一個推廣的積分中值定理

肖勁森，林全文

（廣東石油化工學院數學系，廣東茂名525000）

一個推廣的積分中值定理

肖勁森，林全文*

（廣東石油化工學院數學系，廣東茂名525000）

積分中值定理是數學分析的基本定理，它在極限和積分的計算中有著廣泛的應用.利用確界定義及介值定理，改進了混合積分中值定理.由該定理，可推導出可積函數具有介值性條件下的積分第一中值定理．

積分第一中值定理；積分第二中值定理；混合積分中值定理

積分第一、二中值定理是數學分析的基本定理，它給出了簡化定積分的方法，在求極限、判定某些性質點、估計積分值等方面有著廣泛的應用［1-4］.大部分數學分析教材中對兩種類型定理表述為兩個中值定理.

積分第一中值定理［1］設f（x）在[a，b]上連續，g（x）在[a，b]上可積且不變號，則至少存在一點ζ∈[a，b]，使得：

積分第二中值定理［1］設f（x）在[a，b]上單調，g（x）在[a，b]上可積，則存在ζ∈[a，b]，使得：

張新元給出了積分第一中值定理條件下類似于第二中值定理的混合積分中值定理［5］．

混合積分中值定理［5］設f（x），g（x）在[a，b]上可積，M，m分別為f（x）在[a，b]的上、下確界，g（x）在[a，b]上不變號，則存在ζ∈[a，b]，使得：

由鄧波一文可知，積分第一、二中值定理中函數f（x）和混合積分中值定理中函數g（x）在[a，b]上連續時，點ζ可以在開區間[a，b]中取得［6］．

值得注意的是，積分第二中值定理與混合中值定理在條件為“f（x）在[a，b]上單調，g（x）在[a，b]上可積且不變號”時一致.一個很自然的問題是：積分第一中值定理和第二中值定理之間又有什么關系呢？本文將給出比（2）式更加類似于（1）的表達式.由該表達式，可以推導第一中值定理在函數f（x）在[a，b]上“連續”改為“具有介值性且可積”條件下成立.

定理1設f（x），g（x）在[a，b]上可積，g（x）在[a，b]上不變號，則存在x1,x2∈[a，b]以及至少存在一點ζ∈[a，b]，使得：

證因為f（x），g（x）在[a，b]上可積，所以f（x）g（x）在[a，b]上可積.不防設g（x）≥0（x∈[a，b]）,M,m分別為f（x）在[a，b]的上下確界，則有：

因此由積分的保不等式性可得：

因而存在λ∈（0,1），使得：

情形2：若（4）式至少一個等號成立，假設：

可知f（x）=M a.e.[c，d].因而存在x1,x2∈[c，d]?[a，b]使f（x1）=f（x2）=M，及任意ζ∈[a，b]，使得：

由定理1的證明容易得到，當函數f（x）在[a，b]上單調時，若定理1中f（x）在[a，b]上具有介值性且可積，則由（3）式（或（5）式）容易得到以下當ζ屬于開區間（a，b）上的積分第一中值定理．

推論1［7］設函數f（x）在[a，b]上具有介值性且可積，函數g（x）在[a，b]上可積且不變號，則至少存在一點ζ∈[a，b]，使得：

注：由達布（Darboux）導函數介值定理［1］可知，一個閉區間上處處可導函數的導函數與閉區間上的連續函數有著一個共同性質——介值性，因此“具有介值性且可積”條件下的推論1，要比“連續”條件下的結論，以及“具有原函數且可積”條件下的結論更為廣泛［8-12］．

［1］劉名生,馮偉貞,韓彥昌.數學分析（一）[M].北京：科學出版社,2009.

［2］華東師范大學數學系.數學分析（上）[M].北京：高等教育出版社,2012.

［3］李澤民.關于積分第二中值定理的改進[J].河南大學學報（自然科學版）,1996，26（1）:14-14.

［4］劉紅超.關于積分第二中值定理的研究[D].武漢：湖北大學,2010.

［5］張新元.積分中值定理的較一般情況的幾何意義及其推廣形式[J].大學數學,2010,26（3）:161-165.

［6］鄧波.關于積分第一中值定理的補充說明[J].數學通報,1998（2）:47-47.

［7］李衍禧.積分第一中值定理的推廣[J].數學的實踐與認識,2007,37（9）:203-206.

［8］關若峰.積分中值定理的推廣[J].廣州大學學報（自然科學版）,2004,3（6）:499-500.

［9］陳玉.基于微分中值定理的積分中值定理[J].高等數學研究,2013（6）:42-45.

［10］文傳軍,姚俊.推廣的積分第一中值定理的再改進[J].高等數學研究,2011,14（1）:42-44.

［11］劉日成,宋國亮.用介值定理證明積分第二中值定理[J].東北石油大學學報,2008,32（6）:112-114.

［12］李衍禧.關于多重積分中值定理的改進[J].濰坊學院學報,2009,9（2）:75-76.

A Generalized Mean Value Theorem for Integrals

XIAO Jin-sen,LIN Quan-wen*
（Department of Mathematics,Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming 525000, Guangdong,China）

As a fundamental theorem of mathematics analysis,the mean value theorem for integrals is widely applied in calculation of limits and integrals.This paper,by using the definitions of supremum and infimum together with the intermediate value theorem,perfects the mixed mean value theorem for integrals.Based on this theorem,the first mean value theorem for integrable functions with the intermediate value property can be deduced.

First mean value theorem for integrals;Second mean value theorem for integrals;mixed mean value theorem for integrals

O172.2

A

1007-5348（2017）06-0001-03

（責任編輯：邵曉軍）

2017-02-02

國家自然科學基金青年基金項目(11501131)；廣東省高等學校優秀青年教師培養計劃項目（YQ2015117）；茂名市科技局軟科學項目（20140340）.

肖勁森(1984-)，男，廣東高州人，廣東石油化工學院數學系副教授，博士；研究方向：函數論.*通訊作者.