緊框架分析模型下的模糊圖像盲復原

李驁, 雷天鳴, 陳德運, 孫廣路

(哈爾濱理工大學 計算機科學與技術學院博士后科研流動站，黑龍江 哈爾濱 150080)

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緊框架分析模型下的模糊圖像盲復原

李驁, 雷天鳴, 陳德運, 孫廣路

(哈爾濱理工大學 計算機科學與技術學院博士后科研流動站，黑龍江 哈爾濱 150080)

在基于稀疏表示模型的圖像盲復原問題中，模糊核估計與稀疏模型的選取是影響盲復原性能的兩個關鍵因素。針對傳統基于稀疏表示盲復原方法的不足，本文提出一種基于緊框架分析模型的圖像盲復原方法。該方法將盲復原問題分裂為兩個迭代的子問題，分別是基于梯度圖像的模糊核估計與基于緊框架分析模型的非盲圖像復原。在核估計問題中，提出同時約束核稀疏性及一階微分平滑特性，進一步提高了核估計精度。在緊框架非盲圖像復原問題中，提出一種基于Moreau envelope函數的數值計算方法，有效地解決緊框架復原模型的不可微和不可分離性。實驗結果表明，本文復原方法在圖像細節恢復與客觀評價指標方面均優于傳統復原算法。

圖像盲復原；緊框架；核估計；迭代優化；正則化；Moreau envelope函數

圖像復原問題一直是圖像處理領域中的研究熱點之一，對其的研究不僅具有重要的理論指導意義，在實際應用中也有著十分迫切的需求。作為經典的圖像反問題模型，圖像復原廣泛的應用于光學成像、醫療成像、遙感、空間探索等多個應用領域[1-2]。模糊圖像復原是圖像復原問題的一個重要分支，它的目的是解決如何從模糊退化圖像中獲得清晰的原始圖像。本文主要圍繞線性且空間不變模糊核下的圖像盲復原問題進行深入研究。

盲復原的目的是利用觀測退化圖像來同時估計模糊算子和理想原始圖像。文獻[3]指出，由于退化模型的欠定性，從貝葉斯分析的角度出發，復原圖像的求解可以轉化為一個具有約束項的正則化問題。因此，復原質量的高低也就取決于這一問題中正則先驗形式的選取。李一兵等聯合拉東變換及傅里葉變換估計點擴展函數的先驗信息，再通過對模糊類別分類，解決水下圖像的盲復原問題[4]。J.Ya等將貝葉斯分析與變分法相結合，成功的應用于運動模糊圖像的復原，但這種基于最大后驗的思想容易產生數據的過擬合[5]。Y.Q Dong等根據圖像的局部特性，提出了一種多尺度的變參數全變差(total variation)方法，以犧牲計算復雜度為代價使復原圖像的質量得到改善[6]。J. Li等引入非局部模型，提出一種基于多維非局部的全變差模型，解決遙感圖像的復原問題[7]。為了解決更大規模圖像復原問題，H. Chang等提出了基于域分解的非局部全變差方法，將復原過程在多個子域并行處理，并利用Bregman迭代算法對各子域模型進行求解[8]。上述的這些方法在圖像復原中盡管取得了一定的效果，但其基本思想仍是在空域討論圖像的先驗特性，使得正則化先驗項的構造受到了限制。

近年來，稀疏表示作為一種新興的圖像表示模型，得到了學者們的廣泛關注并成功地應用于圖像復原領域。J.F Cai 等研究發現在框架表示方法下，模糊核與圖像都呈現較好的稀疏性，并以次作為先驗提出了基于稀疏近似的模糊圖像盲復原[9]。H.C Zhang等提出基于稀疏的圖像盲復原方法，討論在自適應學習字典下的稀疏圖像復原以及模糊矩陣估計方法[10]。D. Krishnan等提出一種基于l1/l2范數的圖像先驗模型和稀疏模糊核約束的算法，實現圖像快速復原[11]。文獻[12]利用自然圖像的在梯度域的稀疏性構造先驗約束，并在貝葉斯后驗理論的啟發下建立多幅觀測圖像的聯合概率密度函數，用于具有多幀源圖像的盲復原問題。W.S Dong等基于聚類的思想，認為圖像的稀疏編碼應接近其所在類的聚類中心，提出了中心化編碼的圖像復原方法[13]。但在該方法中，模糊核的估計是獨立完成的部分，未將其加入復原框架。M. Hanif等從非負矩陣分解的角度出發，提出基于非負稀疏模型的盲復原方法[14]。但在這一方法中需要花費額外的計算量來估計圖像的基矩陣。此外，該模型中僅以l2范數約束模糊核的平滑性，難以獲得較好的估計性能。文獻[15]同時探究了圖像的非局部稀疏和全變差約束，建立聯合統計復原模型，取得了較好的效果。在此基礎上，為了充分利用圖像的自相似性，將全變差與稀疏相結合，L. Jun等又提出一種基于組稀疏的全變差圖像復原方法[16]。唐述等運用圖像的局部結構提取策略，分別對退化核及圖像實施多正則約束，進而消除模糊[17]。

上述基于稀疏模型的圖像復原方法，主要討論在正交變換(如小波變換、傅里葉變換)或是冗余字典表示下的模糊復原，這些表示方法稱為圖像的合成表示模型。文獻[18]指出，相比上述的合成表示模型，采用冗余表示的緊框架分析模型能夠進一步降低目標函數的函數值，以取得更高的復原精度。但對于這一模型，需要針對性的設計有效的重構算法用于模型的求解。與此同時，受到上述部分方法的啟發，采用將模糊核約束與復原優化目標放入同一優化框架的思想，使二者在迭代中相互促進，進一步提高復原質量。基于上面的想法，本文將討論具有冗余表示能力的緊框架分析模型下的模糊圖像盲復原方法并建立相應的迭代復原框架。針對模糊核估計問題，同時進行核稀疏約束及核一階微分平滑約束，共同發揮兩種約束的優勢，提高核估計精度。此外，針對緊框架分析模型下的復原求解，設計了一種基于Moreau envelope函數的數值算法，有效的解決分析模型中存在的不可微性和不可分離性，獲得優化目標的近似解。

1 基于緊框架的盲復原模型

框架是由Duffin和Schaeffer于1952年在非調和傅里葉分析中引入的，框架與基底都是用于表示某一空間中的元素的一組向量集合，所不同的是框架并不要求表示向量間的線性無關性[19]。

定義1 設{φj}j∈J是RN中的一組元素序列，若存在正數A，B(0

(1)

式中:{φj}j∈J為空間中的一個框架，A，B為框架的界。

在上述定義中，若A=B則稱框架{φj}j∈J為空間中的緊框架。一般稱{φj}j∈J為該框架的合成表示模型，即

f=[φ1φ2…]α

(2)

式中：α為空間元素f在框架{φj}j∈J下的合成系數。同時，該框架還有一對應的分析表示模型Ψ，且滿足Ψ=[φ1φ2…]H。

1.2 盲復原模型的建立

針對稀疏l1范數的圖像復原，令Φ=[φ1φ2…]，在上述框架含義的引導下，可以采用如下的兩種基本形式:

合成模型：

(3)

分析模型：

(4)

從兩種模型的表達式可以看出，相對于分析模型，式(3)的估計過程是以圖像在合成算子Φ中的表示系數α為變量而進行的。當采用規范正交框架時，分析模型與合成模型是等價的。在一般情況下，規范正交框架不如冗余框架更能有效的表示圖像豐富的幾何結構。文獻[20-21]指出，在采用冗余框架的條件下，分析模型比合成模型具有更好的收斂性能和更高的重構精度。對于模糊核，若將其看作一幅圖像，其反應的是成像設備的運動軌跡。一般情況下，這樣的軌跡呈現較細且平滑連續的特性。從圖像處理的角度出發，軌跡的細特性映射為圖像的稀疏性，即僅有少量像素有較大值而其他像素值接近于0。根據這一思想，文獻[10]中利用梯度圖像，通過約束核稀疏性的對其進行估計，但該方法并未體現對于平滑連續的約束。鑒于上述觀點的分析，在核稀疏的基礎上，進一步利用核的一階梯度同時約束其平滑特性。綜上，針對盲復原問題，本文建立如下的綜合迭代優化模型：

(5)

(6)

在上述優化模型中，式(6)在基于梯度圖像的前提下同時約束了核的稀疏性及其一階微分的平滑特性，獲得更準確估計核。而對于式(5)的優化問題，研究表明：一方面可以靈活的適用于多種表示基函數；另一方面，在基于緊框架的重構問題中, 相比合成模型，分析模型能獲得幾何意義下的收斂解和更低的優化目標函數值[22]。同時，結合式(6)中的模糊核估計表達式，使得式(5)中的優化變為一個非盲的復原過程。此外，在迭代過程中，式(5)、(6)中的優化結果又可相互促進，進一步提高復原質量。但值得注意的是，傳統的用于合成模型的快速數值算法不能直接應用于式(5)中的分析模型的求解，本文將在下面一節詳細討論數值算法的設計。

2 復原模型的數值算法

2.1 關于xJ的優化子問題

對于式(7)中基于分析模型的復原優化函數，一個重要的挑戰就是如何設計有效的數值算法對其進行求解。內點法是解決此類問題的有效方法之一，但隨著信號維度的增長，其收斂的速度會迅速的下降，不適于解決像圖像復原這樣的大規模問題。對于合成模型，已有很多現成有效的數值求解算法，如基于代理函數思想的迭代收縮閾值算法(iterative shrinkage thresolding alogrithm, ISTA)和快速迭代收縮閾值算法(fast iterative shrinkage thresholding alogrithm, FISTA)等，這些算法在收斂速度和收斂精度方面達到了較好的平衡，適合于大規模問題[23]。但在式(7)的分析優化模型中，‖Ψx‖1是一具有不可微性和不可分離性的凸函數，這使得ISTA和FISTA方法不能直接應用于式(7)中的復原模型。在此分析基礎之上，本文提出一種基于Moreau envelope函數的交替迭代數值算法，利用Moreau envelope函數對不可微項的近似平滑作用，使模型得以有效的求解。

Moreau envelope函數可以作為優化函數中不可微項的一種平滑近似，進而得到問題的近似解[24]。為了方便后續的說明，這里引入近似算子符號。對于凸函數g(x)，稱如下的表達式為g(x)的近似算子：

(7)

設函數：

(8)

則gμ(x)稱為函數g(x)的Moreau envelope函數，且gμ(x)具有以下性質：

2)gμ(x)是一個連續可微函數，且它的梯度gμ(x)的Lipschitz指數為1/μ。

由上述兩條性質可以得出，gμ(x)的梯度為

gμ(x)=(x-proxμg(x))

(9)

鑒于上面的分析，由于式(7)中的第二項是具有不可微和不可分離性質的凸函數，使得FISTA方法不能直接應用于模型的求解。因此可以利用Moreauenvelope函數的連續可微性質作為該凸函數的一種近似平滑替代，使梯度計算成為可能，并結合式(9)中的近似算子消除不可分離性對模型求解的影響。令g(Ψx)=‖Ψx‖1，將式(7)改寫為如下平滑近似形式：

(10)

f(x)=(hJ+1)H?(hJ+1?x-y)

(11)

設

xJ+1=argmin{H(x)≡f(x)+gμ(Ψx)}

(12)

由于式(12)中的兩個函數f(x)和gμ(Ψx)均為可微函數并聯合式(9)、(11), 給出下面的雙迭代變量的更新策略，f(pk+1)、gμ(xk)分別為

f(pk+1)=(hJ+1)H?(hJ+1?pk+1-y)

(13)

(14)

(15)

則式(16)可改寫為

gμ(Ψxk)=ΨH(Ψxk-Sμ(Ψxk))

(16)

xk+1=argmin(x:H(x=qk),H(x=xk))

(17)

式中：LH表示函數H(x)的Lipschitz指數，式(19)表示xk+1取qk或xk中令H(x)較小的那一個。這里，迭代參量pk+1的更新表達式為

(18)

(19)

此外，文獻[24]還指出，當μ較大時能夠給gμ(x)的求解帶來一個較好的初值。而同時，隨著μ的減小，又能夠使得優化函數的精度和收斂速度獲得一定的提升。因此本文中將采用遞減式的μ取值，加快算法的收斂速度并提高收斂精度。

2.2 模糊核估計算法

為了對式(8)進行求解，這里給出一種基于交替迭代的核估計算法。引入輔助變量l，將式(8)改寫為如下的形式：

(20)

利用交替優化技術[25]，式(22)可以拆分為下面的兩個優化子問題：

(21)

(22)

ak+1=ak+(lk+1-hk+1)

(23)

由于式(21)為二階可微函數，可以對其求導并令導數等于0，得

((xJ)T?(xJ)+ρ+2ηT)hk+1=

(xJ)y+ρ(lk+ak)

(24)

再利用快速傅里葉變換可得

hk+1=

(25)

(26)式中sgn(·)為標準符號函數。

由于模糊核尺寸有限，且其值一般不會很大。因此，為了使算法簡潔，模糊核的估計只進行兩次迭代即可。

綜上所述，將本文所提出的算法總結如下。

初始化：觀測圖像y，p1=x0，μ=μ0，J=0，Jmax，kmax；

外層循環：

2)內層循環：令k=0，t0=1；

① 利用式(17)計算proxμg(Ψxk)；

⑤xk+1=argmin(x:H(x=qk),H(x=xk))；

若k=kmax，轉至3)；否則，k=k+1；

3)令xJ+1=xk+1，μ=μ/2;

4)若J=Jmax，輸出復原圖像xJ+1；否則，J=J+1。

3 實驗結果與分析

為了驗證算法的有效性，本文進行了模糊圖像復原的對比實驗。對比方法包括基于全變差的FISTA方法，文獻[10]中基于字典學習的盲復原方法，文獻[15]中基于聯合統計模型的復原方法以及本文所提算法。FISTA方法中模糊核的估計采用文獻[26]中的方法，文獻[15]中的模糊核估計采用文獻[11]中的估計方法。實驗平臺為Matlab7.10.0, Intel? CoreTM2 Duo CPU, 4GB RAM, Windows操作系統。實驗圖像分別采用一組256×256的標準歸一化測試圖像(如圖1所示)和一幅真實模糊圖像。對于真實的彩色圖像，本文算法中將其由RGB變換到YUV空間，僅對亮度分量Y實施算法，而保持色度分量U和V不變，然后變換回RGB空間，獲得復原圖像。實驗中采用Shearlet作為本文算法的緊框架[27]，其相比傳統的Wavelet、Curvelet等具有更好的圖像稀疏表示能力且計算復雜度低，易于實現。考慮篇幅的有限，這里對標準歸一化圖像采用兩種最經典的模糊方式，分別為均勻模糊和尺度參數為2的高斯模糊，且核尺寸均為7×7。噪聲類型為加性高斯白噪聲，噪聲標準差為0.01。關于迭代參數設置，本文通過實驗發現，隨著迭代次數的增加，初始階段復原效果明顯提升，而后緩慢趨于收斂。因此，考慮到計算量與計算時間的因素，這里設置內、外兩層循環的迭代次數分別為kmax=30，Jmax=5，達到幾乎收斂的效果。同時，本文采用峰值信噪比(peak signal to noise rate, PSNR)和結構相似性度量 (structural similarity index measurement, SSIM)作為客觀評價指標[28]。PSNR越大說明復原圖像與原始圖像在全部像素上的絕對差之和越小，一定程度上宏觀的體現了與原始圖像在平均數值上的接近程度, 而SSIM指標越大則說明復原圖像與原始圖像在細節及紋理結構方面具有更高的相似性。考慮篇幅的有限，這里僅給出Cameraman在高斯模糊核下的復原結果(如圖2)，真實模糊圖像的核估計以及視覺復原效果如圖3所示。圖4為Cameraman圖像以外循環變量k為橫軸的PSNR變化圖。表1～4中分別記錄了標準歸一化測試圖像在不同模糊核下的PSNR和SSIM指標。

圖1 標準測試圖像Fig.1 Benchmark test images

圖2 Cameraman復原結果Fig.2 Restoration results of Cameraman

圖3 真實模糊圖像復原結果Fig.3 Restoration results of real blurry image

圖4 Cameraman PSNR迭代變化圖Fig.4 PSNR plot versus iteration of Cameraman

CameramanParrotHarbourBridgeFISTA24.7624.9523.8222.59文獻[9]26.0828.1727.0625.16文獻[11]30.0132.1230.1730.79本文算法29.8731.9629.9530.41

表2 高斯模糊下標準測試圖像的SSIM值

表3 均勻模糊下標準測試圖像的PSNR值

表4 均勻模糊下標準測試圖像的SSIM值

從圖2對比結果中可以看出，FISTA方法在平滑區域的復原效果較好，但部分位置出現了本不應有的斑駁和階梯效應，這主要是由于全變差約束的分片光滑假設前提所導致，丟失了不連續邊緣處的部分細節信息，相比緊框架下的稀疏模型，其先驗約束缺乏一般性。基于離散余弦變換(discrete cosine transformation, DCT)字典的文獻[10]中方法的復原圖像有微弱振鈴現象產生，這主要是由于通用DCT字典不能針對性的有效表示某一個體圖像。此外，該算法中采用的基于l1范數的合成模型相比本文分析模型，在目標函數收斂精度方面的性能較差，細節的復原能力仍有待進一步提高。文獻[15]和本文算法相比前兩種方法，復原性能有顯著提高。盡管文獻[15]獲得了最優的PSNR值，但該值僅能從宏觀上衡量復原結果與原始圖像在數值上的的接近程度，而并不能反應局部的細節視覺效果。可以看出，該方法在非局部和全變差的聯合約束下，使圖像過分的平滑，細節紋理不夠突出，因此在SSIM指標方面略低于本文算法。從真實模糊圖像復原效果還可以看出，文獻[11]盡管較前兩種方法在復原性能方面有所提升，但由于估計核并未呈現出細而平滑的特性，使得復原圖像仍未獲得理想的視覺效果。相比傳統算法，本文所提出的方法，一方面由于采用了分析模型，在提高目標函數收斂精度方面具有一定的優勢，更好的復原了圖像中的細節信息(如圖2中框圖部分所示)，具有更為銳化的邊緣并能夠呈現清晰的圖像。另一方面，由于同時引入對卷積核稀疏性與一階平滑特性的約束，優化了估計性能。從圖3中可以看出，白亮點描述了核的實際形狀，本文方法所估計的模糊核占據較小的核尺寸面積(即細特征)，較好的體現了核的稀疏性。此外，其呈現的線狀分段連續形狀也有效的反應了其平滑連續性。在客觀評價指標方面，本文方法的PSNR與文獻[15]中的方法接近，相比FISTA和文獻[10]中的方法體現了一定的優越性。從圖4的PSNR迭代變化圖中還可以看出本文算法隨迭代次數的增加，PSNR呈現升高趨勢且具有較好的收斂性能。在SSIM結構化指標中，本文方法在四種對比方法中展現出相對優勢(即有較好的視覺復原效果)。同時，在獲得估計核后，各復原算法相當于進行非盲復原。因此，好的復原結果也進一步影響著下一次迭代中的核估計精度，達到相互促進的目的，這也從另一方面說明了本文算法中緊框架分析模型的非盲復原能力。

4 結論

1)針對模糊圖像的盲復原問題，本文提出一種緊框架下的盲復原方法，該方法通過迭代的進行模糊核估計與非盲圖像復原，不僅能夠提高在圖像細節信息復原方面的能力，還獲得了較好的客觀評價指標。對于高斯和均勻兩種模糊模型，本文在PSNR指標方面盡管均未取得最優值但與最優值較為接近，這可能由于本文方法在個別像素點上的復原值差異較大，但視覺上并未影響總體效果。

2)在方法上，區別于傳統的復原方法，本文分別建立了針對模糊核估計以及緊框架分析非盲復原的有效約束模型。一方面，為了實現準確的核估計，提出同時約束模糊核的稀疏性及其一階微分的平滑特性。另一方面，為了解決分析模型的不可微性和不可分離性，借鑒FISTA算法，提出一種平滑項替代的迭代數值算法，得到分析模型的近似解。該方法的建立也為模糊圖像的盲復原領域提供了新的模型和解決思路，其研究成果可應用于各類成像設備的預處理模塊。

此外，通過對本文中迭代優化模型的修改，還可將該方法擴展應用于如圖像超分辨、圖像壓縮傳感等其他圖像反問題中，這些問題將在以后的研究中進行深入的討論。

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本文引用格式：

李驁, 雷天鳴, 陳德運, 等. 緊框架分析模型下的模糊圖像盲復原[J]. 哈爾濱工程大學學報， 2017， 38(6)： 931-938.

LI Ao， LEI Tianming, CHEN Deyun, et al. Blind image restoration based on analysis model under tight frame[J]. Journal of Harbin Engineering University， 2017， 38(6)： 931-938.

Blind image restoration based on analysis model under tight frame

LI Ao， LEI Tianming, CHEN Deyun, SUN Guanglu

(Postdoctoral Station of Computer Science and Technology, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)

In blind image restoration based on the sparse representation model, kernel estimation and the selection of the sparse model are two significant factors that affect the blind restoration. Considering the imperfections of the conventional blind restoration method based on sparse representation, we propose a novel blind restoration method based on the tight-frame analytical model. This novel method divides the blind restoration problem into two iterative subproblems: kernel estimation based on the gradient image, and non-blind image restoration based on the tight-frame model. In the kernel estimation, we propose constraining simultaneously the sparsity of the kernel and the smoothness of the first-order differential of the kernel, which further improves the accuracy of the kernel estimation. In the non-blind image restoration subproblem, we propose a numerical algorithm based on the Moreau envelope function, which can solve the nondifferentiability and inseparability of the tight-frame restoration model. The experimental results show that the proposed method is superior to the conventional methods in relation to both the recovery of image detail and the objective assessment indicators.

blind image restoration; tight frame; kernel estimation; iterative optimization; regularization; moreau envelope function

2016-03-02. 網絡出版日期：2017-04-24.

國家自然科學基金項目(61501147)；中國博士后基金項目(2016M601438);黑龍江省自然科學基金項目(F2015040)；黑龍江省博士后基金項目(LBH-Z15099).

李驁(1986-), 男, 講師, 博士.

李驁，E-mail: liao_hrbust@126.com.

10.11990/jheu.201603003

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20170424.1841.002.html

TN911.7

A

1006-7043(2017)06-0931-08