關(guān)于square-full數(shù)上的函數(shù)的均值估計

楊 麗傅 春

(1.南昌大學(xué)管理學(xué)院,江西南昌 330031)(2.南昌大學(xué)理學(xué)院,江西南昌 330031)(3.南昌大學(xué)中國中部經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展研究中心,江西南昌 330031)

楊 麗1,2,3,傅 春3

(1.南昌大學(xué)管理學(xué)院,江西南昌 330031)(2.南昌大學(xué)理學(xué)院,江西南昌 330031)(3.南昌大學(xué)中國中部經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展研究中心,江西南昌 330031)

本文研究了指數(shù)k-free數(shù)的特征函數(shù)在square-full數(shù)集中的均值估計問題.利用黎曼Zeta函數(shù)的性質(zhì)以及留數(shù)定理,獲得了該均值的漸近公式,推廣了在整數(shù)集中的均值估計相關(guān)結(jié)果.

square-full數(shù);留數(shù)定理;除數(shù)問題;Dirichlet卷積;均值

1 引言

整數(shù)n＞1有標(biāo)準(zhǔn)分解形式：若滿足其中a1≥k,a2≥k,···,ar≥k,則稱正整數(shù)n為k-full數(shù),當(dāng)k=2時也稱為square-full數(shù).令fk(n)是k-full數(shù)的特征函數(shù),即

這里

的漸近公式.即得到下面的定理.

定理當(dāng)D＞0時,對k≥3,有

注本文中,表示一個任意小的的正常數(shù),在不同的式中不必相同.

2 定理的證明

為了證明定理,需要以下的一些引理.

引理1 設(shè)a,b是整數(shù),且1≤a＜b,定義

有

其中

而且

證本引理的證明見Iv文[2]中的第14.3節(jié)和定理14.4.

引理2假設(shè)f(n)是算術(shù)函數(shù),滿足

其中

是關(guān)于t的次數(shù)不超過r的多項式,并且c≥1,b≥1是固定的整數(shù).如果h(n)=,那么

其中R1(t),···,Rl(t)是關(guān)于t的次數(shù)不超過r的多項式,并且當(dāng)D＞0時,有

證見Iv文[2]中的定理14.2.

下面證明本文的定理.令

其中

其中

顯然,對于k≥3,當(dāng)時,G(s)絕對收斂.

根據(jù)卷積原理[3],定義

由引理1得到

很容易得到

而且有

又由G(s)在?時絕對收斂,則可設(shè)

根據(jù)Abel分部求和得到

由于

所以當(dāng)n是square-full數(shù)時,有

再由Perron公式[3]可以得到

取T=x,并將積分線平移至處的留數(shù)分別為

再由(2.1)、(2.2)、(2.3)式和引理2,可以得到

其中D＞0,并且G(s)當(dāng)時是絕對收斂的.

這樣就得到了本文的定理.

[1]賀艷峰,孫春麗.奇完全數(shù)的兩個性質(zhì)[J].數(shù)學(xué)雜志,2015,35(1)：135-140.

[3]Subbarao M.V.On some arithmetic convolutions[J].The.Arith.Funct.,1972,251：247-271.

[4]Titchmarsh E.C.The theory of the Riemann Zeta-function[M].Oxford：Oxford University Press,1986.

THE MEAN VALUE OF FUNCTIONOVER SQUARE-FULL NUMBER

YANG Li1,2,3,FU Chun3
(1.School of Management,Nanchang University,Nanchang 330031,China)(2.School of Mathematics,Nanchang University,Nanchang 330031,China)(3.Center for Central China Economic Development Research,Nanchang University,Nanchang 330031,China)

In this paper,we study the mean value of the characteristic functionofk-free over square-full number.By using the property of Riemann-Zeta function and residue theorem,we obtain the asymptotic formula of the mean value,which is the generalization ofover integers.

square-full number;residue theorem;divisor problem;Dirichlet convolution;mean value

on：11E45

O156.4

A

0255-7797(2017)04-0865-06

2015-03-27接收日期：2015-10-28

南昌大學(xué)中國中部經(jīng)濟(jì)社會發(fā)展研究中心招標(biāo)項目(15ZBLPS06);江西高校哲學(xué)社會科學(xué)研究重大課題攻關(guān)項目(ZDGG02);教育部哲學(xué)社會科學(xué)發(fā)展報告培育項目(13JBGP024).

楊麗(1982-),女,山東臨沂,講師,主要研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué).