Banach空間中一類二階具阻尼項的積分-微分包含的可控性

劉宏亮,石 峰,朱 琳

(哈爾濱師范大學數學科學學院,黑龍江哈爾濱 150025)

Banach空間中一類二階具阻尼項的積分-微分包含的可控性

劉宏亮,石 峰,朱 琳

(哈爾濱師范大學數學科學學院,黑龍江哈爾濱 150025)

本文討論了一類二階具阻尼項的積分-微分包含問題.利用集值不動點定理將問題轉化為求不動點問題,進而得到系統可控性的充分條件.

微分包含;可控性;不動點定理;集值映射

1 引言

Balachandran等[1]討論了一類二階積分-微分系統的可控性,利用Schaefer不動點定理,給出了系統可控性的充分條件;Benchohra,Ntouyas[2]利用Martelli壓縮集值映射不動點定理,研究了在Banach空間中一類中立型微分和積分微分包含的存在性;Chang-Li[3]利用集值不動點定理,考慮集值函數具有非凸值時二階微分包含和積分微分包含的可控性.有關具阻尼項的微分包含也進一步發展起來,Benchohra等[4]利用不動點定理研究了集值映射具有凸和非凸值的情形的阻尼微分包含的存在性;Chalishajar[5]利用Ma不動點定理獲得了二階半線性具阻尼項的中立型微分包含可控性的充分條件.到目前為止,有關具阻尼項的微分系統的研究成果參見文獻[8,9],但有關具阻尼項的積分-微分包含系統的研究成果尚未見報道.

本文討論如下具阻尼項的積分-微分包含

可控性的問題,其中E是Banach空間,F：J×E→2E是有界閉凸集值映射.

A是E=(E,‖·‖)中有界線性算子的強連續余弦算子半群{C(t),t∈R}的無窮小生成元.

控制函數u∈L2(J,U),這里U是一個Banach空間,B是從U到E的有界線性算子,D是E上的有界線性算子.

2 預備知識

設(X,‖·‖)是Banach空間,J=[0,m],C(J,E)是從J到X的連續函數構成的Banach空間,賦予范數‖x‖∞=sup{‖x(t)‖：t∈J},L1(J,X)表示 Bochner可積函數x：J→X構成的Banach空間的全體.

記P(X)表示所有非空子集的全體,Pk(X)表示所有緊子集的全體,Pb(X)表示所有有界子集的全體,Pf(X)表示所有閉子集的全體,Pc(X)表示所有凸子集的全體,Pbfc(X)表示所有有界、閉、凸子集的全體.集值映射G：X→P(X),若對于任意的x∈X,G(x)是凸(閉、有界、緊）集,則稱G(x)是凸值(閉值、有界值、緊值)映射.對于任意的x0∈X,若對包含G(x0)的任意開集U,存在x0的鄰域V使得G(V)?U,則稱G是上半連續的.若集值函數G是全連續的且具有非空緊值,則G是上半連續的等價于G有閉圖,即

若存在x∈X使得x∈G(x),則稱G有不動點.設集值函數G：J→Pf(X),若對任意的x∈X,d(w,G(x))=inf{‖w-z‖：z∈G(x)}是J上的可測函數,則稱G是可測的.對于任意的x∈X,SG,x表示G(x(·))的所有的 Lebesgue-Bochner可積全體,即

稱Banach空間有界線性算子半群{C(t)：t∈R}是強連續余弦算子半群當且僅當

(1)C(0)=I,其中I是在B(X)中的單位算子;

(2)對于任意的s,t∈R,C(t+s)+C(t-s)=2C(t)C(s);

(3)對于任意x∈X,映射t→C(t)x是強連續.結合給定的強連續余弦算半群{C(t)：t∈R},定義

則稱{S(t)：t∈R}是強連續正弦算半群.令A：X→X,定義為

其中K(A)={x∈X：C(t)x是關于t的二次連續可微函數},則稱A為強連續余弦族{C(t)：t∈R}的無窮小生成元.定義E={x∈X：C(t)x是關于t的一次連續可微函數}.

引理2.1[6]設X是一個Banach空間,設集值函數G：J×X→Pbfc(X)滿足

(1)對于任意的x∈X,(t,x)→G(t,x)是關于t可測的;

(2)對于幾乎處處的t∈J,(t,x)→G(t,x)關于x是上半連續的;

(3)對每個固定的x∈C(J,E),集合

非空的.并且設Γ：L1(J,X)→C(J,X)是線性連續映射,則

是C(J,X)×C(J,X)上的閉圖算子.

引理2.2[7](Leray-Schauder替換定理)設X是Banach空間,C?X是X的非空凸子集,0∈C,集值映射G：C→Pk,c(C)是上半連續的,并且映C的有界子集為相對緊集,則下述論斷必有一個成立

(1)集合Γ={x∈C：x∈λG,λ∈(0,1)}是無界的;

(2)集值映射G(·)在C中存在不動點.

定義2.1函數y(·)∈C(J,E)滿足

并且y(0)+f(y)=y0,y′(0)=z0,則y(·)稱為系統 (1.1)-(1.2)的 mild解.

定義2.2系統(1.1)-(1.2)在J上可控,是指對任意的y0∈K(A)和z0∈E1,存在控制u∈L2(J,U),使得系統(1.1)-(1.2)的mild解滿足y(m)+f(y)=y0.

我們需要如下假設

(A1)A是Banach空間E上有界線性算子的強連續余弦算子半群{C(t)：t∈J}的無窮小生成元,且存在常數M＞0,使得M=sup{‖C(t)‖：t∈J}.

(A2)f是全連續的,且存在常數L＞0,使得對任意的y∈E,||f(y)||≤L.

(A3)線性算子W：L2(J,U)→E,定義為),存在取值于L2(J,U)kerW上的有界逆算子W-1,且存在M1,M2＞0,使得‖B‖≤M1,‖W-1‖≤M2.

(A4)F：J×E→Pbfc(E),且F滿足對任意的y∈E,t→F(t,y)是可測的,對于幾乎處處t∈J,y→F(t,y)是上半連續的;對每個固定的y∈C(J,E),集合

為非空的;

(A5)存在一個連續非降函數ψ：R+→(0,∞),及p(t)∈L1(J,R+)對于幾乎處處的t∈J,y∈E有

(A6)對于任意的t∈J,β(t,s)在[0,t]上可測,并且

在J上有界;

(A7)從J到L∞(J,R),映射t→βt是連續的,其中βt(s)=β(t,s).

3 主要結果

定理3.1若假設條件(A1)-(A7)成立,并且存在正數θ＞0,使得

其中

則系統(1.1)-(1.2)是可控的.

證由(A3),對任意的y(·)∈C(J,E),定義控制函數

其中

利用控制函數定義集值映射Φ(·)：C(J,E)→2C(J,E),具有如下形式

(1)對于任意的y∈C(J,E),y是凸的.

設h1,h2∈Φy,存在v1,v2∈SF,y,使得對任意的t∈J,有

令0≤α≤1,有

因為F有凸值,SF,y是凸的,則αh1+(1-α)h2∈Φy.

(2)Φ把C(J,E)中的有界集映成有界集.

令Vq={y∈C(J,E),‖y‖≤q},要證存在一個正數?l,使得對任意的y∈Vq,h∈y,有‖h‖∞≤ ?l.若h∈Φy,則存在v∈SF,y,使得

對任意的t∈J,由假設(A1)-(A7)知

其中

(3)Φ將C(J,E)中的有界集映射為等度連續的集合.設t1,t2∈J,0＜t1＜t2,對任意的y∈Vq,h∈Φy,使得(3.2)式成立,于是有

當t2→t1時,上述不等式右端趨于零,因而Φ(Vq)是等度連續的.

(4)Φ把有界集映射為E中的相對緊集.固定0＜t≤m,并且實數ε滿足0＜ε＜t,對于任意的y∈Vq,定義

因為C(t)和S(t)是緊算子,集合Yε(t)={hε(t)：hε(t)∈Φy}是相對緊集.對于每一個h∈y,當ε→0+時,‖h(t)-hε(t)‖→0,因此存在相對緊集任意逼近集合{h(t)：h∈Φy}.從而,{h(t)：h∈Φy}是相對緊的.因此算子Φ是全連續的集值映射.

(5)Φ(·)有閉圖象.令yn→y?,hn∈Φyn,且hn→h?,要證h?∈Φy?.事實上,hn∈yn,則存在vn∈SF,yn,使得

需要證明存在v?∈SF,y?使得

令

由f,W-1和D是連續的,則,?t∈J.從而當n→∞時,

定義線性連續算子 Γ：L1(J,E)→C(J,E),

并且

由引理2.1知Γ?SF,y是閉圖算子,并且有

因為yn→y?,所以

因此Φ是具有閉凸值且上半連續的集值映射.

由引理2.2知,為了證明Φ有不動點,還需要下面一個步驟.

令對于任意的λ∈(0,1),y∈λΦ(y)的t∈J,存在v∈SF,y使得

對任意的t∈J,有

因此

由(3.1)式知存在Φ,使得‖y‖/θ.設集合U={y∈C(J,E),‖y‖＜ θ}.在U中,當λ∈(0,1)時,不存在y∈?U滿足y∈λΦ(y).因此由引理2.2知Φ有不動點,則系統(1.1)-(1.2)是可控的.

[1]Balachandran K,Park D.G,Manimegalai P.Controllability of second-order integrodifferential evolution systems in Banach spaces[J].Comp.Math.Appl.,2005,49：1623-1642.

[2]Benchohra M,Ntouyas S K.Existence results of neutral functional di ff erential and integrodi ff erentail inclusions in Banach spaces[J].Elec.J.Di ff.Equ.,2000,20：1-15.

[3]Chang Y K,Li W T.Controllability of second-order di ff erential and inegrodi ff erential inclusions in Banach spaces[J].J.Optim.The.Appl.,2006,129(1)：77-87.

[4]Benchohra M,Gatsori E P,Ntouyas,S K.Nonlocal quasilinear damped di ff erential inclusions[J].Elec.J.Di ff.Equ.,2002,7：1-14.

[5]Chalishajar D N.Controllability of damped second order semi-linear neutral functional di ff erential inclusions in Banach spaces[J].Auto.Contr.Syst.J.,2009,2：1-7.

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[9]Jiang L,Ding W.Periodic solutions of damped impulse systems[J].J.Math.,2016,36(5)：920-928.

CONTROLLABILITY OF SECOND-ORDER DIFFERENTIAL INCLUSIONS IN BANACH SPACE WITH DAMPED AND INTEGRAL TERMS

LIU Hong-liang,SHI Feng,ZHU Lin
(College of Mathematics Science,Harbin Normal University,Harbin 150025,China)

In this paper,a class of di ff erential inclusions with the damped term and integral term in Banach space was studied.By using fi xed point theorem,a sufficient condition for the controllability for such di ff erential inclusion was obtained.

di ff erentail inclusion;controllability; fi xed point theorem;multivalued map

on：34A60

O175.12

A

0255-7797(2017)04-0811-08

2016-03-31接收日期：2016-12-01

黑龍江省教育廳教育項目(12541242).

劉宏亮(1978-),男,河北秦皇島,副教授,主要研究方向：運籌與控制.

石峰.