非時齊馬氏過程的隨機單調性

張美娟,張 銘

(1.中央財經大學統計與數學學院,北京 100081)(2.中國政法大學科學技術教學部,北京 102249)

非時齊馬氏過程的隨機單調性

張美娟1,張 銘2

(1.中央財經大學統計與數學學院,北京 100081)(2.中國政法大學科學技術教學部,北京 102249)

本文研究了非時齊馬氏過程的隨機單調性問題.利用時齊的馬氏過程隨機單調性的相關證明方法,加以改進,獲得了非時齊馬氏過程隨機單調性的顯式判定方法,并進一步將這一充分性條件推廣為等價條件.

非時齊馬氏過程;隨機單調性;耦合;偏序

1 引言

耦合方法是概率論研究中使用的一個重要方法,在研究時齊的馬氏過程時,曾經對耦合方法有過系統的介紹和研究(參見文獻[5]第5章).關于耦合的研究及其應用,陳木法教授在這一方面有著十分重要及突出的貢獻.而關于耦合方法的應用,一個重要的方面就是有關于馬氏過程的隨機偏序問題.

Massey[8]指出隨機偏序是研究排隊網絡的平穩分析時很好的工具.通過隨機偏序可以研究馬氏過程的單調性,比較定理以及強偏序及弱偏序的問題.有關時齊的隨機單調性的證明可參閱文獻[5].Massey在文獻[8]中給出了馬氏過程隨機單調性的一般性判定準則,但這一準則是從理論意義上得到的,并沒有給出顯式的結果.本文綜合了文獻[5,8]的結論及方法,給出了非時齊馬氏過程單調性的顯式判定方法,更方便于具體操作及應用,并將這一充分性條件的判定準則推廣為等價條件.

假設狀態空間()上有一個可測的偏序“”,且

定義1 如果對所有非負的單調函數f都有

稱P1(t)2(t),若P1(t)=P2(t),則稱P1(t)是隨機單調的.如果一個集合的示性函數是單調函數,那么這個集合稱為單調集合.

對于時齊馬氏過程的隨機單調性,有判定方法：對于有界q對,P1(t)2(t)當且僅當其相應的q對對任意的單調集合A滿足

對于非時齊的情形而言,將前面的定義推廣到非時齊馬氏過程中,就有

定義2 對于兩個非時齊的半群Pk(s,t),k=1,2,如果對所有非負的單調函數f都有

則稱P1(s,t)2(s,t).若任意的s≤t都有P1(s,t)=P2(s,t),稱P1(s,t)是隨機單調的.

于是參考文獻[5]中的引理5.45,就得到了非時齊隨機單調性的判定法則,即

定理3假設(qk(t,x),qk(t,x,dy))(k=1,2)對于t≥0是有界q對,那么P1(s,t)2(s,t)當且僅當其相應的q對對任意的單調集合A都滿足

2 定理3的證明

證對于有界的q對,由文獻[5]中可知存在唯一的過程P(s,t)與之對應.若有P1(s,t)?P2(s,t),則意味著對于x1?x2,

于是對于任意的t≥0都有

那么可以取f為示性函數IA,其中A為單調集合,于是

對于x12且x2∈Ac的情形,由于A是單調集合,所以IA(x1)≤IA(x2)=0,即x1∈Ac,于是有

那么對于x12,且x1∈A的情況,同樣由于A是單調集合,所以IA(x2)≥IA(x1)=1,也就是說x2∈A.由于

于是可得

反過來,如果(1.4)式對所有的0≤s≤t都成立,那么對于任意的0≤s≤t,可以令

此時,qk(s,t)可以看做是qk(u)(u∈[s,t])的線性組合,于是對于qk(u)滿足的性質(1.4)式,qk(s,t)也是同樣滿足的,即對于所有的單調集合A有

至此定理證明完畢.

注在這里注意到,對于保守的q對,1-P(t,t+△t;x;A)=P(t,t+△t;x;Ac),而對于x1,x2∈A,來說,類似前面的證明有

所以還可以得到對于保守的q對,(1.4)式也等價于

[1]王偉剛.一般隨機環境中馬氏鏈的強大數律[J].數學雜志,2011,31(3)：481-487.

[2]Anderson W J.Continuous-time Markov chains an applications-oriented approach[M].New York：Springer,1991.

[3]Blackwell D.Finite non-homogeneous chains[J].Ann.Math.,1945,46(4)：594-599.

[4]Chen M F.Eigenvalues,inequalities,and ergodic theory[M].London：Springer,2004.

[5]Chen M F.From Markov chains to non-equilibrium particle systems(2nd ed.)[M].Beijing：World Scientu fi c,2004.

[6]Chen M F,Mao Y H.Introduction to stochastic processes[M].Beijing：Higher Education Press,2007(in Chinese).

[7]Gri ff eath D.Uniform coupling of non-homogeneous Markov chains[J].J.Appl.Prob.,1975,12(4)：753-762.

[8]Massey,W A.Stochastic ordering for Markov processes on partially ordered spaces with applications to queueing networks[J].Lect.Not.Mono.Ser.,Stoch.Orders Dec.Risk.,1991,19：248-260.

[9]Meyn S P,Tweedie R L.Markov chains and stochastic stability[M].London：Springer-Verlag,1996.

THE STOCHASTIC MONOTONICITY OF INHOMOGENEOUS MARKOV PROCESSES

ZHANG Mei-juan1,ZHANG Ming2
(1.School of Statistics and Mathematics,Central University of Finance and Economics,Beijing 100081,China)(2.Department of Science and Technology,China University of Political Science and Law,Beijing 102249,China)

In this paper,we study the stochastic monotonicity of inhomogeneous Markov processes. By using and improving the proof method for the stochastic monotonicity of homogeneous Markov processes,we obtain the explicit criterion for stochastic monotonicity of inhomogeneous Markov processes.Further more,this article extends this sufficient criterion to the equivalent condition.

inhomogeneous Markov processes;stochastic monotonicity;coupling;partial order

on：60J99

O211.62

A

0255-7797(2017)04-0819-04

2016-03-30接收日期：2016-04-08

中國政法大學青年教師資助計劃(1000-10816108).

張美娟(1985-),女,河北石家莊,講師,主要研究方向：隨機游動,分枝過程.

張銘.