)D向左移動(dòng)9個(gè)單位長度至點(diǎn)E……依次類推，這樣至少移動(dòng)___次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于41.

解析：根據(jù)坐標(biāo)的變化：移動(dòng)（2n-1）次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3n-2，移動(dòng)2n次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為3n-1.

（當(dāng)3n-2≥4時(shí)，3n-2≥41時(shí)，n≥4313.

∵n是正整數(shù)，∴的最小值為15，此時(shí)移動(dòng)了29次。

（當(dāng)3n-1≥41時(shí)，n≥14.

∵n是正整數(shù)，∴n的最小值為14，此時(shí)移動(dòng)了28次。

綜上所述，至少移動(dòng)28次后該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于41.

反思解題過程，這是有關(guān)動(dòng)點(diǎn)變化，找規(guī)律的一道題目。按照一般的解題過程，通過表示動(dòng)點(diǎn)的通式來確定動(dòng)點(diǎn)的位置，從而解決移動(dòng)次數(shù)是較為困難的。在課堂講解過程中，也出現(xiàn)重復(fù)講解仍然有學(xué)生不能理解的情況。其實(shí)找規(guī)律的題目不光可以從事物的變化過程入手，尋求一般的通式解決問題，更多時(shí)候可以從結(jié)果出發(fā)，觀察結(jié)論而得出規(guī)律，可能會(huì)達(dá)到事半功倍的效果。

在課后的學(xué)生糾錯(cuò)本記錄反思中，我發(fā)現(xiàn)了學(xué)生另外一種解法：移動(dòng)1次對應(yīng)數(shù)字為1，移動(dòng)2次對應(yīng)數(shù)字為-2，移動(dòng)3次對應(yīng)數(shù)字為4，移動(dòng)4次對應(yīng)數(shù)字為-5，移動(dòng)5次對應(yīng)數(shù)字為7……那么該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離不小于41，等同于這個(gè)動(dòng)點(diǎn)代表的數(shù)字的絕對值不小于41。從結(jié)果的絕對值來看，數(shù)字的排列中間缺3的倍數(shù)，41÷3=13……2，對應(yīng)中間少了13個(gè)數(shù)字，所以只需移動(dòng)28次即可。學(xué)生的題后反思給了我很多思考，用固定模式講解題目過程確實(shí)有必要，但過分強(qiáng)調(diào)“套路”可能未必是最佳的應(yīng)對策略。而反思解題規(guī)律，可能會(huì)對解題帶來更多樣性的選擇。

三、反思解題差異，促進(jìn)思維的深入

（2016.無錫）如圖，已知OABC的頂點(diǎn)A，C分別在直線x=1和直線x=4上， O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則對角線OB長的最小值為_______。

解析：當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，對角線OB的長最小，直線x=1與x軸交于點(diǎn)D，直線x=4與x軸交于點(diǎn)E.根據(jù)題意得∠ADO=∠CEB=90°，OD=1，OE=4.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴OA//BC，OA=BC，

∴∠AOD=∠CBE.

在ΔAOD和ΔCBE中，

∠AOD=∠CBE，

∠ADO=∠CEB，

OA=BC，

∴ΔAODΔCBE（AAS）.

∴BE=OD=1.

∴OB=OE+BE=5.

在解題過程中，參考教輔用書上的解法和網(wǎng)上中考解析大體相同。但在講解過程中，學(xué)生始終對當(dāng)點(diǎn)B在x軸上時(shí)，對角線OB的長最小有所困惑。在布置課后糾錯(cuò)作業(yè)時(shí)，學(xué)生提出另外的想法使我眼前一亮。

解法二：連接AC，與OB相交于點(diǎn)E，由平行四邊形的對角線互相平分， AE=CE我們可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)E在直線x=512上，而OE=112OB，所求線段OB的最小值其實(shí)就可以轉(zhuǎn)化成求解OE的最小值，當(dāng)OE垂直于直線x=512時(shí)，線段OE最小為512，此時(shí)OB的值為5.

反觀學(xué)生解題后的反思，其實(shí)我們可以發(fā)現(xiàn)，幾何圖形具有自身特有的性質(zhì)，在解題過程中，我們往往會(huì)忽略這些性質(zhì)。如果解題之后進(jìn)行反思，感受解題的差異性，不僅提高了解題的技巧，更能夠促進(jìn)思維的深入。

學(xué)生在解題中運(yùn)用自己的知識(shí)結(jié)構(gòu)對問題進(jìn)行審驗(yàn)，研究、尋找解決問題的思維策略，直到形成程序化的解決方案，這固然是我們教學(xué)的重點(diǎn)，但解題之后，如何反思知識(shí)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性，對解題過程進(jìn)行縱向深入的探究，以及能否加強(qiáng)知識(shí)的橫向聯(lián)系，把問題所蘊(yùn)含孤立的知識(shí)“點(diǎn)”擴(kuò)展到系統(tǒng)的知識(shí)“面”將顯得更為重要。學(xué)會(huì)解題后如何進(jìn)行反思，就是將獲得的知識(shí)通過再現(xiàn)、聯(lián)系、整合以及在實(shí)際中的應(yīng)用，以達(dá)到舉一反三、觸類旁通、熟練掌握、靈活應(yīng)用的要求，把其意思引申一下，我們就不難理解為什么解題之后要進(jìn)行反思了。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[3]王芳琴.如何引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2015（5X）.

[4]王怡.如何進(jìn)行數(shù)學(xué)解題反思[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（2）.