演化博弈理論的發展、應用及未來研究方向

左俊梅 謝銳彬

[摘 要]演化博弈理論的應用從細胞動力學到社會進化尤其在生物學中得到了深遠的發展。多人博弈理論可以引入到先行已經建立起博弈理論的任何領域。文章回顧了多人演化博弈理論及其應用發展的歷史過程，介紹該理論的發展現狀，旨在給出無限種群中類似于有限群體中的理論性的結論，并且討論多人博弈理論在生態、社會科學、人口遺傳領域中的成功應用。在文章末尾，文章探索了多人博弈理論復雜性應用值得深入研究的一個特定方向。

[關鍵詞]非線性性；同質總體；隨機效應

[DOI]10.13939/j.cnki.zgsc.2017.12.149

1 引 言

博弈理論的根源可以追溯到Babylonian Talmud，但是運用博弈理論進行的第一個數學證明是由Zermelo進行的圍棋博弈，傳統觀點把演化博弈理論的起源歸因于Morgernstern和Von Neumann，他們出版了第一部有啟發性的關于博弈理論的文章。但是大多數博弈論僅限于雙人博弈，正如納什所說，它事實上應該包括多人博弈的部分。演化概念已經在20世紀80年代推廣到多人博弈的理論中。

2 從成對競爭到社會間相互作用

在過去的十年間，人們見證了博弈理論中有限種群動力學結論的蓬勃發展，這極大地拓寬了博弈論的研究范圍，得出了很多優美而簡潔的結論。類似地，在博弈理論中考慮非線性性也能拓展出一個新的研究方向。因此，我們列出了在演化博弈理論中處理由多人博弈所產生的非線性作用時得出的結論，這些結論將有可能去證明傳統的雙人博弈無法解決的新的動力學問題。

2.1 復制動態

復制者方程讓不同的策略在種群中出現的頻數去決定該策略的適應性，而不是將每種策略都設置為一個固定的常數。在無限種群中，采取自下而上的方法來建立復制者方程，考慮兩種策略A和B。兩種策略出現的頻率分別用x和1-x表示，兩種策略的相互作用用一個矩陣來表示。

這個支付矩陣表明，當一個A策略個體與另一個A策略個體相互博弈時，它得到的支付是a1，當它與B策略個體博弈時得到a0，從這個支付矩陣我們能計算出兩種策略的平均支付，πA=a1x+a0（1-x）， πB=b1x+b0（1-x）。

我們可以把平均支付直接看作兩種策略的適應性，分別記作fA=πA， fB=πB，根據傳統篩選思想，如果某種策略的適應性比種群的平均適應性大，則該策略勝出并且取代另一種策略。

雙人博弈的可能結果與三人兩種策略博弈的結果

因為雙人博弈中fA-fB的斜率是線性的，可能的結果中至多有一個內部均衡點，這個均衡點可能穩定也可能不穩定。增加博弈人數增加了動態方程的復雜性，此時選擇斜率為非線性。以三人博弈為例，動態方程為二項式，因此能包含至多兩個內部均衡點，這些均衡點可能穩定也可能不穩定。

這些概念可以用關于x的微分方程來表示，即

因此，演化博弈通過策略的適應性被引入到動力學中，這個方程有三個可能解，A策略消失即x=0，或者B策略消失即x=1，最后如果兩種策略有相同的適應性，即fA=fB，則x*=[SX（]b0-a0[]a1-a0-b1+b0[SX）]。

對于一般的多人博弈，情況比較復雜，因此我們從最簡單的三人博弈開始，依然只有上面介紹過的A、B兩種策略。兩種策略出現的頻率分別用x和1-x表示，兩種策略的相互作用用一個矩陣來表示。

焦點個體用行表示，因為是三人博弈，所以另外兩個個體用列表示，它們可能為AA、AB、BA、BB，我們假設與AB博弈和與BA博弈結果是相同的。兩種策略的平均支付是關于頻數的二元函數。

跟前面的方法一樣，我們可以得到如下復制方程：

這個方程除了在邊界存在這兩個根之外，還可能存在其他根，我們可以把這種分析推廣到任意數量d個博弈者中，那么在這種情況下，除了x=0， x=1這兩個根之外，還可能存在d-1個根。對于兩個策略的博弈，跟蹤一個策略的頻數就能得到動態過程的全部信息。對于n策略的博弈，我們需要知道n-1個變量的時間演化過程。因此，對于一個有d個博弈者n種策略的博弈，動態過程在n-1維空間上進行。因為在每個維度上內部均衡點可能有d-1個，所以總共至多會有（d-1）n-1個不同的內部均衡點。

2.2 從無限種群到有限種群

復制者動態描述了在無限大種群中策略頻數的動態變化過程，顯然，這是一種近似。眾所周知，對有限種群的研究有能力去挑戰在無限種群中得到的結論。早期，運用哲學原理，Thomas 和Pohley證明了傳統ESS理論在研究有限種群時的不足。在研究小的有限種群時，傳統的ESS概念既不是刻畫演化穩定的充分條件也不是必要條件。自此，演化博弈中的有限種群分析得到了迅速的發展。

3 多人合作博弈的應用

基于其一般性，復制者方程容納了廣闊的生物學背景，從生態到種族遺傳，從生命起源到社會演化，因此變成了行為生態學家、種族遺產學家、社會學家、哲學家廣為使用的工具。從生態學到社會學逐漸發展成門類繁多的學科。

4 討 論

演化博弈理論的發展可能是因為博弈理論及其應用之間的良性循環，我們僅僅接觸了演化博弈理論的三個應用，但是博弈理論作為研究工具的必要性很有可能會開辟新的研究方向。例如，在生態學中，種群數量的演化依然是一個開放性課題，這個課題可以用演化博弈理論近似處理。另一個有意思的研究方向是關于變異，通常人們所說的變異是發生在現存的物種中，完全新奇的變異很難發現。在特定的條件下，這樣的變異也能在種群里長期存在，研究多個突變體在動態演化過程中如何達到平衡將會是一個非常有意義的研究方向。

參考文獻：

Fisher RA.The Genetical Theory of Natural Selection[M].Oxford：Clarendon Press，1930.

[基金項目]周口師范學院校本項目（項目編號：zknuB1201601）；河南省高等學校重點科研項目（項目編號：17A110039）。

[作者簡介]左俊梅（1986—），女，漢族，河南周口人，研究生學歷，周口師范學院數學與統計學院講師。研究方向：數學教育、博弈論。