含雙頻時變滾動軸承剛度的轉子-軸承系統響應特征研究

張學寧， 韓勤鍇， 褚福磊

(1.中國航空發動機研究院，北京 101304； 2.清華大學 機械工程系，北京 100084)

含雙頻時變滾動軸承剛度的轉子-軸承系統響應特征研究

張學寧1， 韓勤鍇2， 褚福磊2

(1.中國航空發動機研究院，北京 101304； 2.清華大學 機械工程系，北京 100084)

考慮有限數目滾動體和轉子不平衡力引起的滾動軸承剛度的周期時變性，建立了含雙頻時變滾動軸承剛度的三自由度轉子-軸承系統動力學模型。以單頻參數激勵系統響應的頻率分布規律為參照，指出了含雙頻時變參數的動力學系統其響應的頻率構成規律：雙頻參數激勵系統自由響應中出現的頻率是系統等效固有頻率分別和參數頻率的組合，以及等效固有頻率同時和兩個參數頻率的組合；強迫響應中的頻率除了包含自由響應中的頻率成分之外，還包含外激勵頻率分別和兩個參數頻率的組合，以及其同時和兩個參數頻率的組合。在轉子-滾動軸承系統響應中出現的倍頻響應、參數頻率及其倍頻對應的頻率成分，可以通過該分析給出合理的解釋。該結論有助于更深入地理解多頻參數激勵系統響應的頻域特征，為變參數旋轉機械系統故障診斷中的頻率成分識別提供了參考。

響應特征;雙頻時變滾動軸承剛度;角接觸球軸承；轉子-軸承系統

滾動軸承在旋轉機械系統中具有廣泛的應用，由于滾動軸承的摩擦非常小，在實際應用中往往忽略它的阻尼特性，僅把它簡化為剛度參數引入系統的動力學模型中。剛度的簡化主要有兩種方式，一種是將其視為常數；另一種是考慮軸承中滾動體的有限數目引起的變剛度而將軸承簡化為具有周期時變剛度的彈簧單元。顯然，后一種情況更加接近滾動軸承的真實支承特性，而且有研究表明考慮滾動軸承的變剛度特性之后，轉子-軸承系統會表現出許多新的動力學響應特征[1-3]。Richards[4]系統地研究了單周期參數時變系統的動特性和穩定性。Han等[5]利用矩陣分解的Sylvester理論和周期矩陣的Fourier級數展開理論推導了含單個參數激勵頻率的周期時變系統的自由響應和強迫響應的解析表達式，給出了系統兩類響應頻譜構成的理論解釋。本文以此為理論參照，在前期工作的基礎上，考慮有限數目滾動體和轉子不平衡力引起的滾動軸承剛度的雙頻時變特征，建立轉子-軸承系統的三自由度動力學模型，通過數值求解得出系統在三個自由度上響應的頻率分布，討論了含雙頻時變參數的動力學系統其響應的頻率構成。

1 轉子-滾動軸承系統的動力學模型

圖1 轉子-軸承系統的動力學模型

本文研究的轉子-軸承系統的是一對角接觸球軸承支承下的單盤對稱轉子系統，如圖1所示。特殊之處是這里不但考慮了滾動軸承內有限數目滾動體引起的軸承剛度的周期時變性，而且考慮了由轉子的不平衡載荷引起的滾動軸承剛度的周期時變性。這樣，滾動軸承的支承剛度就包含了兩個參數激勵頻率。本文考慮轉子的三個平動自由度，即兩個徑向運動和一個軸向運動。此外，需要指出的是這里轉軸的剛度要遠大于軸承的剛度，且對于所支承的轉子而言，轉軸和軸承相當于是串聯的彈簧，因此這里只考慮軸承的剛度而將轉軸視為剛體。包含時變滾動軸承剛度的轉子系統的動力學模型可以用如下的微分方程來描述

(1)

式中:Ω和e分別為盤的旋轉角速度和偏心距;m,c(.)，k(.)分別為轉子的質量、轉子-軸承系統的阻尼和滾動軸承的支承剛度，下標表示對應的自由度,這里取轉盤的質量m=86 kg，軸的跨度為2l=0.2 m，角接觸球軸承型號為b218，其詳細參數可參見文獻[6]。考慮轉子不平衡和有限數目滾動體的軸承剛度可以通過擴展的Jones-Harris方法得出[7]，前期的研究表明同時考慮不平衡載荷和有限數目滾動體得出的滾動軸承三個平動自由度方向上的支承剛度可以表示為

(2)

式中,fec和fVC分別為軸承剛度中由不平衡引起的參數頻率和軸承內滾動體的通過頻率。其中，前者滿足fec=f，后者和轉頻的關系可以通過式(3)確定

(3)

式中，D、dm和α分別為軸承滾動體的直徑，軸承的節圓直徑和初始接觸角。由此可見，式(1)中的每個剛度參數都會包含兩個參數頻率，即fec和fVC。

需要指出的是，雖然系統的軸向振動沒有對應的強迫激勵項，但是這個自由度對應的剛度參數kzz仍然包含參數頻率fec。這是因為角接觸球軸承的剛度由軸承內部的載荷分布決定，轉子系統在橫向受到的不平衡激勵會改變軸承的載荷分布，載荷分布進而會影響到軸承的所有剛度參數，使得不受外激勵作用的軸向振動對應的剛度參數kzz也包含頻率fec。

2 參數激勵系統動力學響應的頻譜特征

參數激勵系統的控制方程可以用具有時變系數的微分方程加以描述，該系統的振動和時不變線性系統有著明顯的區別。針對具有單頻時變恢復力的周期時變單自由度系統，文獻[5]給出了該系統自由響應和強迫響應的頻率分布。自由響應的頻率分布為

(4)

強迫響應的頻率分布為

(5)

3 含雙頻時變滾動軸承剛度的轉子-軸承系統響應分析

3.1 自由響應的頻率分布特征

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

根據確定單頻參數激勵下系統自由響應頻率成分的式(4)，雙頻參數激勵系統的軸向振動中會出現由f和fVC的公倍數決定的頻率和系統的等效固有頻率fOz構成的組合頻率成分。但是從圖2(a)～圖2(c)和圖2(e)可見，系統中出現的是等效固有頻率分別和兩個參數頻率組合的成分。這是雙頻參數激勵系統自由響應區別于單頻參數激勵系統自由響應的突出特點。更加值得注意的是，系統的響應中不但有等效固有頻率和單個參數頻率構成的組合成分，而且還有等效固有頻率同時和兩個參數頻率的組合成分，如圖2(d)中示出的fOz+fVC-fec。顯然，這種形式的組合響應在式(4)所給出的單頻參數激勵系統的響應中是不會出現的。因此，等效固有頻率同時和兩個參數頻率相組合的響應形式也是雙頻參數激勵系統響應區別于單頻參數激勵系統響應的重要特征。

3.2 強迫響應的頻率分布特征

式(1)中的前兩個微分方程表明轉盤的橫向振動是在簡諧型激勵下的強迫振動。式(5)是單頻參數激勵系統強迫響應的頻率分布表達式，它表明在簡諧型激勵下，系統的響應中會出現參數激勵頻率分別和系統的等效固有頻率和外激勵頻率的組合成分。按此推斷，本文中研究的包含兩個參數激勵頻率的周期時變系統的響應中會出現由fec和fVC所對應的公共周期確定的頻率分別和系統的等效固有頻率以及系統的外激勵頻率相組合的頻率成分。圖3和圖4給出了轉盤在Ox和Oy兩個方向上的響應所包含的頻率成分，這兩組圖所對應的轉速仍然是n=8 140 r/min，因此，f，fVC和fec的數值和3.1中的情況一致，即f=135.67 Hz，fVC=937.8 Hz，fec=f=135.6 Hz。圖3和圖4中的fOx和fOy表示系統對應于x和y兩個徑向自由度的等效固有頻率，根據計算出的剛度參數可以得出其值如圖3和圖4所示，即fOx=fOy=59.28 Hz。從圖3和圖4可以看出，Ox和Oy兩個方向上的響應并沒有出現前面根據式(4)推斷出的頻率組合形式。定性而言，本文中的雙頻參數激勵系統實際出現的頻率組合形式包含兩類，一類是等效固有頻率和參數頻率的組合，一類是外激勵頻率和參數頻率的組合，這個特點和式(4)給出的單頻參數激勵系統的響應特征是一致的。但是在具體的組合形式上又有所不同，說明如下。首先，對于等效固有頻率和參數頻率的組合形式，響應中不僅出現了等效固有頻率和單個參數頻率組合的形式，此外還包含等效固有頻率同時和兩個參數頻率組合的形式，如圖3(c)中的|fOx-fVC-fec|，圖3(d)中的fOx+fVC+fec，圖4(b)中的fOy+fVC-fec，圖4(c)中的fOy+fVC+fec和圖4(d)中的|fOy-fVC-2fec|。

對比式(4)和式(5)可見，強迫響應區別于自由響應之處是前者不但會出現等效固有頻率和參數頻率的組合形式，而且會出現外激勵頻率和參數頻率的組合形式。通過圖3和圖4可以看出，外激勵頻率和參數頻率的組合形式也是既包含外激勵頻率和單個參數頻率的組合形式也包含外激勵頻率同時和兩個參數頻率組合的形式。

此外，特別值得注意的是由于外激勵頻率和剛度參數所包含的fec這個參數頻率是相等的，因此，在外激勵頻率單獨與這個參數頻率的組合中會出現外激勵頻率整數倍的響應成分，如圖3(a)和圖4(a)中出現的f+fec=2f和f+2fec=3f，在形式上相當于外激勵頻率的2倍頻和3倍頻。研究表明，倍頻響應和組合頻率響應是轉子-滾動軸承系統響應的主要表現形式[8-9]，通常這些現象被歸因于系統的非線性特性。由本文的研究可以看出，從參數激勵系統的角度可以對轉子-滾動軸承系統的倍頻響應和組合頻率響應給出一種新的解釋，這有助于提高對該類系統響應形式的認識和理解。

另外，在圖3(b)和圖4(b)中都可以看到系統的響應中出現了fVC獨立存在的頻率成分。而從式(4)推斷，單頻參數激勵系統的動力學響應中是不會出現參數頻率單獨存在的響應形式的。這里之所以出現了fVC單獨存在的頻率成分是因為所研究系統的特殊性。正如前面所提到的，滾動軸承剛度所包含的兩個頻率成分中的fec和系統的轉頻f是相等的，因此，當出現外激勵頻率f和參數頻率fVC，fec構成的形如f+fVC-fec的組合形式時，其最終的表現形式就是系統的參數頻率fVC。由此外推可知，系統還會因為類似的組合出現fVC的倍頻響應形式。這是轉子-滾動軸承系統響應中經常出現的滾動體通過頻率及其倍頻的一種新的解釋。

(a)

(b)

(c)

(d)

(a)

(b)

(c)

(d)

3.3 阻尼對系統頻域響應的影響

根據3.1節和3.2節的具體分析可以發現，當轉子-軸承系統的剛度參數包含兩個參數頻率時，系統響應的頻率構成和單頻參數激勵系統的響應有著明顯的區別。在3.1節和3.2節的分析中沒有考慮阻尼，這個小節給出阻尼對系統頻率響應的影響。圖5給出了在比例阻尼系數ζ(ζ與轉子-軸承系統的支承剛度相乘得到系統的阻尼值)取0 s和2×10-5s時，系統在三個方向上響應的對比。z向運動的初始條件和3.1節中給出的初始條件保持一致，從圖5(c)可以看出，在阻尼的影響下，自由響應中出現的組合頻率成分所對應的幅值相對于無阻尼的情況都有所下降，這和單頻參數激勵系統中阻尼的影響是一致的。圖5(a)和圖5(b)給出的是系統在Ox和Oy兩個方向上阻尼對系統頻率響應的影響，即強迫振動下阻尼對響應的影響規律。可以看出，凡是和系統的等效固有頻率有關的各項，其所對應的頻率成分的幅值都呈現出下降的趨勢。但是，和等效固有頻率無關的各頻率成分所對應的幅值基本上保持不變。

因此阻尼對系統響應幅值的影響主要是對包含系統等效固有頻率的組合頻率所對應的振幅有抑制作用，而對系統其他形式響應的幅值幾乎沒有影響。值得指出的是，由于本文研究的轉子-軸承系統的阻尼比較小，考慮阻尼之后，系統的固有頻率變化極小。因此，在圖5中幾乎看不出固有頻率的變化。

(a)

(b)

(c)

3.4 試驗驗證

為了進一步驗證上述分析，本文進行了試驗研究，試驗裝置如圖6所示。圖中，1和7為軸承座，2為傳感器支架，3為電渦流傳感器，4為轉盤，5為轉軸，6為軸承。O-xyz為轉子-軸承系統的坐標系。

圖6 轉子-軸承系統試驗裝置

沿轉盤的周向加工有均勻分布的螺紋孔，安裝不同數目的螺釘或者調整螺釘的安裝位置可以實現轉子-軸承系統不平衡量的調節。同時，轉盤和軸由滾動軸承支承。因此，試驗系統和式(1)代表的動力學系統具有相同的激勵。或者說，試驗系統也是含雙頻時變滾動軸承剛度的轉子-軸承系統。系統中所含的兩個參數激勵頻率仍然是fec和fVC。受試驗條件所限，取轉子系統的轉速為300 r/min，那么理論上對于試驗轉子-軸承系統而言，fec=5 Hz，fVC=16 Hz。但是，由于滾動軸承在運轉的過程中不可避免地會有打滑發生，因此，fVC的實際值會略低于理論值。對于本次試驗而言，fVC的實際值為15.38 Hz。

對試驗中獲得的時域響應數據進行傅里葉變換，在0～80 Hz之間，以20 Hz為一個頻段，圖7給出了系統沿Ox方向的強迫響應的頻率分布。可見，在系統的響應中出現了以參數頻率的形式單獨存在的頻率成分，如圖7(a)中的fVC，圖7(b)中的2fVC和圖7(c)中的3fVC。此外，還出現了外激勵頻率f同時和兩個參數頻率相組合的頻率成分，如圖7(b)中的f+fec+fVC和圖7(d)中的f+9fec+fVC。這些都是單頻參數激勵系統的頻域響應中所沒有的現象。同時可以發現，就響應中所包含的頻率類型而言，數值結果和試驗結果是一致的，從而證明了本文分析的正確性。

(a)

(b)

(c)

(d)

4 結 論

以含雙頻時變滾動軸承剛度的轉子-軸承系統為研究對象，以單頻參數激勵系統響應的頻率分布為參照，本文分析了雙頻參數激勵周期時變系統的頻域響應特征，主要結論如下:

(1) 雙頻參數激勵系統響應中并不會出現單頻參數激勵系統所預測的固有頻率與兩個參數頻率公倍數對應頻率的組合情形。實際上，在自由響應中出現的是固有頻率分別和兩個參數頻率單獨組合的情形以及固有頻率同時和兩個參數頻率組合的情形；在強迫響應中，除了自由響應中出現的頻率外，還會出現外激勵頻率分別和兩個參數頻率組合的情形以及外激勵頻率同時和兩個參數頻率組合的情形。

(2) 雙頻參數激勵系統會出現參數頻率獨立存在的頻率成分，而單頻參數激勵系統則沒有這種現象。這是雙頻參數激勵系統區別于單頻參數激勵系統的重要特征。

(3) 對于本文所研究的轉子-滾動軸承系統而言，由于軸承剛度中由不平衡引起的參數頻率和轉頻相等，所以當外激勵頻率和該參數頻率相組合的時候就會出現系統的倍頻響應。這就從多頻參數激勵系統的角度給出了轉子-滾動軸承系統倍頻響應的新的解釋。

(4) 阻尼對包含等效固有頻率的響應成分具有明顯的抑制作用，但是其對不包含等效固有頻率的響應則基本沒有影響。

本文得出的上述結論為提高研究人員對雙頻參數激勵和多頻參數激勵系統的響應特征的認識提供了幫助，并為旋轉機械系統故障診斷中的頻率成分識別提供了參考。

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Response characteristics of a rotor-bearing system with double-frequency time-varying bearing stiffness

ZHANG Xuening1， HAN Qinkai2， CHU Fulei2

(1. Aero Engine Academy of China, Beijing 101304, China;2. Department of Mechanical Engineering, Tsinghua University, Beijing 100084, China)

Considering periodic time-varying stiffness of ball-bearings due to finite balls and a rotor’s unbalanced force, a 3-DOF rotor-bearing system was set up. Referring to the response frequency distribution law of a single-frequency parametrically excited system, the response frequency constitution law of a double-frequency parametrically excited system was formed. The latter was that the frequencies appearing in the system’s free responses are combinations of the sytem’s equivalent natural frequencies and the two parametric ones, respectively and combinations of the system’s equivalent natural frequencies and the two parametric ones simultaneously; the frequencies appearing in the system’s forced responses include not only those appearing in the system’s free responses, but also combinations of the excitation frequencies and the two parametric ones, respectively and combinations of the excitation frequencies and the two parametric ones simultaneously. In addition, the double-frequency response and response frequency components corresponding to parametric frequencies and their double ones appearing in the responses of the rotor-bearing system were explained reasonably through deep analyses here. The conclusions obtained here were helpful to deeply understanding response characteristics in frequency-domain of a muti-frequency parametrically excited system, they also provided a reference for frequency component identification of faults appearing in a rotating machinery system with time-varying parameters.

response characteristics; double-frequency time-varying bearing stiffness; angular contact ball bearing; rotor-bearing system

國家自然科學基金項目(11602259)；國家自然科學基金重點項目(51335006)；北京市自然科學基金重點項目(3131002)

2016-01-19 修改稿收到日期：2016-05-10

張學寧 男，博士，高級工程師，1985年生

褚福磊 男，博士，教授，博士生導師，1959年生

TH133.33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.13.018