基于粒子群算法的平面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化與動力學(xué)仿真

沈明秀,王荔芳

(昆明學(xué)院 自動控制與機(jī)械工程學(xué)院,云南昆明 650214)

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基于粒子群算法的平面四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化與動力學(xué)仿真

沈明秀,王荔芳

(昆明學(xué)院 自動控制與機(jī)械工程學(xué)院,云南昆明 650214)

目前，平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動過程中連桿從動件輸出的角加速度的線加速度比較大,導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動不平穩(wěn),不能很好地滿足工作需求.對平面四桿機(jī)構(gòu)連桿及銷子進(jìn)行優(yōu)化,實(shí)現(xiàn)連桿從動件輸出的角加速度和線加速度值最小化.創(chuàng)建平面四桿機(jī)構(gòu)鏈接節(jié)點(diǎn)間隙模型和機(jī)構(gòu)矢量簡圖,對四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動節(jié)點(diǎn)間隙進(jìn)行分析,推導(dǎo)了連桿運(yùn)動的質(zhì)心線加速度計(jì)算公式.四桿機(jī)構(gòu)連接銷子采取虛擬質(zhì)量,引入粒子群算法優(yōu)化連桿運(yùn)動參數(shù),結(jié)合具體實(shí)例對優(yōu)化前和優(yōu)化后的四桿機(jī)構(gòu)從動件進(jìn)行運(yùn)動學(xué)仿真.仿真結(jié)果顯示:優(yōu)化前兩個(gè)從動件輸出的角加速度最大值分別為2.4×103rad·s-2和-5.0×103rad·s-2,優(yōu)化后兩個(gè)從動件輸出的角加速度最大值分別為-0.6×103rad·s-2和-0.8×103rad·s-2;優(yōu)化前兩個(gè)從動件輸出的線加速度最大值分別為0.27×103m·s-2和0.55×103m·s-2,優(yōu)化后兩個(gè)從動件輸出的線加速度最大值分別為-0.07×103m·s-2和0.12×103m·s-2.優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)從動件輸出的角加速度和線加速度相對較小,運(yùn)動相對平穩(wěn),效果很好.

四桿機(jī)構(gòu); 粒子群算法; 角加速度; 線加速度; 優(yōu)化

平面連桿機(jī)構(gòu)也稱之為平面低副機(jī)構(gòu),它可以按照設(shè)計(jì)的運(yùn)動規(guī)律實(shí)現(xiàn)擺動、移動及轉(zhuǎn)動等各種復(fù)雜運(yùn)動.連桿機(jī)構(gòu)具有許多優(yōu)點(diǎn):連桿運(yùn)動過程中承受壓強(qiáng)較小,接觸部位便于潤滑,磨損很小;制造簡單方便,運(yùn)動精度較高;運(yùn)動行程遠(yuǎn),兩構(gòu)件能夠靠自身封閉來完成接觸.因此,平面連桿機(jī)構(gòu)應(yīng)用非常廣泛.主要應(yīng)用在儀表、工程機(jī)械、折疊傘、機(jī)械手上.但是,平面連桿機(jī)構(gòu)也存在許多缺點(diǎn):當(dāng)運(yùn)動復(fù)雜時(shí),機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)量和運(yùn)動副就會增加,導(dǎo)致機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)復(fù)雜,工作效率較低;機(jī)構(gòu)在運(yùn)動過程中所產(chǎn)生的慣性很大,特別是在高速運(yùn)動時(shí),難以保持平衡,振動比較大,故常常應(yīng)用于低速場合.

由于四桿機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)計(jì)方便、加工生產(chǎn)容易及工作比較可靠等,所以在工程機(jī)械中得到了廣泛的應(yīng)用.隨著社會生產(chǎn)的發(fā)展,四桿機(jī)構(gòu)承受的載荷在增加,運(yùn)動速度也不斷提高,對四桿機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)難度也在增大.因此,四桿機(jī)構(gòu)在高速運(yùn)動過程中如何保持平穩(wěn)一直是近年來研究的重點(diǎn).當(dāng)前,許多研究人員對四桿機(jī)構(gòu)優(yōu)化進(jìn)行了深入的研究,例如,文獻(xiàn)[1-3]基于遺傳算法優(yōu)化了平面四桿機(jī)構(gòu)角位移誤差和行程比系數(shù),通過MATLAB 軟件的遺傳算法,構(gòu)造了優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)模型,縮短了運(yùn)行周期,提高了四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動精度.文獻(xiàn)[4-6]研究了四桿機(jī)構(gòu)近似函數(shù)綜合的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型,通過可行性規(guī)則差分進(jìn)化算法求解函數(shù)非線性方程組.最后通過仿真驗(yàn)證轉(zhuǎn)角誤差,可行性規(guī)則差分進(jìn)化算法可以提高機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)角精度.文獻(xiàn)[7-8]研究了四桿機(jī)構(gòu)的動力學(xué)特性,建立了四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動的動力學(xué)模型,分析了機(jī)構(gòu)的動態(tài)應(yīng)力和應(yīng)變,通過有限元軟件對機(jī)構(gòu)進(jìn)行了模態(tài)分析,得出了連桿應(yīng)力集中位置,為機(jī)構(gòu)的優(yōu)化目標(biāo)提供了參考依據(jù).以前研究者研究四桿機(jī)構(gòu)很少考慮機(jī)構(gòu)運(yùn)動的穩(wěn)定性,導(dǎo)致運(yùn)動過程中振動比較嚴(yán)重.對此,本文創(chuàng)建了四桿機(jī)構(gòu)間隙模型,給出了四桿機(jī)構(gòu)的向量簡圖,對四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行了運(yùn)動分析,推導(dǎo)出了連桿質(zhì)心位移和角度的計(jì)算方程式.引入三次多項(xiàng)式構(gòu)造連桿旋轉(zhuǎn)角度,通過粒子群算法優(yōu)化四桿機(jī)構(gòu)連桿設(shè)計(jì)參數(shù),對四桿機(jī)構(gòu)輸出的角加速度和質(zhì)心線加速度進(jìn)行動力學(xué)仿真.結(jié)果表明:與優(yōu)化前相比,優(yōu)化后輸出的角加速度和線加速度最大值明顯下降,整體跳動幅度很小,運(yùn)動相對平穩(wěn).

1 平面四桿機(jī)構(gòu)

1.1 節(jié)點(diǎn)間隙模型

本文研究的平面四桿機(jī)構(gòu)具有3個(gè)鏈接關(guān)節(jié),在關(guān)節(jié)部位所產(chǎn)生的間隙如圖1所示.對節(jié)點(diǎn)間隙模型進(jìn)行分析,假設(shè)鏈接兩個(gè)連桿的銷子質(zhì)量為零(虛擬質(zhì)量),并且在剛性單元間是一種無摩擦鏈接.間隙矢量的方向與碰撞面的法線方向相一致,鏈接節(jié)點(diǎn)所受合力是在同一個(gè)方向上,如圖2所示.另一方面,每一個(gè)節(jié)點(diǎn)間隙都會給鏈接處帶來額外的自由度,鏈接點(diǎn)的受力方向就是合力方向.

圖1 四桿機(jī)構(gòu)間隙模型Fig.1 Four-bar linkage clearance model

圖2 四桿機(jī)構(gòu)向量簡圖Fig.2 Four-bar linkage vector diagram

1.2 運(yùn)動學(xué)分析

運(yùn)動學(xué)主要是對平面四桿機(jī)構(gòu)的位移、速度及加速度進(jìn)行分析.由圖2可知,矢量閉合方程式為

(1)

式中:Li表示第i個(gè)連桿的長度;θi表示第i個(gè)連桿與水平面之間的夾角;rj表示第i個(gè)鏈接銷子的半徑;γj表示第i個(gè)鏈接銷子與水平面之間的夾角.

由圖1可知,P點(diǎn)的坐標(biāo)方程式為

(2)

因此,連桿質(zhì)量中心坐標(biāo)的方程式如下所示:

(3)

(4)

(5)

式中:Gi表示第i個(gè)連接桿的質(zhì)量中心;ui和vi表示Gi點(diǎn)在自身質(zhì)量分布坐標(biāo)系統(tǒng)里的值(i=2,3,4).

式(3)～(5)對時(shí)間的微分方程式就是連桿質(zhì)心的速度和加速度.

2 運(yùn)動綜合

平面連桿路徑生成問題中的尺度合成包括確定的連桿尺寸以產(chǎn)生P點(diǎn)所需的路徑.因此,我們設(shè)計(jì)出平面四桿機(jī)構(gòu)以解決節(jié)點(diǎn)間隙在被動節(jié)點(diǎn)下的路徑生成問題.路徑生成問題中的若干設(shè)計(jì)參數(shù)都以向量的形式表示:

(6)

式中:N是優(yōu)化目標(biāo)節(jié)點(diǎn)的個(gè)數(shù),在此,目標(biāo)函數(shù)由兩部分組成,即位置誤差和通過補(bǔ)償函數(shù)建模引入的約束.通常而言,在路徑再現(xiàn)綜合問題中,前者是定義為在所產(chǎn)生路徑與所期望路徑之間的均方距離的總和,而后者被定義為一些不等式約束.在此,一般有5種約束,即格拉斯霍夫定律、旋轉(zhuǎn)輸入鏈接、點(diǎn)缺陷、分支缺陷、回路缺陷.四桿機(jī)構(gòu)的格拉斯霍夫定律方程式[9]為

(7)

(8)

式中:p和q是鏈接節(jié)點(diǎn)的中心長度.

對于一個(gè)完整的旋轉(zhuǎn)輸入鏈接,格拉斯霍夫定律方程式[9]為

(9)

假設(shè)給出了曲柄逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)模型,分支和回路的缺陷約束條件為

(10)

(11)

(12)

因此,具有上述約束的路徑生成合成目標(biāo)函數(shù)[10]定義如下:

(13)

3 鏈接銷子計(jì)算

雖然平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動是單自由度系統(tǒng),但是由于節(jié)點(diǎn)間隙的存在,又將額外增加3個(gè)不可控的自由度.因此,這些自由度應(yīng)得到控制以減小一些負(fù)面影響,如果鏈接假定為剛性,鏈接銷子的方向可通過拉格朗日方程[11]獲得:

(14)

式中:T,U和D分別表示動能、勢能和耗散函數(shù).

(15)

(16)

(17)

式中:i表示節(jié)點(diǎn)數(shù)量;mi表示質(zhì)量;Ii表示轉(zhuǎn)動慣量;g表示重力加速度;Cθi表示黏性阻尼系數(shù);Cγi表示鏈接銷子質(zhì)量.帶入方程(14),簡化如下:

(18)

3.1 粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化算法[12]是一種基于迭代的優(yōu)化算法.粒子群算法開始產(chǎn)生一組隨機(jī)的粒子群體,通過搜索和迭代找到最佳值.粒子群優(yōu)化算法通過迭代來更新粒子的位置和速度,其計(jì)算表達(dá)式[12]為

(19)

(20)

圖3 粒子群優(yōu)化算法流程圖Fig.3 Flow chart of particle swarm optimization algorithm

粒子群優(yōu)化算法設(shè)計(jì)鏈接節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)的方向角度是以曲柄角為自變量的函數(shù),即γjd=f(θ2)(j=2,3,4).在優(yōu)化過程中,該方向假定是理想的方向,當(dāng)角速度可知的情況下,節(jié)點(diǎn)的方向可以通過控制銷子質(zhì)量分布來控制.因此,四桿機(jī)構(gòu)的優(yōu)化參數(shù)為

(21)

因此,優(yōu)化目標(biāo)值是實(shí)際與理想角度差的平方和作為曲柄角的一個(gè)周期,如下所示:

(22)

平面四桿機(jī)構(gòu)在實(shí)際運(yùn)動過程中,鏈接銷子與鏈桿之間總是存在間隙.優(yōu)化的四桿機(jī)構(gòu),它遵循期望的路徑,且沒有對虛擬質(zhì)量方向產(chǎn)生干擾變化,通過使用如下三次多項(xiàng)式[13]:

(23)

式中:P1j,P2j,P3j,P4j表示系數(shù).

假定鏈接銷子與連桿之間的間隙為0.5mm,設(shè)計(jì)參數(shù)X1,如表1所示.

表1 設(shè)計(jì)參數(shù)

采用粒子群優(yōu)化算法得到三次多項(xiàng)式系數(shù)和優(yōu)化參數(shù)X2分別如表2和表3所示.

表2 四桿機(jī)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)間隙系數(shù)

4 運(yùn)動仿真及分析

對優(yōu)化前和優(yōu)化后的平面四桿機(jī)構(gòu)的角加速度和線加速度進(jìn)行動力學(xué)仿真,仿真參數(shù)設(shè)置如表3所示,連桿L2的角速度為4π/s,仿真時(shí)間為

表3 X2優(yōu)化前和優(yōu)化后的參數(shù)

1.0 s.連桿L3和L4的角加速度仿真結(jié)果分別如圖4,5所示,連桿L3和L4線的加速度的仿真結(jié)果分別如圖6,7所示.

從圖4,5可知,優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)連桿L3,L4的角加速度輸出值波動幅度較小,連桿L3,L4的角加速度輸出最大值分別為-0.6×103rad·s-2和-0.8×103rad·s-2;優(yōu)化前四桿機(jī)構(gòu)連桿L3，L4的角加速度輸出值波動幅度較大,連桿L3，L4的角加速度輸出最大值分別為2.4×103rad·s-2和-5.0×103rad·s-2,角加速度容易發(fā)生突變現(xiàn)象.從圖6,7可知,優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)連桿L3,L4的質(zhì)心線加速度輸出值波動幅度較小,連桿L3,L4的質(zhì)心線加速度輸出最大值分別為-70 m·s-2和120 m·s-2;優(yōu)化前四桿機(jī)構(gòu)連桿L3,L4的質(zhì)心線加速度輸出值波動幅度較大,連桿L3,L4的質(zhì)心線加速度輸出最大值分別為270 m·s-2和550 m·s-2,連桿L3,L4的質(zhì)心線加速度容易發(fā)生突變現(xiàn)象.因此,優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)連桿輸出的角加速度和線加速度變化較小,運(yùn)動比較平穩(wěn),機(jī)構(gòu)不容易產(chǎn)生振動.

圖4 連桿L3角加速度Fig.4 Connecting rod L3 angular acceleration

圖5 連桿L4角加速度Fig.5 Connecting rod L4 angular acceleration

圖6 連桿L3質(zhì)心線加速度Fig.6 Connecting rod L3 centroid acceleration

圖7 連桿L4質(zhì)心線加速度Fig.7 Connecting rod L4 centroid acceleration

5 結(jié)語

針對平面四桿機(jī)構(gòu)連桿節(jié)點(diǎn)存在間隙、導(dǎo)致機(jī)構(gòu)運(yùn)動不平穩(wěn)等問題,本文采用粒子群算法優(yōu)化了四桿機(jī)構(gòu)連桿及銷子的設(shè)計(jì)參數(shù).構(gòu)造了四桿機(jī)構(gòu)的間隙模型及向量簡圖,推導(dǎo)出了四桿機(jī)構(gòu)的運(yùn)動位移數(shù)學(xué)計(jì)算公式,確定了四桿機(jī)構(gòu)銷子質(zhì)量計(jì)算.優(yōu)化了目標(biāo)函數(shù),通過粒子群優(yōu)化算法搜索出連桿的最優(yōu)尺寸設(shè)計(jì)參數(shù),借助于MATLAB軟件對優(yōu)化后四桿機(jī)構(gòu)連桿輸出的角加速度和線加速度進(jìn)行了仿真.仿真結(jié)果表明:優(yōu)化后連桿輸出的角加速度和線加速度最大值明顯下降,整體抖動較小,為平面四桿機(jī)構(gòu)運(yùn)動學(xué)的研究提供了參考依據(jù).

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Optimization and dynamical simulation on planar four-bar mechanism based on particle swarm optimization algorithm

SHEN Mingxiu, WANG Lifang

(College of Automatic Control and Mechanical Engineering,Kunming University,Kunming 650214,Yunnan,China)

Currently,the angular acceleration outputs from connecting rod followers of planar four-bar mechanism are so large yet unstable that cannot meet working demands.To optimize the planar four-bar linkages and pins,the connecting rod outputs of angular and linear accelerations are initially minimized. Afterwards,the planar four-bar linkage joint gap model and vector diagram are established.Thereafter,the kinematic joint gap of four-bar mechanism,together with the formula of connecting rod motion,is derived from the linear acceleration of centroid. Since the connecting pins of four-bar mechanism possess virtual mass,the particle swarm optimization is employed for motion parameters of connecting rods. By using specific examples for kinematics simulation on four-bar mechanism followers,it is indicated that the pre-optimization values of maximum angular acceleration for two followers are respectively 2.4×103rad·s-2and -5.0×103rad·s-2， whereas the post-optimization values of maximum angular acceleration for two followers are respectively -0.6×103rad·s-2and 0.8×103rad·s-2. In addition,the pre-optimization values of maximum linear acceleration for two followers are respectively 0.27×103m·s-2and 0.55×103m·s-2, whereas the post-optimization values of maximum linear acceleration for two followers are respectively -0.07×103m·s-2and 0.12×103m·s-2. Conclusively,the angular and linear accelerations are smaller after optimization,whilst the movement is more stable with better effect.

four-bar linkage; particle swarm optimization; angular acceleration; linear acceleration; optimization; simulation

云南省教育廳科學(xué)研究基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(2010Z027)

沈明秀(1978-),女,講師,碩士.E-mail:shenxm201607@126.com

TH 112

A

1672-5581(2017)01-0015-06