旋轉(zhuǎn)液滴法測(cè)界面張力的模型分析與應(yīng)用

周澤宇　張宇

摘 要：在進(jìn)行旋轉(zhuǎn)液滴法測(cè)界面張力的實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，在液滴體積小或者界面張力值大的情況下，提高轉(zhuǎn)速不能達(dá)到儀器測(cè)試的條件要求。對(duì)旋轉(zhuǎn)液滴法測(cè)界面張力的模型進(jìn)行分析，首先給出了旋轉(zhuǎn)液滴橢圓形態(tài)計(jì)算界面張力的求解模型，對(duì)參數(shù)的敏感性進(jìn)行了分析的同時(shí)刻畫了橢圓邊界的形態(tài)特征；其次根據(jù)建立的模型求解過(guò)程形成的數(shù)據(jù)庫(kù)，建立了求解旋轉(zhuǎn)液滴橢圓形態(tài)計(jì)算界面張力值的圖版方法和迭代算法；再次列舉出了一個(gè)新的求解方法，最后對(duì)以上各種計(jì)算方法進(jìn)行了實(shí)例應(yīng)用。研究認(rèn)為各種方法下，推薦對(duì)液滴長(zhǎng)度和直徑都進(jìn)行測(cè)量。

關(guān) 鍵 詞：旋轉(zhuǎn)液滴；界面張力；橢圓形態(tài)；圖版方法；迭代算法

中圖分類號(hào)：TQ 021 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1671-0460（2017）07-1412-04

Model Analysis and Application of Interfacial Tension

Measured by Rotating Droplet Method

ZHOU Ze-yu1， ZHANG Yu2

（1. Northeast Petroleum University， Heilongjiang Daqing 163316，China；

2. Daqing Oilfield Company Downhole Operation Branch， Heilongjiang Daqing 163000，China）

Abstract： In the process of measuring interfacial tension experiment with rotating liquid drop method， the improvement of speed cannot meet the requirements of the instrument test in the case of small drops or large interfacial tension. In this paper， the model of interfacial tension measurement by rotating droplet method was analyzed. Firstly， the solution model for computing interfacial tension of elliptic rotating liquid droplet was presented， the sensitivity of parameters was analyzed and the morphological characteristics of elliptic boundary were also described； secondly， the graphic method and iterative algorithm for computing interfacial tension of the rotational liquid drop with elliptic shape was established based on the database formed by the solving process of established model； finally， the above calculation methods were applied， a new solving method was presented. The research suggests that the measurements for the length and diameter of the droplets are recommended.

Key words： Rotating droplet； Interfacial tension； Oval shape； Graphic method； Iterative algorithms

液-液相間界面張力[1]是一種重要的化工基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，是油田三次采油提高采收率評(píng)價(jià)中一個(gè)重要的參數(shù)指標(biāo)。測(cè)量界面張力[2-4]的方法滴體積法（滴重法）、掛環(huán)法、吊片法（Wilhemy平板法）、懸滴法、靜滴法（躺滴法）、旋轉(zhuǎn)液滴法及等密度法等七種，國(guó)內(nèi)在測(cè)量表面活性劑的低或者超低界面張力時(shí)，通常采用美國(guó)產(chǎn)Texas-500型旋轉(zhuǎn)滴界面張力儀[5，6]。

Texas-500型旋轉(zhuǎn)滴界面張力儀，是在樣品管C中充滿高密度液體B，再加入少量低密度液體A，密閉后，裝于旋滴儀上，開(kāi)動(dòng)機(jī)器，轉(zhuǎn)軸攜帶液體以角速度自旋，在離心力、重力及界面張力作用下，低密度液體在高密度液體中形成一長(zhǎng)球形或圓柱形液滴，液滴的形狀由轉(zhuǎn)速和界面張力決定，如圖1。把液滴圖像視作橢圓（本文稱作擬橢圓），長(zhǎng)軸（離心管軸向）直徑記作L，短軸（離心管徑向）直徑記作D，那么：當(dāng)L/D≥4時(shí)，只需讀取D值。因此，在實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)該選取合適的轉(zhuǎn)速，使得L/D≥4。此時(shí)，用下述方法測(cè)量界面張力。基本公式[7，8]：

（1）

式中： — 界面張力，N·m-1；

△ — 兩相密度差，kg·m-3；

— 角速度，rad·s-1；

D — 液滴短軸直徑，m。

然而，實(shí)際操作中由于注入液體體積的不確定性，以及旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速的高值限制，往往會(huì)出現(xiàn)小體積液滴在極高的轉(zhuǎn)速情況下依然不能到達(dá)理論的求解要求[9]。此外，當(dāng)界面張力很高時(shí)，旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)速即使到達(dá)峰值也不能使測(cè)試情況達(dá)到理論測(cè)試要求[10-12]。基于以上兩種情況，當(dāng)確定旋轉(zhuǎn)液滴在長(zhǎng)度和直徑的比值小于4時(shí)，雖然目前可以通過(guò)查表獲取修正參數(shù)[13，14]，但是卻存在數(shù)據(jù)空隙的情況，因此如何實(shí)現(xiàn)擬橢圓液體界面張力的精確求解[15]十分重要。本文基于PRINCEN提出的橢圓積分求解模型[16]，從而實(shí)現(xiàn)了以上情況下的界面張力的數(shù)值求解，進(jìn)而總結(jié)了不同情況下求解界面張力的具體算法[17-19]。

1 符號(hào)說(shuō)明（表1）

2 基于PRINCEN壓力平衡方程的求解模型

2.1 模型的建立

1976年，PRINCEN建立了液滴壓力平衡方程，對(duì)平衡方程進(jìn)行變量替換，通過(guò)普通積分和不完全橢圓積分等方法，給出了液滴旋轉(zhuǎn)界面最高點(diǎn)的坐標(biāo)值的求解過(guò)程。

（1）控制方程

根據(jù)旋轉(zhuǎn)液滴液-液接觸面處的壓力平衡，建立了液滴內(nèi)部壓力和外部壓力之差等于拉普拉斯界面張力方程，得到了旋轉(zhuǎn)液滴壓力平衡方程，如下：

（2）

（2）邊界條件

當(dāng)Y=Y0時(shí)，即選點(diǎn)取在擬橢圓y方向接觸面的最高點(diǎn)，即sinθ=1；當(dāng)X=Y=0時(shí)，即選點(diǎn)取在擬橢圓最左側(cè)坐標(biāo)系中的原點(diǎn)，即q=1。

（3）初始條件

液滴的最左側(cè)點(diǎn)取坐標(biāo)系原點(diǎn)（0，0）處，如圖1所示。

（4）模型的解

通過(guò)對(duì)的賦值，通過(guò)下面的公式求出Y0：

（3）

已知Y0的情況下求出X0：

（4）

2.2 模型的求解

模型的求解首先應(yīng)假設(shè)一個(gè)值，然后需要計(jì)算若干主要參數(shù)值，這些參數(shù)值如下：

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

F（?1，k），E（?1，k）這兩個(gè)參數(shù)需要利用MATLAB實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算。

3 模型的計(jì)算分析

這里假設(shè)注入某體積的液滴，通過(guò)MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)，用M文件進(jìn)行程序的存儲(chǔ)，執(zhí)行文件，得到以下的分析結(jié)果。

（1）最高點(diǎn)坐標(biāo)隨的變化規(guī)律

以0.2為步長(zhǎng)，研究的變化對(duì)最高點(diǎn)的位置的影響，如圖2所示。

圖2是最高點(diǎn)坐標(biāo)的x0和y0值分別隨著等步長(zhǎng)的增加的變化趨勢(shì)曲線。

由圖2可知，隨著的增加，最高點(diǎn)的坐標(biāo)值變化幅度增加。根據(jù)的定義公式可知，受到轉(zhuǎn)速ω和原點(diǎn)處的曲率半徑的影響，均為正相關(guān)性，并且轉(zhuǎn)速ω對(duì)其的影響更顯著。

隨著的增加，穩(wěn)定情況下的原點(diǎn)處的曲率半徑變小，因此上述的情況說(shuō)明，轉(zhuǎn)速的提高更有利于液滴的變形，在實(shí)際操作中，提高轉(zhuǎn)速是實(shí)現(xiàn)界面張力測(cè)試的有效方式。

由圖2可以看出，隨著的增加，液滴x方向的拉伸幅度要大于y方向的壓縮幅度，值從0增加到0.592 59時(shí)，擬橢圓最高點(diǎn)的x值增加了約0.2 cm值，而y值縮小了約0.1cm值。在高轉(zhuǎn)速情況下，x和y的變化幅度大幅增加，如果轉(zhuǎn)速繼續(xù)上升，就演變成Vonnegut理論[20]的假設(shè)情況，并對(duì)界面張力進(jìn)行近似求解。

（2）擬橢圓形態(tài)隨的變化規(guī)律

為了實(shí)現(xiàn)對(duì)給定情況下，擬橢圓其它點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算，需要對(duì)公式進(jìn)行重新的整理和賦值。

由公式：

（11）

（12）

（13）

再利用公式（7）、（8）、（9）、（10）計(jì)算出新的q2、q3、?1、k、F（?1，k），E（?1，k）得到：

（14）

以的步長(zhǎng)值為0.08，作不同情況下的液滴形狀圖，為了使圖形清晰，只作（0，0）到（x0，y0）范圍內(nèi)的擬橢圓邊界線。同時(shí)增加一條標(biāo)準(zhǔn)橢圓線，以某值為0.56，作以x0為長(zhǎng)軸半長(zhǎng)和y0為短軸半長(zhǎng)的規(guī)則橢圓，如圖3。

圖3可以得出，隨著（或者轉(zhuǎn)速）的提高，越靠近橢圓中心的區(qū)域，擬橢圓受壓縮的程度越大，而靠近坐標(biāo)原點(diǎn)的區(qū)域內(nèi)，擬橢圓的變形程度很小。而值為0.56時(shí)，液滴旋轉(zhuǎn)穩(wěn)定后的形態(tài)，與規(guī)則橢圓形狀的對(duì)比可以得出，液滴的形狀不是規(guī)則的橢圓，液體的邊界線要向外突起，這主要是界面張力存在所產(chǎn)生的結(jié)果。

4 旋轉(zhuǎn)液滴法測(cè)界面張力的應(yīng)用

4.1 值的精確計(jì)算

為了實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)度和直徑的比值小于4時(shí)界面張力的計(jì)算，對(duì)測(cè)量比值在給定的情況下，如何精確的確定的數(shù)值至關(guān)重要，因此本文對(duì)模型計(jì)算得到的數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行曲線作圖，得到和x0/y0的關(guān)系曲線，也就是求的圖版，如圖4。

4.2 測(cè)試計(jì)算方法

（1）長(zhǎng)度和直徑的比值大于等于4

此情況下直接利用公式（1），測(cè)量液滴的直徑，即可以算出界面張力值。

（2）長(zhǎng)度和直徑的比值小于4

依據(jù)本文提出的解法思路，首先測(cè)量液滴長(zhǎng)度和直徑，得到兩者的比值，通過(guò)圖版（圖4）查到值的大致范圍，再次計(jì)算3.2節(jié)中各中間參數(shù)變量值，最后帶入到公式（4）得到X0，進(jìn)而得到X0與Y0的比值，也就是x0和y0的比值，和測(cè)量結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，形成如下迭代算法流程，如圖5。

5 結(jié)束語(yǔ)

本文提出了旋轉(zhuǎn)液滴長(zhǎng)度和直徑的比值小于4時(shí)計(jì)算界面張力的算法流程，避免了實(shí)驗(yàn)操作中因體積的不確定性和轉(zhuǎn)速的限制帶來(lái)的計(jì)算障礙，完善了旋轉(zhuǎn)液滴法測(cè)量和計(jì)算界面張力的方法。

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