整式乘法與因式分解題型及解題研究

李宏麗

在當今初中教學中，因式分解和整式乘法是初中數學知識中整式運算的兩個形式相對且關系緊密的一個變形。在初中教材中，整式乘法和因式分解是比較重要的教學內容，也是解決數學難題的依據，這一內容可以有效培養學生的觀察、解決問題、創新等方面的能力。

一、整式乘法和因式分解分析

在初中數學代數里面的式就是采用了字母來表達數后發生的研究對象，雖然式相較于數更加抽象，可是式是創設在數的基礎之上的，因而整式乘法和因式分解，就是整數乘法和因數分解的一種拓展。

1.關于整式乘法的分析

在初中數學中，整式一般包含了多項式以及單項式，單項式的乘法就是最為簡潔的整式乘法，通過幾個單項式相乘，然后乘積是一個全新的單項式，就像2x·3y=6xy等。具備了單項式乘法的相關法則，此刻就可以使用分配律，就能將單項式乘以多項式或將多項式相乘，那么這種乘法所獲得的積就是多項式了。

2.關于因式分解的分析

因為等式的右邊部分和左邊部分是能夠進行互換的，如（1）2m2（m2+3n）；（2）（a+b）（a-b）=a2-b2；（3）2a2（a+b）（a-b）=2a4-2a2b2。因此，根據上述等式的（1）（2）（3）就能夠對應寫出：（4）2m4+6m2n=2m2·（m2+3n）；（5）a2-b2=（a+b）（a-b）；（6）2a4-2a2b2=2a2（a+b）·（a-b）。所以，通過式子之間的比對，從形式上就可發現：在前三個式子當中等號的左邊是由幾個整式進行相乘的，而右邊則是乘積的多項式；后三個式子當中的等號左邊是多項式，右邊是幾個整式相乘的，所以經過這樣的區分就能聯想到：雖然（1）與（4）、（2）與（5）、（3）與（6）表達的是相等的關系，可是前三個式子則強調的是幾個整式相乘而整合成一個多項式的流程，且后三個式子則強調的是多項式分解成整式相互乘以的流程。

二、初中因式分解和整式乘法的部分題型

1.整式的運算

在初中常見類型當中最常見整式乘法多數是考查學生對乘法公式的應用，通常和化簡計算求值相關。

2.采用因式分解結果進行求值

舉個例子：通過已經知道的（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13）就可以把因式分解為（3x+a）·（x+b），那么其中的ab就是整數，那么a+3b就是：（2x-21）（3x-7）-（3x-7）（x-13），等于（3x-7）（2x-21-x+13），等于（3x-7）（x-8），那么a=-7，b=-8，所以a+3b=-7-24=-31，所以最終得出的結果就是-31。

3.在因式分解當中運用換元法

舉個例子：將（x2+7x-5）（x2+7x+3）-33進行因式分解，解答：關注到兩種因式當中均具備了x2+7x，所以采用的解題方法就是通過設x2+7x=a，那么原式就等于（a-5）（a+3）-33=a2-2a-15-33=a2-2a-48=（a-8）（a+6），所以原式就等于（x2+7x-8）（x2+7x+6）=（x+8）（x-1）（x+1）（x+6）。

三、因式分解和整式乘法的解題法

1.整式乘法解題法

整式作為代數式的一個組成部分，在整式的運算之中，假如可以準確且靈活地使用功能相關法則以及公式，并且熟練掌握一些計算方式以及技巧，就可以讓計算變得非常豐富，因而下面是針對整式乘法解題的一些方法。

首先，采用公式變形，來創造等式。

其次，采用平方開放，用和來求差的方式。舉個例子：假如x2+y2=25，x+7=7，x>y，那么請計算出x-y的值。先進行分析，計算出x-y的值，只需要計算出（x-y）2，就是x2-2xy+y2的值就行了，因為x2+y2是已知的，所以只要計算出xy的值就行了。

2.因式分解解題法

對初中的數學教材中的因式分解，可以采用這幾種方法進行解題：一是提取公因式法，二是公式法。首先，就因式分解的提公因式法而言，根據p（a+b+c）=pa+pm+pc，就能得出這個式子：pa+pb+pc=p（a+b+c）。比如，將pa+pm+pc分成兩種因式積的方式，那么在這里面的一個因式（a+b+c）就是pa+pm+pc各項的公因式p。并且在這里面的另外一個因式就是通過除以p而得到的商，根據這樣的分解因式方式就是提公因式法。提公因式的各項都具備了一個公因式p，那么就可以將因式的p作為這多項式的公因式。且尋找公因式的方式就是：第一，觀察各項系數是不是具備了公約數，假如存在公約數，就可以提取系數的最大公約數。第二，觀察各項是不是存在相同的字母，假如存在，就可以提取各項共同的字母里面的指數最小的冪。第三，假如首項是負的，那么可以將符號以及公因式一同提出。

四、結語

上文闡述了整式乘法和因式分解的一些解題方式和題型，在初中數學中，對于這類型的解題方式和題型還有很多。所以，需要初中教師繼續研究更加簡便的教學方式，幫助學生解決這類問題，讓學生更容易理解，進而提升學生的數學成績。

（作者單位：湖北省隨州市曾都區五眼橋中心學校）