基于有限元的天平校準系統基座結構優化設計

趙永豐+王均濤

摘要： 在Solidworks環境下建立三維模型，運用有限元軟件對基座結構進行動、靜態性能分析，得到初始模型的性能參數.以最小質量為目標函數，以剛度、應力和頻率為約束條件，建立數學模型.提出一種基于漸進結構優化法的拓撲優化方法，引入過濾函數來解決拓撲優化過程中容易出現的數值不穩定、數值分布呈棋盤模式的現象，保證計算結果的準確性.對拓撲優化后的模型重新分析計算后發現，其性能依然優異，基頻提升26.7%，質量減少5.8%.

關鍵詞： 基座； 靜力分析； 模態分析； 拓撲優化； 漸進結構優化

中圖分類號： TH 715文獻標志碼： A

Optimization Design of Pedestal Structure of Balance

Calibration System Based on Finite Element Method

ZHAO Yongfeng1，WANG Juntao2

（1.School of Mechanical Engineering， University of Shanghai for Science and Technology， Shanghai 200093， China；

2.Shanghai Machine Tool Works Ltd.， Shanghai 200093， China）

Abstract： The threedimensional model is established in Solidworks，and the static and dynamic performance of the pedestal structure is analyzed by finite element software，which can help to get the performance parameters of the initial model.Based on the minimummass as the objective function，the mathematical model for topology optimization is established with the stiffness，stress and frequency as the constraint condition.For ensuring the accuracy of the calculation results，a method based on evolution structure optimization for topology optimization is presented and a filtering function is introduced in order to solve the numerical instability and checkerboard phenomenon in the topology optimization process.After analyzing the calculation of the topological optimized model，the structure performance is still excellent.As a result，the fundamental frequency increased by 27.6%，and the mass reduced by 5.8%.

Keywords： pedestal； static analysis； modal analysis； topology optimization； evolution structure optimization

風洞天平校準系統是目前世界各國在各類型氣動力測量試驗中廣泛采用的測量裝置，其性能指標直接影響天平校準系統的試驗測量數據精度.風洞天平校準裝置主要由龍門架、基座和四自由度機械臺體組成，其系統結構如圖1所示.基座支撐龍門架、加載機構和四自由度機械臺等部件，在整個系統中占總質量的44.6%.因此，在保證剛度和強度的情況下，合理設計基座結構，進行拓撲優化，以使基座質量減小，同時降低工藝難度與生產成本，獲得良好的經濟效益.基座內部的筋板結構和布局在很大程度上決定了基座的動、靜態性能[1]，而基座靜態特性與動態特性又影響著天平校準系統的測量性能與精度穩定性.低階模態特性基本決定了產品的動態性能，因此，在基座結構優化過程中也要考慮頻率方面的約束[2].對天平校準系統的基座進行靜力分析與模態分析，利用漸進結構優化法，以最小質量為目標函數，以剛度、應力和頻率為約束條件，引入過濾函數來解決拓撲優化過程中容易出現的數值不穩定現象.最后對基座進行拓撲分析，從滿足約束的結構中刪除多余的材料，以此來獲得最小的基座質量.

1.1模型建立

基座由灰鑄鐵鑄造而成，結構復雜多變，主要由厚度不一、形狀各異的筋板，以及鑄造岀砂孔構成，根據實際使用情況需要，整體結構形狀設計為T型.Solidworks環境下建立的三維模型是有限元分析和結構優化的前提和基礎.為了便于有限元分析計算，必須對三維模型進行結構簡化，省去倒角、圓角、螺紋孔等細微特征.簡化后的模型及有限元模型如圖2、圖3所示.基座長3 100 mm，兩翼寬2 990 mm，中間寬1 260 mm，高520 mm，設定中間筋板厚度25 mm，兩翼筋板厚度20 mm，壁厚25 mm.

1.2靜力分析

靜力分析用于計算在固定不變的載荷作用下結構的效應，它不考慮慣性和阻尼的影響，如結構隨時間變化的載荷的情況.其靜力學方程為：

[K]{u}={F}（1）

式中：[K]為剛度矩陣；{u}為各節點位移；{F}為靜力載荷.

在靜態工作環境下，基座主要受到3個相同的側力加載機構的重力，其值均為9 000 N，四自由度機械臺重力約為30 000 N，龍門架及其上的測量架與升力加載機構的重力約為20 000 N.在ANSYS軟件中設置材料、劃分網格、施加約束和作用力，得到變形與應力分布圖，如圖4、圖5所示.

由圖4可知，最大變形為0.015 mm，最大應力為1.47 MPa.最大變形發生于基座兩翼部分，此處正是側力加載機構所處的位置，而這個系統最關鍵的部分就是此處的側力加載機構，其精度直接影響測量的準確度.應力范圍為0.16～1.47 MPa，遠遠小于鑄鐵的極限強度，基座可以進一步減輕質量.

1.3模態分析

模態是結構的一種固有振動特性，是一種研究結構動力特性的方法.每個結構都具有各自的模態參數，而模態參數的識別大致分為兩種方法：一是通過計算機的有限元軟件進行計算獲得；另一種是模態試驗的方法，通過試驗設備采集到輸出信號，經過參數識別從而獲得模態參數.本文采用有限元軟件進行計算獲取模態參數.

自由度的振動系統可表示為[3]：

[M]{x··}+[ξ]{x·}+[K]{x}={f}（2）

式中：[M]，[K]分別為質量和剛度矩陣；{f}為外激勵矩陣；{x··}、{x}分別為物理坐標下的位移和加速度矩陣.

當{f}=0時，阻尼ξ=0，式（2）為自由振動方程，其特征方程為：

[K]-ω2[M]=0（3）

解方程式（3）得ω的m個互異正根ω0i（i=1，2，…，m），并按升序排序，0<ω01<ω02<…<ω0m，第i階固有圓頻率

ω0i=kimi或固有頻率f0i=12πkimi（4）

各階固有頻率f0i均與kimi成正比，f0i越大，說明單位質量的剛度越高，可作為結構動態設計的一個優化約束條件.在進行動態結構優化時，盡量提高各階固有頻率，避免固有頻率與外界激勵頻率一致引起共振.利用ANSYS軟件對基座進行模態分析，分析時采用靜力分析模型，對基座底面進行固定約束，不施加任何載荷，由于低階模態對振動系統影響較大，求得基座的前四階頻率，如表1所示.各階振型如圖5所示.

通過對基座進行自由模態分析，得到了基座的固有頻率和固有振型，真實地反映出基座的動態特性.表1和圖6表明基座具有良好的振動性能，同時也為后續基座結構優化分析設計做了準備.

2基座的拓撲優化

靜力學方面的拓撲優化問題一般可以按兩種方式建立優化模型：一是在體積或質量約束下求最小柔度，即最大剛度；二是在剛度（或其他條件）約束下求最小體積或質量[4].本文是在頻率、剛度及應力約束下采用漸進結構優化法（evolutionary structural optimization，簡稱ESO法[5-6]）求解最輕的質量.

所謂ESO法就是預先選取結構設計域和初始域，給定結構所需滿足的目標函數和約束條件的貢獻度.根據其貢獻度大小刪除無效的材料，循環該過程，達到終止條件，最終得到最佳拓撲結構.在優化迭代過程中，采用固定的有限元網格，對存在的材料單元，其材料數編號為非零的數，而對不存在的材料單元，其材料數編號為零，通過這種零和非零模式實現結構拓撲優化.該方法具有良好的通用性，能夠采用已有的有限元分析軟件，通過迭代，在計算機上實現.

2.1靜力優化準則

2.1.1應力準則

在某一結構中，如果某一部分的材料沒有得到充分的利用，應將其刪除或改進，如此反復進行，直至得到最優應力分布[7].基于此原理，通過對基座進行應力分析，確定單元的Von Mises應力σvme與整個結構的最大Von Mises應力σvmmax，然后刪除不滿足條件的單元，減小基座質量.對于各項同性的材料，其Von Mises應力定義為：

σvm=σ2x+σ2y-σxσy+3τ2xy（5）

式中：σx和σy分別為x和y方向的正應力；τxy為剪應力.

將單元的Von Mises應力σvme與整個結構的最大Von Mises應力σvmmax進行比較，便可確定每個單元的應力水平.在每一次有限元分析后，從模型中刪除滿足下列條件的所有單元：

σvmeσvmmax

式中，RRi為當前的拒絕率.

采用相同的拒絕率，反復迭代有限元分析和單元刪除循環，直至達到穩態，然后引進一個進化率ER，并附加到拒絕率中，即：

RRi+1=RRi+ER， i=0，1，2，…（7）

用這個增加的拒絕率再一次進行有限元分析和單元刪除，直至達到一個新的穩態.

2.1.2剛度準則

對基座而言，在改變其結構時，必須保證其剛度，但是部分材料的剛度不會對結構整體產生很大的影響，因此類比于應力準則將沒有得到充分利用的材料刪除，以此減小基座的質量.根據式（1），結構的平均柔順度，即剛度的對立量：

C=12[F]T[K]-1[F]（8）

在載荷向量不變的情況下，整體剛度的最大化也就是結構柔順度的最小化.從結構中刪除第i號單元時，式（1）就變為：

（[K]-[Ki1]）·（[u]+Δ[u]）=[F]（9）

式中：[Ki1]為對第i號單元擴維了的剛度矩陣；Δ[u]為位移向量的變化.

用式（1）減去式（9），并忽略式（9）中的高階量，得到位移的變化量：

Δ[u]=[K]-1[Ki1][u]（10）

將式（10）帶入式（8）得：

ΔC=12[F]TΔ[u]=12[F]T[K]-1[Ki1][u]=

12[u]T[Ki1][u]=12[ui]T[Ki][ui]（11）

式中：[Ki]為第i號單元的剛度；[ui]為第i號單元的位移向量.

由此得到第i號單元的靈敏度：

αi=[ui]T[Ki][ui]（12）

式中：αi表示刪除第i號單元時的結構柔順度的變化情況.

優化目標就是尋找剛度約束的最輕結構，給出如下的約束：

C≤C*（13）

式中：C*為C的上限.

為了達到優化結果，在優化過程中刪除αi值最小的單元，以使得C的增加量最小.

2.2建立數學模型

根據上述分析，基座具有良好的動態性能，其一階頻率遠高于基座上電機的頻率（25 Hz），因此限定某一固定頻率，以頻率、剛度、應力作為約束，最小質量作為目標函數建立如下數學模型：

findMinM

s.t.f=fd

C≤C*

σvmeσvmmax≤1%（14）

式中：M為基座的質量；fd為基座的某一固有頻率.

在優化拓撲過程中容易出現數值計算不穩定的情況，產生類似棋盤格的模式.可以通過引入過濾函數[8-11]來抑制棋盤格，對單元的靈敏度進行松弛調整，避免相鄰單元靈敏度相差懸殊.將編號為1到j-1的單元靈敏度通過權系數μij加到第j個單元上，即：

u′j=∑i

定義加權系數：

μij=d（i，j）∑Nj=1d（i，j）

定義單元靈敏度：

u′i=∑ji=1d（i，j）ui∑ji=1d（i，j）（15）

式中：d（i，j）=R-D（Ni-Nj）；D（Ni-Nj）為單元i到單元j的距離；R為過濾半徑，其值為2倍的網格單元邊長.

2.3優化結果分析

依據上述數學模型，設定基座質量下降20%，對基座進行拓撲優化，優化后的拓撲圖如圖7所示.圖7中深黑色材料部分表示應該切除，但是出于實際制造、加工和使用等方面考慮，不是所有的部分都應該完全切除，也可以采取減小厚度的辦法，降低基座的質量.另外，圖7中認為要保留的部分，出于實際考慮有些部分也應該刪除.例如，在鑄造時，需要設置鑄造出砂孔，就應在內部筋板上合理布置一些岀砂孔，優化后的基座結構如圖8所示.

對優化后的基座結構進行有限元分析，優化前后性能參數如表2所示.基座最大應力由原來的1.47 MPa變為2.16 MPa，但仍滿足強度要求，最大變形基本無變化，說明整體剛性良好，基頻增加了47.8 Hz，質量由原來的5 970 kg減小到5 620 kg，減小了5.8%.

3結論

在正確建立模型結構的基礎上，對模型做了靜力、模態分析，得到了初始模型的靜、動態性能參數，分析了各參數對基座性能的影響.運用ESO法對基座進行拓撲優化，減小了基座質量，且整體剛性良好，基頻得到了提升，達到了預期的目標.

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文章編號：2096-2983（2017）03-0172-05DOI：10.13258/j.cnki.nmme.2017.03.009