基于反比例函數的變步長雷達自適應濾波算法

王慧杰，李小兵，于明秋

(空軍工程大學防空反導學院，陜西 西安 710051)

基于反比例函數的變步長雷達自適應濾波算法

王慧杰，李小兵，于明秋

(空軍工程大學防空反導學院，陜西 西安 710051)

針對由雷達探測精度帶來的測距誤差、測方位誤差和測高誤差對導航定位的影響，分析了影響雷達探測精度的誤差因素，提出了基于反比例函數的變步長自適應濾波算法，該算法通過建立步長與信號采樣時間的k次冪的反比例函數關系，使得穩態誤差強制收斂，有效減小了雷達探測誤差對導航定位的影響。實例仿真結果表明，該算法不僅能夠抑制隨雷達探測距離的增大而線性遞增的雷達探測誤差，而且在實驗條件和穩態誤差標準完全相同的情況下，有更快的收斂速度和更小的穩態誤差，為導航定位中雷達數據處理提供了理論和技術參考。

雷達探測精度；反比例函數；自適應濾波

0 引言

在地面防空作戰時，對高動態載體導航定位一般采用雷達和慣性導航系統，而雷達和慣性導航系統有著相似的缺點，即探測或者慣導解算誤差隨著距離的增大而線性遞增，其精度和目標與雷達之間的距離成反比。本文針對雷達探測精度進行了分析與建模，并對產生的導航定位數據進行濾波。20世紀40年代到60年代，維納和卡爾曼在預先知道輸入信號和噪聲信號的統計特性的情況下分別設計了維納濾波器和卡爾曼濾波器；然而在實際應用中，這些先驗知識很難預先得到的。因此，不需要預先知道輸入信號和噪聲信號的統計特性就能夠實現最優濾波的自適應濾波器應運而生[1]。自適應濾波通過自動更新權值以達到最優效果，在工程實踐中已經得到廣泛地發展和應用[2]。但傳統的自適應濾波算法是固定步長的，不僅收斂速度慢，而且收斂速度和穩態誤差這兩個量存在矛盾關系，因此提出了變步長自適應濾波算法。國內外大多數文獻對變步長自適應濾波算法改進一般是通過與誤差信號建立函數關系，如Sristi P[3]等提出的SSVS-LMS算法，高鷹[4]提出的一類變步長LMS自適應濾波算法及苗可可[5]在研究射電天文射頻干擾消除時對高鷹提出的算法進行的改進。這些算法具有較好的收斂性能和穩態誤差性能，但是步長在算法達到穩態時仍然具有較大波動，造成穩態誤差波動較大，不利于指導工程實踐。針對雷達導航的誤差控制問題，本文提出了基于反比例函數的變步長自適應濾波算法。

1 雷達探測精度分析與建模

雷達的探測精度受很多因素的影響，一般可以從系統誤差和隨機誤差的角度對其進行分析。有些系統誤差可以通過一些校正方式消除，有些則需要對其進行建模分析。誤差一般來源于測距、測方位和測高三個方面，下面針對這三個方面因素進行分析。

1.1 雷達測距誤差分析

雷達測距精度標準一般是10 m級至100 m級，由于誤差的種類繁多，不能一一分析，這里對均方根誤差在1 m以下的予以忽略。這時測距誤差的系統誤差主要是大氣折射引起延遲的平均值、接收機內回波延遲殘差，隨機誤差主要是機內熱噪聲誤差、采樣誤差[6]。

1)大氣折射引起延遲的平均值為

(1)

式中，E是仰角，Ns是地表折射率，h是探測目標的高度，R為探測目標的斜離。在典型值即Ns=313，R=200～300 km，h=10～20 km時，Δrf≈40m。

2)接收機內回波延遲殘差

接收機內回波延遲為

(2)

式中，m為放大級數，B為接收總帶寬。m=10(典型值)時，Δtd≈3/B。經仔細校準后，接收機內回波延遲殘差約為

(3)

3)機內熱噪聲誤差為

(4)

式中，τ是脈沖寬度；(S/N)0是單個脈沖的輸出信噪比；n是脈沖數，通常定義在天線掃過目標時波束寬度為 3 dB內。Δrn與輸出信噪比有很大關系，而輸出信噪比與探測目標的斜距有關。

以Swelling Ⅰ型目標為例，當目標在最大作用距離Rm0.5(檢測概率0.5，虛警概率10-6)時，n=20，(S/N)0=4.2 dB =2.25；當目標在最大作用距離Rm0.8(檢測概率0.8，虛警概率10-6)時，(S/N)0=9.2 dB=8.2[7]。

4)采樣誤差

由距離采樣引起的采樣誤差為

(5)

通過上述分析可以得到測距誤差的總值為

(6)

1.2 雷達測方位誤差分析

對于雷達測方位時存在的系統誤差，如零點誤差可以通過光學校正，天線波束指向誤差可以通過電測校正[7]，因此這里只分析測方位時的隨機誤差，即噪聲誤差和采樣誤差。

1)噪聲誤差為

(7)

式中，θB為天線波束3 dB寬度，km為雷達角誤差檢測曲線斜率[6]，通常km=1.2～2。同Δrn相似，Δθn也與輸出信噪比密切相關。

2)采樣誤差為

(8)

n，θB與前面定義一樣，從采樣誤差公式可以看出，測方位角采樣誤差與天線波束寬度和脈沖數有關。由于雷達在進行仰角掃描時，在低仰角脈沖數較大(n>5)，高仰角脈沖數較小(只有2乃至是1)，因此測方位角采樣誤差在不同仰角時有不同值[7]。

由于在使用單脈沖法、波束間比幅法量測方位時，沒有目標的起伏誤差[7]，這里進行簡化不予考慮。

由以上分析可以得到總的測方位誤差值為

(9)

1.3 雷達測高誤差分析

測量目標的高度可以對目標斜距和仰角進行計算，計算公式為[7]

(10)

式中，φ是指向目標的仰角；ρ是等效地球半徑，即ρ=kR0；R0是等效地球半徑；k在標準大氣折射情況下等于4/3；H0是雷達天線中心的高度。

由式(10)可推出高度測高誤差均方值為

(11)

式中，σR為測距均方差，即前面的ΔR；σφ為測仰角均方差。

測仰角時主要關注隨機誤差中的機內噪聲誤差、相鄰通道幅度不一致誤差和多效應誤差[7]。

1)機內噪聲誤差

采用單脈沖法

(12)

2)相鄰通道幅度不一致誤差

用單脈沖幅度比較法

(13)

式中，θ1是左右波束的夾角，K是兩路不平衡系數。

3)多徑效應誤差[8]

采用單脈沖法

(14)

通過上述分析可以得到測仰角誤差的總值為

(15)

2 基于反比例函數的變步長自適應濾波算法

2.1 最小均方誤差算法

自適應濾波算法有兩類最基本的算法：一類是基于最小均方誤差準則的最小均方差算法(LMS)；一類是基于牛頓優化算法的遞歸最小二乘算法(RLS)。根據高動態載體導航定位實時性和穩定性的要求，本文以最小均方差算法為基礎進行改進。LMS算法基本原理如圖1所示。

設輸入信號為x，它是由當前第k個時刻算起，向前選取m個時刻的信號構成，即

x(k)=[x(k),x(k-1),…,x(k-m+1)]

(16)

其加權矢量為：

w=[w1,w2,…,wm]T

(17)

濾波器的輸出為：

(18)

誤差信號為：

e(k)=d(k)-y(k)

(19)

優化目標函數為：

J(k)=E(e(k)2)=E((d(k)-xT(k)w)2)

(20)

權值更新為：

w(k+1)=w(k)+ux(k)e(k)

(21)

0

(22)

式中，u為步長，λmax為輸入矢量的自相關矩陣最大特征值。

文獻[4]提出了一類變步長LMS自適應濾波算法，文獻[5]對其進行了改進，其公式分別為

(23)

(24)

這一類變步長算法的特點是，在初始收斂階段取較大步長以獲得較短的收斂時間；在算法收斂后取較小的步長以獲得較小的穩態誤差。改進的變步長LMS算法在一定區間里隨參數λ1的增大，收斂時間逐漸縮短，誤差失調量逐漸減小，但λ1值過大時算法將失去收斂性；同樣，在一定區間里，隨著參數λ2的增大，算法的收斂時間逐漸縮短，但λ2增大到一定程度后，算法的收斂速度與穩態失調量同步增加，導致λ2取值過大時算法發散[5]。但這一類算法在收斂后仍有較大的穩態誤差。

2.2 基于反比例函數的變步長自適應濾波算法

考慮到在初始收斂階段收斂因子應具有較大取值，以獲得較短的收斂時間；在算法收斂后，則要保持較小的收斂因子，以獲得很小的穩態誤差。由此，提出基于反比例函數的變步長自適應濾波算法。t表示信號的采樣時間。

設u的變化公式為

u=a+b/tk

(25)

u與tk成反比例函數，且k>0，代入始端和末端條件

(26)

解得

(27)

因此

(28)

由式(28)可以得出，步長即收斂因子u的值與冪數k、初值u0和末端值un有關。經過大量仿真驗證，u0的取值與冪數k有關，k的取值越大，u0的有效值越靠近輸入信號自相關矩陣的最大特征值，但同時也使得穩態誤差隨之增大，收斂時間越來越長；un的作用在于能在一定程度上限制穩態誤差發散。

3 實例仿真

首先對雷達定位數據進行仿真。仿真參數設計如下：壓縮后脈沖寬度為0.4μs；接收系統波束指向處單個脈沖的輸出信噪比為8.2；天線掃過目標時在波束3dB寬度內的脈沖數為24；接收機放大級數m=10；接收總帶寬1 MHz；假定設計的天線水平波束3 dB寬度為1.8°；雷達角誤差檢測曲線斜率為1.6；兩路不平衡系數為1.05；地面反射系數為0.5；地面反射處的波束增益15 dB；采用軌跡發生器生成標準軌跡。得到緯度/經度/高程誤差隨雷達探測距離的變化如圖2所示。

從圖2可以看出，緯度、經度和高程誤差隨雷達探測距離的增大而線性遞增，在探測末段緯度誤差和經度誤差達到了2×10-3°，高程誤差達到了500 m。

3.1 反比例函數的參數確定

以高程誤差作為示例，分析冪數k、初值u0和末端值un取值對高程誤差的影響，以確定反比例函數的取值。由于末段變化趨勢變得非常緩慢，此時un取到0也是可以的，適當提高un的取值可以使調節留有余度，在一定程度上可以限制穩態誤差發散。對輸入信號計算其自相關矩陣的最大特征值為1.46×103。

在初值u0=2.3和末端值un=0的情況下，濾波后的高程誤差隨k值的變化如圖3所示。

從圖3不同k值情況下，高程誤差的變化可以看出，隨著k值的增大，誤差的收斂時間逐漸延長，超調量增加。

在k=1和末端值un=0固定情況下，濾波后的高程誤差隨初值u0的變化如圖4所示。

從圖4不同u0值情況下，高程誤差的變化可以看出，隨著u0值的遞增，誤差的收斂時間縮短，超調量減小，但穩態誤差相對增加。

表1列出了k=0.5,1,2的情況下，u0的取值范圍。

kk=0 5k=1k=2u0u0≤0 9u0≤5 5u0≤238

從表1結果可以看出，k值越大，u0的有效值越靠近輸入矢量的自相關矩陣最大特征值。

為驗證該算法的有效性，將該算法與改進的變步長LMS算法進行對比。

3.2 對比分析

下面對比分析中，當判定標準為穩態誤差小于10 m的情況下，基于反比例函數的變步長自適應濾波算法的參數取值為k=1，u0=2.3，un=0.001；改進的變步長LMS算法的參數取值λ1=1 000，λ2=500。對比結果如圖5所示。

從圖5兩種算法的仿真結果對比分析可以得出，在實驗條件和穩態誤差標準完全相同的情況下，基于反比例函數的變步長自適應濾波算法的收斂速度比改進的變步長LMS算法要快，且更快達到穩定值，同時其穩態誤差大大減小，提高了雷達導航的精度，足以證明該算法的優越性。

4 結論

本文提出了基于反比例函數的變步長自適應濾波算法。該算法通過建立步長與信號采樣時間的k次冪的反比例函數關系，使得穩態誤差強制收斂，有效減小了雷達探測誤差對導航定位的影響。仿真實例結果表明該算法不僅能夠抑制隨雷達探測距離的增大而線性遞增的雷達探測誤差，而且在實驗條件和穩態誤差標準完全相同的情況下，有更快的收斂速度和更小的穩態誤差，為導航定位中雷達數據處理提供了理論和技術參考。

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Variable Step-Size Radar Adaptive Filtering Algorithm Based on Inverse Proportional Function

WANG Huijie，LI Xiaobing，YU Mingqiu

(Air and Missile Defense College，Air Force Engineering University，Xi’an 710051, China)

Aiming at the influence of ranging error, azimuth error and altimeter error caused by radar detection accuracy on navigation and positioning, the error factors were analyzed and a variable step size adaptive filtering algorithm based on inverse proportion function was proposed. By setting the inverse function relation with step-size and k-th power of sampling time, the steady-state error was forced convergence and the algorithm effectively reduced the impact of radar on navigation positioning error. The simulation results showed that the proposed algorithm not only could effectively suppress the linearly increasing radar detection error along with increasing radar detection range, but also had faster convergence speed and smaller steady-state error under the same experimental condition and steady-state error standard.

radar detection accuracy; inverse proportion function; adaptive filtering algorithm

2017-02-01

國家自然科學基金項目資助(61603410)

王慧杰(1992—)，男，山西清徐人，碩士研究生，研究方向：導航、制導與控制。E-mail:heyjayw@sina.com。

U666.1

A

1008-1194(2017)03-0136-05