鋼板彈簧瞬態(tài)動力學(xué)特性建模

張邦基, 鄧 亢, 謝慶喜,2, 張 農(nóng),3

(1.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.東風(fēng)商用車技術(shù)中心，武漢 430058；3. 合肥工業(yè)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009)

鋼板彈簧瞬態(tài)動力學(xué)特性建模

張邦基1, 鄧 亢1, 謝慶喜1,2, 張 農(nóng)1,3

(1.湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)制造國家重點實驗室，長沙 410082； 2.東風(fēng)商用車技術(shù)中心，武漢 430058；3. 合肥工業(yè)大學(xué) 機械與汽車工程學(xué)院，合肥 230009)

為準(zhǔn)確模擬鋼板彈簧的遲滯非線性，以便開展精確的車輛動力學(xué)建模，提出一種鋼板彈簧瞬態(tài)模型。模型用組合摩擦元對鋼板彈簧遲滯機理進(jìn)行了模擬，并結(jié)合動態(tài)試驗運用自適應(yīng)模擬退火優(yōu)化方法對模型參數(shù)進(jìn)行了辨識。最后用識別的參數(shù)，對其它試驗曲線進(jìn)行了擬合，結(jié)果表明所建模型能夠較好表征鋼板彈簧的動態(tài)特性，是一種合適的鋼板彈簧瞬態(tài)模型。

鋼板彈簧；瞬態(tài)模型；參數(shù)識別；遲滯特性

人們對于車輛平順等性能要求的提高使得新型懸架形式不斷涌現(xiàn)[1-3]，然而傳統(tǒng)的鋼板彈簧懸架以其結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉、承載力強和可靠性高等優(yōu)點在當(dāng)前和未來一段時間仍將占有較大的市場份額，特別是在商用車等載重車輛領(lǐng)域。準(zhǔn)確的鋼板彈簧模型是此類車輛動力學(xué)建模的基礎(chǔ)，也是建模工作的難點之一。

國內(nèi)外學(xué)者對鋼板彈簧的研究工作大致可分為四個方面：基于材料力學(xué)的傳統(tǒng)計算方法[4]、長于總成特性研究的有限元模型[5]、重在系統(tǒng)特性描述的多體動力學(xué)模型[6]、以及主要表述垂向特性的彈簧數(shù)值模型[7-11]。

傳統(tǒng)計算方法在鋼板彈簧的前期設(shè)計應(yīng)用較多。有限元方法通過對結(jié)構(gòu)的空間離散、材料以及簧片間接觸特性的準(zhǔn)確表達(dá)，能夠?qū)︿摪鍙椈傻妮d荷-變形關(guān)系、應(yīng)力狀態(tài)等進(jìn)行精確分析。文獻(xiàn)[12]建立了多片鋼板彈簧的有限元模型，在考慮簧片間摩擦因素的基礎(chǔ)上對鋼板彈簧的應(yīng)力狀態(tài)和靜剛度進(jìn)行了分析。文獻(xiàn)[13]對某客車前鋼板彈簧進(jìn)行了遲滯特性分析，并分析了片間摩擦系數(shù)對遲滯特性的影響趨勢，但研究以靜態(tài)加載工況為主。文獻(xiàn)[14]用有限元方法考察了動態(tài)加載工況下鋼板彈簧的遲滯特性，得出加載幅值對鋼板彈簧的遲滯等效阻尼影響較大的結(jié)論。可以看出有限元方法多用于對鋼板彈簧總成特性進(jìn)行研究，鮮有將其應(yīng)用于整車動力學(xué)分析。這是因為有限元模型自由度多、接觸特性復(fù)雜，導(dǎo)致計算時間過程長，不適于長歷程的車輛動力學(xué)計算。這就需要開發(fā)用于車輛動力學(xué)計算的鋼板彈簧模型。

在鋼板彈簧動力學(xué)模型方面應(yīng)用較廣的方法包括離散梁法[15]、中性文件法[16-17]和SAE三連桿法[18]。文獻(xiàn)[19]從復(fù)雜程度、計算效率和參數(shù)化，以及車輛對平順性、操穩(wěn)性能的仿真能力等方面對螺旋彈簧、beam梁模型、有限元模型和三連桿模型進(jìn)行了對比分析，認(rèn)為三連桿模型擁有最優(yōu)的綜合性能。文獻(xiàn)[20]針對SAE三連桿模型遲滯特性描述的不足，在三連桿模型中引入干摩擦特性的力元，較好地模擬了鋼板彈簧的遲滯特性。三連桿模型中間一段剛性體用來等效鋼板彈簧U型螺栓夾持部分不變形的“無效長度”。對于多片簧，“無效長度”的假定是合理的，但對于少片簧卻不成立。為此，文獻(xiàn)[21]在傳統(tǒng)三連桿模型基礎(chǔ)上引入梁單元，將三連桿中間段的兩端“柔性化”得到了對少片簧的較好模擬效果。

車輛的設(shè)計前期，車輛結(jié)構(gòu)并不完備，為了滿足計算效率和參數(shù)化等方面的需求，研究者傾向于應(yīng)用簡單的車輛模型進(jìn)行車輛各項性能分析。此時簡單的彈簧數(shù)值模型大有用武之地。Fancher等正是在分析了大量的試驗數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上提出用特征方程描述鋼板彈簧遲滯非線性的半經(jīng)驗?zāi)Ｐ汀狥ancher模型。但該模型的不足在于，它只能表達(dá)鋼板彈簧非線性特性的穩(wěn)態(tài)模型，對于車輛瞬態(tài)工況無能為力。

鋼板彈簧數(shù)值建模的實質(zhì)是如何精確描述鋼板彈簧的遲滯特性。遲滯現(xiàn)象的研究是眾多學(xué)科的共性問題，如磁性材料、鐵電材料的磁化(極化)效應(yīng)相對于輸入的滯后、金屬橡膠的非線性遲滯特性[22]等。文獻(xiàn)[23]用Standard Triboelastic Solid(STS)模型對炭黑填充型橡膠材料的動力學(xué)遲滯特性進(jìn)行了描述，類似的遲滯特性描述方法還有Rate-dependent Triboelastic(RT)模型[24]、Generalized Maxwell模型[25]、Maxwell-slip模型[26]等。這些模型都是通過不同摩擦單元與彈簧元的串、并聯(lián)組合來實現(xiàn)遲滯特性復(fù)現(xiàn)。

本文結(jié)合鋼板彈簧遲滯特性產(chǎn)生的機理，在Maxwell-slip模型的基礎(chǔ)上構(gòu)建了鋼板彈簧的瞬態(tài)動力學(xué)模型，并利用優(yōu)化方法識別出模型各參數(shù)。仿真與試驗數(shù)據(jù)的對比顯示模型具有較好的逼近精度。

1 鋼板彈簧遲滯特性

對某型鋼板彈簧進(jìn)行動態(tài)試驗，圖1是試驗示意圖。加載分為靜態(tài)預(yù)載和動態(tài)激勵兩步：液壓作動器首先對放置于導(dǎo)向滑車上的鋼板彈簧總成施加預(yù)載；以平衡位置為中心進(jìn)行定頻的正弦位移輸入。整個加載控制和數(shù)據(jù)采集通過計算機來完成。當(dāng)作動器下壓，鋼板彈簧逐漸由弓形到平展?fàn)顟B(tài)，鋼板彈簧左右兩端水平距離變長，鋼板彈簧推動滑車分別向左右移動。在這一過程中鋼板彈簧各簧片均發(fā)生不同程度伸展，由于簧片緊密貼合，緊鄰簧片發(fā)生相互錯動，這種摩擦錯動是形成鋼板彈簧遲滯環(huán)的主要原因。為研究頻變和幅變因素對鋼板彈簧特性的影響，動態(tài)加載又分為等幅變頻和等頻變幅兩種方式。前者的加載幅值不變，改變加載頻率；后者是保持加載頻率不變，改變加載幅值。頻變加載包含0.5 Hz、1 Hz、2 Hz、3 Hz和5 Hz五個頻率點。所涉鋼板彈簧為重型卡車后簧，預(yù)載噸位大，這對試驗裝備的加載能力提出了較高的要求。鑒于裝備實際加載能力，動態(tài)加載采用小幅振蕩，幅值上限取20 mm。

圖1 鋼板彈簧動態(tài)加載示意圖

圖2對比顯示了鋼板彈簧滿載狀態(tài)下2 Hz等頻變幅加載工況遲滯曲線。圖3是鋼板彈簧在滿載狀態(tài)下5 mm等幅變頻加載工況?？梢钥闯龈鬟t滯環(huán)的加載段斜率略大于卸載段斜率；遲滯現(xiàn)象隨加載幅值的變大而愈發(fā)明顯，遲滯環(huán)向兩端有較大延伸；遲滯環(huán)的頻變效應(yīng)并不明顯，只是加載頻率增加后，遲滯環(huán)稍稍外展。

圖2 滿載狀態(tài)2 Hz等頻變幅工況遲滯曲線

Fig.2 Hysteresis curves of full load condition with the same 2 Hz frequency and different amplitudes

圖3 滿載工況5 mm等幅變頻工況遲滯曲線

Fig.3 Hysteresis curves of full load condition with the same 5 mm amplitude and different frequencies

2 Maxwell-slip模型

為描述各種遲滯現(xiàn)象，研究人員開發(fā)了眾多的數(shù)學(xué)模型，Maxwell-slip模型便是一種。圖4(a)是Maxwell-slip模型的構(gòu)造原理。模型的基本單元是摩擦元與彈簧的串聯(lián)結(jié)構(gòu)，若干個基本單元并聯(lián)最終構(gòu)成Maxwell-slip模型。模型力學(xué)原理可表述為：對某一基本單元，對彈簧施以右向位移，摩擦塊在地面摩擦力的作用下靜止不動，彈簧逐漸伸長，單元抗力等于線彈簧彈性力；隨著載荷增大，當(dāng)彈簧拉力達(dá)到摩擦塊的最大靜摩擦力，滑塊開始移動，此時彈簧拉力始終等于滑塊靜摩擦力，彈簧不再伸長，單元抗力也等于滑塊靜摩擦力。卸載過程的系統(tǒng)響應(yīng)正好與之相反：外力逐漸減小到滑塊最大靜摩擦力，滑塊達(dá)到靜平衡，停止滑動，單元抗力由最大靜摩擦力變?yōu)閺椈衫?，并隨彈簧長度的減小，逐漸減小直至為0；若繼續(xù)壓縮則形成反向加載。圖4(b)顯示了Maxwell-slip模型基本單元的力學(xué)特性。模型的整體力輸出是所有基本單元抗力之和，即

(1)

Maxwell-slip模型的實質(zhì)是若干個類似于圖4(b)的平行四邊形小遲滯環(huán)的疊加，而各小遲滯環(huán)的最大靜摩擦力fsi之和等于Maxwell-slip模型輸出力的振幅(如圖4(c)所示)；各遲滯環(huán)的加、卸載斜率ki不同，疊加效應(yīng)使得模型總遲滯環(huán)在加、卸載的過渡段出現(xiàn)圓滑過渡。

圖5顯示的是Maxwell-slip模型的頻變、幅變性質(zhì)，可以看出模型的遲滯曲線與加載頻率無關(guān)；而隨著加載幅值的增大，遲滯環(huán)向外擴展。該現(xiàn)象可以解釋為：幅值越大，滑塊與地面摩擦距離越長，耗能越多，遲滯環(huán)面積越大。對比圖5與圖2、圖3，可以看出Maxwell-slip模型的動力學(xué)特性與鋼板彈簧的遲滯曲線在頻變、幅變方面有相似之處。

(a) Maxwell-slip模型構(gòu)造原理

(b) Maxwell-slip模型基本單元力學(xué)特性曲線

(c) 若干個Maxwell-slip模型基本單元疊加的力學(xué)特性曲線

(a) 5 mm等幅變頻遲滯曲線

(b) 3 Hz等頻變幅遲滯曲線

圖5 Maxwell-slip模型的頻變、幅變性質(zhì)

Fig.5 Frequency-dependent and amplitude-dependent characteristics of Maxwell-slip model

3 鋼板彈簧動力學(xué)模型建模

3.1 鋼板彈簧動力學(xué)模型

鋼板彈簧的遲滯現(xiàn)象主要是由于片間摩擦引起，Maxwell-slip模型能夠通過多個滑塊的組合對摩擦現(xiàn)象進(jìn)行再現(xiàn)。結(jié)合圖2、圖3顯示的鋼板彈簧遲滯特性，對Maxwell-slip模型進(jìn)行改進(jìn)，將其與一個線彈性彈簧(主彈簧)和一個廣義阻尼器并聯(lián)，以此引入曲線斜率和頻變成分，構(gòu)造出適于描述鋼板彈簧遲滯特性的新模型。模型如圖6所示，模型的總輸出力變?yōu)?/p>

Fhys_out=Fmaxwell_out+Fk0(k0)+Fc(C,α)

(2)

需要指出的是阻尼指數(shù)α的取值范圍為0～1，它具有調(diào)節(jié)阻尼力類型的作用：當(dāng)α=0時，廣義阻尼器退化為干摩擦阻尼器，阻尼力與速度大小無關(guān)；當(dāng)α=1時，廣義阻尼器退化為黏性阻尼器，阻尼力與速度大小成正比；當(dāng)0<α<1時，模型處于黏性阻尼和干摩擦阻尼之間的中間狀態(tài)；α越接近0，干摩擦阻尼成分比重越大；α越接近1，黏性阻尼成分比重越大。

如果鋼板彈簧力學(xué)模型包含n個Maxwell-slip基本單元，即“滑塊-彈簧”單元，則鋼板彈簧模型共需要2n+4(滑塊單元個數(shù)n、各滑塊的臨界摩擦力fsi、各滑塊單元的彈簧線剛度ki，模型主剛度k0，廣義阻尼器參數(shù)C、α)個參數(shù)。顯然模型基本單元數(shù)越多，需要確定的參數(shù)越多。待定參數(shù)過多會給模型的確定帶來困難。為減少模型待定參數(shù)，對模型做出以下假定：

(a) 各滑塊具有相同的臨界摩擦力fs；

(b) 各滑塊所連接的線彈簧，其剛度值呈等差數(shù)列。也就是第一個滑塊所連彈簧的剛度為kb，其它依次在前一剛度基礎(chǔ)上增加dk，即ki=kb+(i-1)dk；

這樣無論構(gòu)造多么復(fù)雜的模型，只需確定七個待定參數(shù)：n、k0、fs、kb、dk、C、α。

3.2 參數(shù)研究

準(zhǔn)確理解模型參數(shù)對遲滯環(huán)的影響，是確定模型參數(shù)的基礎(chǔ)。通過修改單一變量的方法，探討各參數(shù)對遲滯環(huán)的影響趨勢。

圖6 鋼板彈簧動力學(xué)模型

圖7顯示的是各參數(shù)對遲滯曲線的影響趨勢。從圖7(a)可以看出阻尼指數(shù)α值越大，即模型中黏性阻尼力所占的成分越大，模型的遲滯曲線越接近橢圓。圖7(b)中顯示阻尼系數(shù)C值越大，遲滯環(huán)越寬，包絡(luò)面積越大，遲滯效應(yīng)越明顯。從圖7(c)可以看到基礎(chǔ)剛度kb對曲線的轉(zhuǎn)折點影響較大，kb越大，遲滯環(huán)尖角越分明，使曲線越趨于平行四邊形。而圖7(d)顯示隨著滑塊臨界摩擦力增大，遲滯環(huán)面積逐漸變寬，同時適乘剛度有增大的趨勢。圖7(e)表明主剛度k0對遲滯環(huán)的斜率起主導(dǎo)作用，主剛度越大，遲滯環(huán)包絡(luò)線斜率越大。圖7(f)表明其它參數(shù)相同的情況下，模型中包含的Maxwell-slip模型基本單元越多(n值越大)，遲滯環(huán)面積越大，遲滯環(huán)加、卸載過渡過程越圓滑。綜合來看主剛度k0是改變模型整體剛度的關(guān)鍵因素，而要調(diào)節(jié)遲滯環(huán)寬度臨界摩擦力fs是重要參考量；阻尼器阻尼系數(shù)C、指數(shù)項α能夠調(diào)節(jié)遲滯環(huán)的基本形狀，以及模型的頻變程度；并聯(lián)的基礎(chǔ)單元數(shù)量n能夠?qū)t滯環(huán)的光滑程度做出改善。

(a) α對模型遲滯曲線的影響

(b) C對模型遲滯曲線的影響

(c) kb對模型遲滯曲線的影響

(d) fs對模型遲滯曲線的影響

(e) k0對模型遲滯曲線的影響

(f) n對模型遲滯曲線的影響

4 鋼板彈簧模型參數(shù)的識別

通過對圖2、圖3的觀察不難發(fā)現(xiàn)滿載工況下鋼板彈簧遲滯曲線的上下包絡(luò)線斜率并不相同。在改進(jìn)Maxwell-slip模型中遲滯曲線的斜率主要由模型主剛度k0決定，因此設(shè)置單一定值的k0難以表達(dá)加載段和卸載段斜率的差別。針對這一情況，模型在加載和卸載段分別取不同的主剛度k0。最終鋼板彈簧等效模型的恢復(fù)力表示為

(3)

式中：k0l為加載段主剛度；k0u為卸載段主剛度。

對于模型參數(shù)的反求辨識，可描述為以下步驟。

因此上述尋找合適模型參數(shù)的辨識過程，可歸結(jié)為尋找最優(yōu)參數(shù)使目標(biāo)函數(shù)最小的優(yōu)化過程。這一過程的數(shù)學(xué)表達(dá)為

(4)

式中：num為實測載荷序列ft的元素個數(shù)；q為等效模型的一系列待定參數(shù)；qmax為待定參數(shù)的上邊界；qmin為待定參數(shù)的下邊界。

模型參數(shù)的識別過程是通過Isight調(diào)用Matlab來完成。在識別過程中需要選定優(yōu)化方法，Isight內(nèi)置優(yōu)化算法分為三大類：數(shù)值優(yōu)化法、直接搜索法和全局探索法。

數(shù)值優(yōu)化法包括：(Large Scale Generalized Reduced Gradient，LSGRG)廣義下降梯度法、(Sequential Quadratic Programming Method，NLPQL)序列二次規(guī)劃法等，其優(yōu)點是收斂快，甚至特定條件下，能從數(shù)學(xué)上加以證明目標(biāo)函數(shù)的收斂性。其缺點是對優(yōu)化初始值極度依賴，并且需要目標(biāo)函數(shù)有具體的解析式和完全的連續(xù)性。

直接搜索法包括：(Hooke-Jeeves Direct Search Method，HJ)霍克-吉維斯直接搜索法和(Downhill Simplex，DS)下山單純形法。這兩種方法在優(yōu)化過程中不需求解函數(shù)梯度，能直接搜索到最優(yōu)解。但其也比較依賴優(yōu)化初始值，并且不適合長歷程優(yōu)化，比較容易收斂于局部最優(yōu)解。一般多用于化學(xué)工程與流體力學(xué)等領(lǐng)域。

全局探索法包括：(Adaptive Simulated Annealing，ASA)自適應(yīng)模擬退火算法、Pointer(自動優(yōu)化專家算法)和Evol (進(jìn)化算法)等。全局探索法適合用于目標(biāo)函數(shù)具有多峰值、非線性、不連續(xù)、不可微和設(shè)計變量連續(xù)或者離散的優(yōu)化問題。其中ASA具有最優(yōu)的穩(wěn)定性，適用于高度非線性的問題，并且能有效的探索全局最優(yōu)解[27]。綜上所述，本文在優(yōu)化過程中，選擇ASA作為優(yōu)化算法。

考慮到模型仍然多達(dá)7個待定參數(shù)，合理設(shè)置參數(shù)初始值有利于加快尋優(yōu)過程的快速收斂?？紤]到鋼板彈簧遲滯曲線的斜率主要取決于模型的主剛度k0，可首先根據(jù)遲滯曲線上下包絡(luò)線的斜率，利用最小二乘法分別估算出模型加載和卸載段的主剛度k0l、k0u。其值如表1所示。通過多次試算，認(rèn)為基本單元的個數(shù)n取8較為合適，能夠基本表達(dá)曲線的基本形狀。確定單元數(shù)之后，再由加載力和卸載力間的差值除以基本單元數(shù)的兩倍(2n)，大致估算出滑塊臨界摩擦力fs。最終參數(shù)識別的結(jié)果如表2所示。

表1 估算出的模型加載、卸載段主剛度

表2 參數(shù)識別的結(jié)果

所有參數(shù)的識別工作，通過對5 mm試驗工況的仿真擬合完成(見圖8)。經(jīng)驗證，識別出的這組參數(shù)也同樣適用于其他加載工況。圖9對比顯示了等效模型對多工況試驗的逼近效果。根據(jù)模型仿真曲線與鋼板彈簧的驗曲線的對比結(jié)果來看，模型效果是令人滿的。遲滯環(huán)的總包絡(luò)面積代表在這些試驗循環(huán)中由鋼板彈簧摩擦遲滯而耗散掉的總能量，表3從能量耗散的角度對比顯示了等效模型的仿真精度(仿真曲線遲滯環(huán)面積/試驗曲線遲滯環(huán)面積)。

表3 仿真與試驗?zāi)芰亢纳Ρ?/p>

任意響應(yīng)可看作眾多正弦響應(yīng)的線性疊加。等效模型應(yīng)用摩擦單元與剛度、阻尼的聯(lián)合，反映出鋼板彈簧遲滯特性產(chǎn)生的機理。它可以用一組相同參數(shù)較好的完成鋼板彈簧等幅頻變和等頻幅變等正弦工況試驗的逼近，因此根據(jù)疊加原理，模型能夠勝任任意瞬態(tài)工況的模擬。

(a) 5 mm 0.5 Hz擬合結(jié)果圖

(b) 5 mm 1 Hz擬合結(jié)果圖

(c) 5 mm 2 Hz擬合結(jié)果圖

(d) 5 mm 3 Hz擬合結(jié)果圖

(e) 5 mm 5 Hz擬合結(jié)果圖

(a) 3 mm 0.5 Hz擬合結(jié)果圖

(b) 10 mm 0.5 Hz擬合結(jié)果圖

5 結(jié) 論

以Maxwell-slip模型為基礎(chǔ)，建立鋼板彈簧等效數(shù)學(xué)模型，并對模型待定參數(shù)加以限定從而減小參數(shù)識別難度。在鋼板彈簧多工況試驗的基礎(chǔ)上，運用優(yōu)化算法，以減小等效模型與鋼板彈簧實測遲滯曲線之間的誤差為目標(biāo)，識別出一組模型參數(shù)。模型通過摩擦元與彈簧、阻尼單元的組合，對鋼板彈簧遲滯特性產(chǎn)生的機理進(jìn)行了很好的描述，以該套參數(shù)為基礎(chǔ)的等效模型能夠?qū)υ囼灲Y(jié)果進(jìn)行良好逼近，顯示出較好的仿真精度。模型適于鋼板彈簧穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)工況的模擬。

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Transient dynamic modeling for leaf springs

ZHANG Bangji1, DENG Kang1, XIE Qingxi1,2, ZHANG Nong1,3

(1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body, Hunan University, Changsha 410082, China;2. Dongfeng Commercial Vehicle Technology Center, Wuhan 430058, China;3. School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In order to simulate the hysteresis nonlinearity of leaf springs correctly to build an accurate vehicle’s dynamic model, a transient dynamic model for leaf springs was established. The hysteresis mechanism of leaf springs was simulated with combined friction elements. The parameters of the model were identified with the adaptive simulated annealing optimization algorithm (ASA) combined with dynamic tests. Finally, employing the proposed model and its identified parameters, a set of simulations under other test conditions were conducted. The good match between other test curves and simulation ones showed that the proposed model can effectively predict dynamic characteristics of leaf springs, so it is an appropriate one for leaf springs.

leaf spring; transient model; parametric identification; hysteresis

國家自然科學(xué)基金(51675152)；汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點實驗室自主課題(71575005)

2016-02-24 修改稿收到日期：2016-04-21

張邦基 男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，1967年11月生

謝慶喜 男，博士生，高級工程師，1979年11月生

U463.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.038