數列型不等式的證明探究

葛澤武　陳佳敏

【摘要】 近幾年，全國不少省份每年高考數學都將函數、導數與不等式綜合問題作為高考壓軸題來考查.這類問題，因其思維跨度大、構造性強，解決起來非常困難，每年能夠解決這些問題的學生少之又少。隨著2016年，各省份高考數學又回歸全國卷以來，導數與不等式綜合問題作為壓軸題的地位并未改變。新課標數學教材人教A版選修2-2中導數章節將定積分重新引入高中數學教學。本文主要利用定積分的幾何意義，解決了一些省份近幾年高考壓軸題數列型不等式的證明，從而為解決這一類高考壓軸題具有很好的引申價值和指導意義。

【關鍵詞】 定積分 曲邊梯形 凸函數 過剩矩形 不足矩形

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2017）05-069-01

0

1.定義

凸函數：設f（x）在[a，b]上連續，若對[a，b]中任意兩點x1，x2，恒有f（x1+x212）≥f（x1）+f（x2）12，則稱f（x）在[a，b]上是向上凸的，簡稱上凸函數。由圖易知凸函數上任意兩點連線在函數圖象的上方。

過剩矩形和不足矩形：如右圖矩形BCEF稱為曲邊梯形ABCE的不足矩形，矩形ABCD稱為曲邊梯形ABCE的過剩矩形。

定積分的幾何意義：若f（x）≥0，x∈[a，b]，∫baf（x）dx的幾何意義是曲線y=f（x），x=a，x=b，y=0圍成的曲邊梯形的面積

2.問題研究

問題1.已知函數f（x）=ax-blnx圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=112x+112-ln2.

（1）求a，b的值；

（2）證明：f（x）≥0對一切x∈（0，+∞）成立；

（3）證明不等式：1+112+113+…+11n>ln（1+n）（n∈N+）

解：（1）（2）略

（3）構造函數g（x）=11x則∫n + 11g（x）dx = ∫n + 1111xdxlnxn + 11 = ln（n + 1）-ln1 = ln（n + 1）表示如圖所示n個曲邊梯形的面積之和，而1+112+113+…+11n表示如圖所示n個小矩形的面積之和，由圖易知曲邊梯形的面積小于n個小矩形的面積之和，即1+112+113+…+11n>ln（1+n）（n∈N+）.

例2.（2010湖北）已知函數f（x）=ax+b1x+c（a>0）的圖象在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1.

（1）用a表示出b，c；

（2）若f（x）>lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍；

（3）證明：1+112+113+…+11n>ln（1+n）+n12（n+1）（n∈N+）

證明：（1）（2）略

（3） 定積分∫n + 1111xdx = lnxn + 11 = ln（n + 1）-ln1 = ln（n + 1）表示如圖所示曲邊梯形的面積，而1+112+113+…+11n-n12（n+1）表示如圖所示n個小直角梯形的面積之和，由圖及凸函數的性質易知曲邊梯形的面積小于n個小矩形的面積之和，即

1+112+113+…+11n>ln（1+n）+n12（n+1）（n∈N+）.

例3.（2012天津）已知函數f（x）=x-ln（x+a）的最小值為0，其中a>0.

（1）求a的值；

（2）若對任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤kx2成立，求實數k的最小值；

（3）證明： ∑n1i=1212i-1-ln（2n+1）<2（n∈N+）.

證明：（1）（2）略

（3） 定積分∫n + 11112x-1dx = ln（2x-1）n + 11 = ln（2n + 1）-ln1 = ln（2n + 1）表示如圖所示曲邊梯形的面積，而∑n1i=1212i-1-2=∑n1i=2212i-1表示

如圖所示n-1個小直角梯形的面積之和，由圖及凸函數的性質易知曲邊梯形的面積大于n-1個小矩形的面積之和，即

∑n1i=1212i-1-2

例4.（2013大綱卷）已知函數fx=ln1+x-x1+λx11+x.

（1）若x≥0時，fx≤0，求λ的最小值；

（2）設數列an的通項an=1+112+113+···+11n，證明：a2n-an+114n>ln2.

證明：（1）略

（2）定積分∫2nn11xdx = lnx2nn = ln2n-lnn = ln2表示如圖所示曲邊梯形的面積，而a2n-an+114n=11n+1+11n+2+…+112n+114n=112（11n+11n+1+…+112n-1）+112（11n+1+11n+2+…+112n）表示如圖所示n個過剩矩形的面積之和的一半和n個不足矩形的面積之和的一半，即是如圖的n個小直角梯形的面積之和，由圖及凸函數的性質易知曲邊梯形的面積大于n個小直角梯形的面積之和，即a2n-an+114n>ln2.

3.總結

數列型不等式的證明，需要較高的放縮技巧而充滿思考性和挑戰性，能全面的考查學生的潛能與后繼的學習能力，因而成為高考壓軸題及各級各類競賽試題命制的極好素材。本文采用定積分的幾何意義來解決這類問題，直觀性強，效果極好。這為高中生解決這類問題提供了一種行之有效的辦法。