利用應變片測量金屬彈性模量

高志華 魏江兵 張 涔 賈 艷

(1東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024;2建水一中，云南 建水縣 654399)

利用應變片測量金屬彈性模量

高志華1魏江兵2張 涔1賈 艷1

(1東北師范大學物理學院，吉林 長春 130024;2建水一中，云南 建水縣 654399)

本文給出了金屬彎梁的應變與其負載質(zhì)量的關系及利用應變片和惠斯通單臂電橋中的電流測量金屬彈性模量的公式；對利用應變片直接測量應變的方法和利用光杠桿測量馳垂度的方法測量銅棒彈性模量的實驗結果進行了比較；討論了利用應變片直接測量梁的應變的方式測量金屬彈性模量的影響因素。 本文研究表明：理論上利用應變片和單臂電橋電流可以測量梁的彈性模量；利用應變片和單臂電橋測量物體彈性模量與光杠桿方法的測量結果相差1%，此法測量的準確性好；單臂電橋的靈敏度低且缺少溫度補償功能可使測量結果波動，導致6組測量結果與平均值的最大差異為2.6%，通過對多組測量求平均值，可在很大程度上降低上述因素引起的測量誤差。

彈性模量 應變片 惠斯通電橋 光杠桿 梁彎曲法

彈性模量是工程技術設計中常用的參數(shù)，對研究金屬材料、光纖材料、半導體、納米材料、聚合物、陶瓷、橡膠等各種材料的力學性質(zhì)有著重要意義。測量彈性模量的方法主要有：靜態(tài)測量法、共振測量方法、彈性波波速測量法及泊松比測量法等[1]，其中靜態(tài)測量法是實驗教材普遍采用的測量方法，包括靜態(tài)拉伸和靜態(tài)彎曲方法，測量的主要工作為測量樣品拉伸和彎曲的微小形變。人們利用聲、光、電等測量微小形變技術，發(fā)展了光杠桿、霍爾器件[2]、渦電流[3]、電感、電容、巨磁電阻[4]、光纖位移傳感器、衍射、干涉[5]、莫爾條紋、超聲波等多種測量物體彈性模量的技術。在梁彎曲法中，目前研究主要集中在改進馳垂度的測量方法上[6]，缺少梁的應變與彈性模量關系的相關理論和對直接測量應變實驗方法的研究。 本文推導了梁的應變與梁的彈性模量的關系，利用應變片直接測量梁的應變的方法測量了銅棒的彈性模量并對利用應變片測量梁的彈性模量的影響因素進行了分析總結。

1 梁彎曲法測量彈性模量原理

1.1 金屬棒彈性模量與應變片應變關系

當在金屬棒中點掛質(zhì)量為m的砝碼時，金屬棒彎曲，棒的中間層以下為拉伸狀態(tài)，中間層以上為壓縮狀態(tài)，其縱斷面如圖1所示。在中間層取距離為dx的兩橫斷面Q1、Q2，棒彎曲前互相平行，彎曲后成一小角度dφ。距離中間層為y、厚dy、變形前長為dx的一小段，彎曲后伸長了ydφ，它受到的拉力為dF，根據(jù)胡克定律有

圖1 梁彎曲應力示意圖

式中dS表示變形層的橫截面積，即dS=bdy。于是

(1)

圖2 梁彎曲等效示意圖

故有

(2)

根據(jù)dl=ydφ可得棒下表面長度為dx的一段產(chǎn)生的伸長為

設應變片的長度為l′，則應變片的總伸長量為

應變片的應變?yōu)?/p>

(3)

1.2 利用單臂直流電橋的電流測量金屬棒彈性模量原理

(4)

由式(3)、(4)可得，

見圖3，將檢流計接入BD之間，電阻箱接入R1所在臂，改變電阻箱的阻值，對電橋進行定標得到I—ΔR1關系曲線的斜率，于是銅棒的彈性模量為

(5)

圖3 單臂直流電橋

式(5)對應的彈性模量不確定度計算公式為

(6)

1.3 利用光杠桿測量梁的彈性模量原理

采用光杠桿法測量楊氏模量光路如圖4所示，當光杠桿前腳a下降δ時，鏡面M1偏轉(zhuǎn)角度為θ，入射到望遠鏡中的反射光線的偏轉(zhuǎn)角為2θ，望遠鏡中看到尺的位置變化為|x2-x1|，對光杠桿前腳的微小位移δ起到了放大作用。

圖4 光杠桿放大原理示意圖

利用光杠桿測量金屬橫梁彈性模量理論為[8]

(7)

式中，δ為銅棒厚度；b為金屬棒寬度；l為的支架兩刀口間距；d1為光杠桿前足尖到兩后足尖的垂直距離；d2為光杠桿平面鏡到望遠鏡直尺水平距離；k為望遠鏡讀數(shù)變化隨懸掛砝碼質(zhì)量變化曲線的斜率。

其不確定度計算公式為

(8)

本文的數(shù)據(jù)處理采用最小二乘擬合方式，其斜率對應的標準差為

(9)

式中，b為擬合直線斜率；r為擬合相關系數(shù)；n為測量次數(shù)。

2 實驗測量結果及分析

2.1 待測銅棒的尺寸

實驗分別使用游標卡尺和螺旋測微計測量了銅棒5個不同位置的寬度和厚度，游標卡尺精度為0.02mm，測量結果如表1所示。由于銅棒的兩支撐刀口間距有標稱值，故用米尺對其進行一次性測量：l=(40.00±0.02)cm。

表1 待測銅棒的寬度和厚度

2.2 光杠桿法測量銅棒的彈性模量

由于影響光杠桿法測量的彈性模量的因素比較明確可控，因此，本文利用光杠桿法測量的銅棒的彈性模量，以考察使用應變片測量的準確性。 實驗中望遠鏡和光杠桿距離保持足夠遠，在望遠鏡里面看到尺的位置與望遠鏡鏡筒等高；讀數(shù)時保持視線高度不變。

實驗用鋼直尺測量光杠桿的前、后足尖間距：d1=(4.45±0.01)cm，光杠桿平面鏡到望遠鏡直尺的水平距離為：d2=(217.30±0.04)cm。

利用式(9)可得k=(0.0347±0.0002)g·cm, 由式(8)得銅棒彈性模量為Y=(10.35±0.03)×1010N·m-2。由表2可見，懸掛相同質(zhì)量的砝碼，增加、減少砝碼過程尺度望遠鏡的尺讀數(shù)差別小，單次測量數(shù)據(jù)的相關性好，彈性模量的結果穩(wěn)定，相對平均值的最大偏離是0.06%，精確度比較高，因此，可作為標準評價其他測量方法的測量結果。

2.3 利用應變片測量銅棒彈性模量

實驗使用應變片的標示參數(shù)為：靜態(tài)阻值R=120.0Ω，靈敏度k=2。 惠斯通電橋的4個臂的電阻相同，即：R1=R2=R3=R4=120.0Ω，.R1所在臂定標時接入電阻箱，測量時接入應變片。 將應變片平行貼在棒的下表面中間，關于棒長、寬均為對稱，靜置24小時后進行測量。 實驗使用DF1730SBSA型直流電源，輸出電壓設為E=7.0V；選用AC15-A型直流檢流計，檔位選擇10nA檔，最小分度為0.2nA。電橋定標數(shù)據(jù)及結果如表3和圖5所示。

利用式(9)可得k1=(143.08±0.87)nA·Ω-1。 表3表明，各組定標數(shù)據(jù)的線性關系都比較好，但是不同組測量的結果有波動，采用測量電流平均值進行定標計算的結果線性關系與單次的相比沒有明顯提高。相比于測量數(shù)據(jù)平均值定標的結果，兩組定標線的斜率的偏差為0.6%，這種差異主要來源于電阻箱旋鈕的接觸電阻的影響。 因此，采用增、減R1兩個過程的平均值進行定標更加合理。圖5表明，電阻變化與檢流計電流有很好的線性關系。

實驗利用應變片對銅棒的彈性模量進行了6組測量，砝碼從0g砝碼增加到350g，每次增加50g，然后再依次將砝碼減少至0g。取k1=(143.08±0.87)nA·Ω-1計算銅棒彈性模量，測量數(shù)據(jù)及彈性模量計算結果如表4所示。

利用測量數(shù)據(jù)平均值，根據(jù)式(9)得k2=(71.52±0.38)×10-3nA·g-1，根據(jù)式(6)得彈性模量為Y=(10.26×1010±0.09)N·m-2，相比于利用光杠桿測得結果相差1%，表明應變片在梁彎曲法彈性模量測量實驗中可得到與使用光杠桿進行測量精度相當。 表4中6組測量數(shù)據(jù)的彈性模量存在不同程度的差異，相比于取平均的彈性模量最大偏離為2.6%，這反映了使用應變片測量結果存在波動性。 在加砝碼和減砝碼兩個過程中對應相同的砝碼質(zhì)量，檢流計讀數(shù)差異較大，加砝碼過程測得彈性模量普遍小于減砝碼的結果，反映了測量結果離散性和不穩(wěn)定性。 實驗還表明利用多組測量取平均的方法，可以使減少單次測量產(chǎn)生的隨機誤差，保證測量結果的準確性。

與杠桿法測量方法相比，使用應變片測量時的不穩(wěn)定性主要是由于應變片粘貼和使用方法引起的。一方面，應變片本身的橫向效應、端部應力集中、膠黏劑的蠕變引起靈敏度降低[7]；更重要的是測量電流采用單臂電橋靈敏度低[9]且沒有溫度補償功能，隨著時間推移，應變片溫度升高、電阻增加，在加砝碼過程中使電流變化偏大，彈性模量減小，在減砝碼過程中檢流計電流變化偏小，使彈性模量增大；此外，使用靈敏檢流計的分度值為

表2 光杠桿法測量彈性模量數(shù)據(jù)及結果

表3 電橋電流定標數(shù)據(jù)

注：I1：檢流計電流；Ia：對兩組電流求平均；“加、減”：分別表示增加和減少R1電阻，k1、r分別為定標線的斜率和相關系數(shù)。

表4 應變片測量銅棒彈性模量數(shù)據(jù)及結果

注：I1：檢流計電流；Ia：對6組電流的平均值，“加、減”：分別表示增加和減少砝碼。

0.2nA，50g砝碼引起的電流變化在0.7nA左右，因此，檢流計分辨率相對偏低，導致測量結果不準確，若取讀數(shù)誤差為0.05nA，以平均后的數(shù)據(jù)計算k2的相對誤差大于1%。 根據(jù)式(6)各測量值及相應不確定度可知，彈性模量不確定度主要來自k1、k2的不確定度，因此，電橋的靈敏度和溫度補償及檢流計精度對當前測量結果的準確性影響很大。實驗表明對多組測量取平均可減少電橋本身因素引起的影響；增加砝碼數(shù)量可增加檢流計電流變化范圍，減小因檢流計分辨率引起的誤差，使測量結果更準確。

3 總結

本文推導了利用彎曲法測量金屬彈性模量時，梁的下表面應變與負載質(zhì)量及單臂電橋電流之間的關系；通過對單臂直流電橋的電流進行定標的方式測量了銅棒的彈性模量，結果與光杠桿法相比相對誤差為1%，表明利用應變片測量金屬彈性模量是可行的。實驗結果表明：在利用應變片測量物體彈性模量時，應變片缺少溫度補償措施會導致增加砝碼和減少砝碼過程中彈性模量偏大或偏小；電橋放大倍數(shù)低、檢流計的精度不高會嚴重影響測量結果的準確性，二者協(xié)調(diào)選擇可使測量更準確；進行多組測量取平均可在很大程度上減少上述因素造成的影響，得到比較準確的結果。 本文將應變片的使用和彈性模量的測量相結合，為應變片的使用和彈性模量的測量提供了新的參考。鑒于應變片的粘貼方法簡單和惠斯通電橋在實驗室中容易實現(xiàn)等特點，適合將本文實驗開設為本科生設計性實驗。通過本實驗可使學生深刻理解應變片的工作原理和使用方法，提高學生動手能力、分析問題和解決問題能力。

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MEASUREMENT OF METAL ELASTICITY MODULUS BY STRAIN GAGE

Gao Zhihua1Wei Jiangbing2Zhang Cen1JiaYan1

(1School of Physics, Northeast Normal University, Changchun Jilin 130024；2Jianshui 1st High School, Jianshui Yunnan 654399)

The relation between tensile strain and the weight load of a bending copper beam and the formula of testing elasticity modulus with a strain gage and current in single-arm Wheatstone bridge were derived in this paper. The elasticity modulus of the copper beam were measured by the strain gage directly and by the optical lever method indirectly. The results were compared and some influence factors were discussed based on the direct measuring method. Studies in this paper show that both of the two methods are effective. There was only 1% difference between the experimental results by using two different methods. However, the accuracy of measurement is better in the direct method by the strain gage. In the indirect method, the lower sensibility and the lacking of temperature compensation of single-arm Wheatstone Bridge were proved to be major factors that lead to errors produced in this paper, where the biggest difference from the average value can be 2.6%. Increasing test times was an effective way to reduce the bias of the results.

elasticity modulus; strain gage; Wheatstone bridge; optical lever; bending beam test method

2015-09-20；

2015-11-09

東北師范大學教師發(fā)展項目15B2XZJ001。

高志華，女，講師，主要從事物理教學科研工作，研究方向為理論模擬計算，gaozh142@nenu.edu.cn。

高志華，魏江兵，張涔，等. 利用應變片測量金屬彈性模量[J]. 物理與工程，2017，27(2)：37-41,46.