混沌現象的兩種演示方法

摘要：本文介紹了混沌現象及通過兩個經典的混沌實例，用兩種不同的方法展示混沌行為，從而讓學生對混沌現象有一個直觀的了解。

關鍵詞：混沌；Lorenz系統；Chua電路；數值仿真；電路實驗

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2008)9(S)-0019-3

混沌是不含外加隨機因素的完全確定性的系統表現出來的界于規則和隨機之間的內秉隨機行為，是自然界普遍存在的復雜運動形式之一。“混沌”一詞最早出現在中國和希臘的神話故事中，本意是“雜亂無章、混亂無序”。在人們日常生活中的許多自然現象，如：鐘擺的擺動、岸邊海浪的破碎、漂浮的云彩、大氣和海洋的異常變化、宇宙中的星團，甚至經濟的波動和人口的增長等，它們看似雜亂無章的表面現象，卻蘊涵著驚人的運動規律［1-4］。

本文主要介紹兩種展示混沌現象的不同方法，可以讓學生直觀地了解和觀察混沌這個特殊的物理現象。

1 兩個典型的混沌系統及演示方法

我們介紹兩個經典的混沌系統：第一個在耗散系統中由一個確定的三階常微分方程導出混沌解的實例-Lorenz系統和第一個用電子元件實現的混沌系統-Chua電路。為了方便學生直觀地觀察到混沌現象，我們在教學中可以用兩種不同的方法來展示，即數值仿真和電路實驗方法，下面分別介紹。

1.1 Lorenz系統

Lorenz系統是美國氣象學家E. N. Lorenz在1963年提出的， Lorenz在研究大氣環流模型的過程中，提出了“決定論非周期流”的觀點，給出了著名的洛倫茲方程，用于刻畫熱對流不穩定性的模型，這是第一個在耗散系統中由一個確定的三階常微分方程導出混沌解的實例［5，6］。這一結果解釋了長期天氣預報沒有獲得成功的內在機理，根本原因是確定性動力系統中存在著混沌運動。洛倫茲在發現第一個混沌吸引子的同時，還進一步揭示了混沌運動的本質特征。

Lorenz 系統起源于大氣對流模型，但事實上是幾個物理系統的共同簡化模型，如激光裝置、磁流發電機及幾個相關的對流問題。Lorenz系統可以由以下方程來描述：

=a(y-x)，=cx-xz-y，=xy-bz。(1)

當參數取值為：a=10、b=8/3和c=28時，Lorenz系統會產生混沌行為。教師可以調用Matlab軟件中的ODE45函數對Lorenz方程進行數值仿真，仿真結果如圖1所示。圖1 (a)所示為Lorenz方程三個變量隨時間演化的波形圖，從圖中可以看出其波形具有類似噪聲的特點。圖1 (b) ~(d) 為Lorenz系統變量之間的李沙育相圖，其運動軌道局限于一個確定的區域內無限不重復地填充，這些都是混沌的顯著特點。

1.2 Chua電路

為了使學生對混沌現象有更直觀的認識，我們可以用電路實驗，讓學生通過示波器觀察混沌現象。Chua電路是第一個用電子元件實現的混沌系統，是由美籍華人科學家蔡少棠(L.O.) 提出的。1983年，Chua在訪問日本期間，用電子線路模擬Lorenz方程嘗試無效后，他意識到在分段線性電路中能夠產生混沌現象，并認為電路應該至少擁有兩個平衡點：一個平衡點實現伸展，另一個平衡點實現軌線的折疊。他帶著這種洞察力，系統地鑒別了那些三維分段線性電路，（包括能產生混沌的由電壓控制的單個非線性電阻）從而確定了選擇電壓控制非線性電阻的策動點(driving point， DP)特性來產生至少兩個不穩定平衡點。1983年底，蔡氏電路的發明，分別被計算機數值模擬和用實際的電子元件實現。蔡氏電路于1986年被證明在Shilnikov意義下確實存在混沌現象，從而開始了混沌研究的新篇章。

蔡氏電路是一個三維自治振蕩系統，是由四個元器件：電感L，電阻R、電容C1和C2，以及一個被稱為蔡氏二極管的非線性電阻RN所構成的一個簡單的電子電路，如圖2所示。我們知道，由電感、電阻和電容構成的自治電路如果要產生混沌，必須滿足三個條件：(1)至少要有一個非線性元件；(2)至少要有一個局部活動性電阻；(3)至少要有三個儲能元器件。蔡氏電路是滿足這三個標準的簡單的電子電路。在實際的蔡氏電路中，蔡氏二極管可以用兩個運算放大器和6個電阻來實現，如圖3所示。元器件參數的選擇為：運算放大器為AD712，電阻：R=1 850Ω，R1=3.3kΩ，R2=R3=22kΩ，R4=2.2kΩ，R5=R6=220Ω，電感：L=18mH。

蔡氏電路可以由下列動態方程來描述：

dU1dt=1RC1(U2-U1)-1C1f(U1)，

dU2dt=1C2I3-1RC2(U2-U1)，

dI3dt=-1LU2。

(2)

其中，U1、U2和I3分別是電容C1、C2兩端的電壓和流過電感L的電流，f(U1)是描述非線性電阻NR的I-U特性的分段線性多項式：

f(U1)=GbU1+12(Ga-Gb)［｜U1+E｜-

｜U1-E｜］。(3)

其中，Ga和Gb分別表示I-U特性線段的斜率，E為折點電壓。

在示波器上可以很容易地觀察到混沌吸引子：圖4(a)和(b)所示分別為Chua電路中R=1 850Ω、R=2kΩ 時，展示出雙渦卷和單渦卷混沌吸引子2 分析和討論

混沌現象揭示出客觀事物確定性和隨機性的統一，并在確定論和概率論這兩大學科體系之間架起了橋梁。混沌科學的研究越來越受到人們的重視，第一次混沌國際會議主持人，物理學家J.Ford認為混沌是20世紀物理學第三次最大的革命。近年來，混沌科學正逐步從單純的科學探索過渡到實際工程的應用階段。有的國家已將混沌在工程中的應用研究轉化為機電產品， 如日本三洋公司的混沌暖風機，松下公司的混沌洗碗機；韓國L G公司的混沌空調機及混沌洗衣機已進入了家電市場，并以其良好的性能(空調更柔和， 洗衣更清潔) 提高了與同類產品的競爭力。我國混沌科學也獲得了蓬勃的發展，其中混沌應用在與眾多領域廣泛交叉研究中，取得了多方面的豐碩成果。由于現實世界的本質是非線性的，所以隨著混沌科學研究的日益深人，人們對混沌現象的認識將會不斷深化，利用混沌的性質來解決更多工程實際問題，將是一個非常有發展前途的研究和應用領域。

參考文獻：

［1］S. S. Wanda. Chaos Bifurcation and Fractals around Us. Singapore. World Scientific.2003.

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［4］陳式剛. 映象與混沌. 北京國防工業出版社. 1992年.

［5］Edword N. Lorenz. Deterministic nonperiodic Flow. Journal of the Atmospheric Sciences. 1963，30.pp130-141.

［6］Colin Sparrow. The Lorenz Equations: Bifurcations， Chaos， and Strange Attractors. New York. Springer-verlag New York Inc. 1982.

(欄目編輯黃懋恩)