轉化與化歸思想在中學數學中的應用

朱曉娟

摘 要：轉化與化歸思想是重要的數學思想之一，數學問題的解決總離不開轉化與化歸，它可以將復雜的數學問題變得簡單。本文舉例說明了化歸思想在中學數學中的應用的幾種基本類型。

關鍵詞：轉化與化歸；中學數學

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2017）02-089-02

轉化與化歸思想，將一個問題由難化易，由繁化簡，由復雜化簡單的過程，簡稱為化歸思想。化歸不僅是一種重要的解題思想，也是一種最基本的思維策略，更是一種有效的數學思維方式。所謂的化歸思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。

應用化歸思想的基本原則為熟悉化、簡單化、和諧化。

轉化與化歸的常見方法有：

一、直接轉化法

通常是通過將需要解決的問題直接轉化為基本的定義、定理、公式或基本圖形問題，使問題由暗到明。

二、換元法

換元法是指將形式較復雜或不標準的方程、不等式、函數化歸為形式較簡單易于解決的基本問題。

三、構造法

運用構造法解決數學問題時，通常是通過構造與原命題定價的命題形式，從而提高解題速率。構造問題的關鍵之處在于構造的目的和途徑。

四、坐標法

坐標法是指根據平面圖形或者空間幾何圖形的實際情況建立平面直角坐標系或者是空間直角坐標系，將圖形各點表示成坐標形式，運用坐標的計算法則表示出需要數量關系。

五、類比法

利用類比推理，將原問題類比到已解決或簡單的問題，將問題簡單化。

以下為化歸思想在中學數學中應用的基本類型：

一、等價轉換

把所給的命題等價轉化為另一種容易理解的語言或容易求解的模式，把復雜的問題分解為幾個簡單的問題，把生澀的問題仔細分析，變為在已有知識范圍內能夠解決的問題，從而得出正確的結果。

例1：若x、y、z∈R 且x+y+z=1，求（ -1）（ -1）（ -1）的最小值

分析：由已知x+y+z=1而聯想到，只有將所求式變形為含代數式x+y+z，或者運用均值不等式后含xyz的形式。所以，關鍵是將所求式進行合理的變形，即等價轉化。

解：（ -1）（ -1）（ -1）= （1-x）（1-y）（1-z）

= （1-x-y-z+xy+yz+zx-xyz）= （xy+yz+zx-xyz）

= + + -1≥3 -1= -1≥ -1=9

二、數與形的轉化

一是形的問題轉化為數盆關系來處理，就數論形，二是數的間題用形來直觀描述，以形究數，從而使問題簡明易解。

例 2： ，求 的最小值

解：通常將 視為（x，y）點到點（-1，-1）之間的距離，那么點（-1，-1）到直線x+y+1=0的距離就是最短距離，即是 的最小值，由點到直線距離公式就可使問題迎刃而解了。

三、正與反的轉化

“順難則逆、直難則曲、正難則反”，順向推導有困難時就逆向推導，直接證明有困難時就間接證明，正面求解有困難時就反向逆找，探求問題的可能性有困難時就探求不可能性，等式證明從左到右不順利時就從右到左。

例3：一個小組有12名學生，其中名女生。現需分配6人參加勞動，其中至少要有一名女生，那么這樣的分配方法有多少種？

解：如果直接分類會很繁瑣，但我們反向考慮：“至少有一名女生參加”的反面是“沒有一名女生參加”，則問題得到簡化。所以有 - =896（種）分配方法。

四、三維向二維轉化

三維是建立在二維基礎上進一步研究空間圖形問題，因此在研究立體幾何問題遇到困難時不妨將其化歸為平面幾何問題，使問題簡化。

例4：如圖所示：有一個長、寬都是2米，高為3米的長方體紙盒，一只小螞蟻從A點爬到 點，那么這只螞蟻爬行的最短路徑為_______米。

解：將立體幾何的問題轉化為平面幾何上的問題，由平面幾何中兩點之間直線段最短原理可以得出小蟲爬行的最短路程必然是、 之一。

一、函數與方程的轉化

一個數學問題，如能建立描述其數量特征的函數表達式，或列出表示其數量關系的方程式（組）（包括不等式（組）），則一般可使問題得到解答。

例5：已知函數 ，且函數f（x）在區間（0，1]上為單調增函數，求實數a的取值范圍.

解：對函數f（x）進行求導得到 ，f（x）在區間（0，1]上為單調增函數，將函數問題轉化為方程問題，即 在（0，1]恒大于等于0.

二、一般與特殊的轉化

數學充滿著辯證法，一般性往往寓于特殊性之中解題時，將一般問題特殊化和將特殊問題一般化是常用的兩種策略。

例6：己知等差數列{ }的公差 且 成等比數列，求 的值。

解：由題意知只要滿足 成等比數列等比數列的條件，取何種等差數列與結果是無關的，所以取 ，則

運用轉化與化歸思想解題時應注意以下問題：1.注意化歸的目標，保證化歸的有效性、規范性；2.注意化歸的等價性，保證化歸的準確性；3.注意化歸的靈活性，設計合理的化歸策略。

轉化與化歸思想在數學解題中幾乎無處不在，化歸的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，化歸的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系，相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決。要想靈活運用轉化與化歸思想解決數學問題，首先要扎實基礎知識，其次要提高數學素養。

參考文獻

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