公倍數與最大公倍數

張彤

應用創新點

本節課圍繞著尾巴重新接回的5個動畫游戲的情景，利用白板軟件強大的交互功能，解決“是什么”，“為什么”，“怎么求”3個數學大問題。課堂容量大，效率高，抽象的數學概念變得清晰了。

學生在4個小動畫游戲中猜測、驗證、探究尾巴重新接回的次數的過程中，不是簡單重復，尤其是第三次學生親手動手操作交互軟件，提高了小組合作的效率，解決“是什么”大問題，知道了尾巴重新接回的次數就是兩個數的公倍數和尾巴第一次重新接回的次數就是最小公倍數的概念。

面對4組數據，深入思考“圖形的邊數不相同，轉的次數滿足什么條件，尾巴就接回呢？”，體驗到了探究的樂趣，解決了“為什么”的問題。舉例說明生活中應用實例如澆花時間，幾種果樹結果時間，體會到了生活中到處都有數學。

在第5個動畫闖關游戲中，掌握求兩個數的公倍數和最小公倍數的方法，找出兩個互質數，倍數關系的最小公倍數的2種特殊類型規律，動畫游戲“抗擊海盜”體會到了數學好玩。第2次的“闖關游戲反饋”主要體現了“及時學習”、“即求即應”的互動學習模式，“玩”游戲變成了“學”數學。

讓學生自主探究游戲活動背后的數學原理，師生通過三次游戲活動，得到四組數據，這時，學生隱約感覺游戲背后有規律、有訣竅、有奧秘，教師順勢讓學生以小組為單位去討論、交流、匯報、質疑，最終找到奧秘。整個學習過程中，學生真正地成為自主探究的實踐者、問題發現和解決的學習者。

教材分析

教學內容：人教版小學五年級下冊第四單元相關內容（教科書P68-69）

教材對于理解公倍數與最小公倍數的意義尤其是對解決問題的應用，比較抽象，不利于建立對概念的理解。新課程標準要求教材選擇具有現實性和趣味性的素材，采取螺旋上升的方式，由淺入深地促使學生在探索與交流中建立公倍數與最小公倍數的概念。在此之前，學生已經了解了整除、倍數、因數以及公因數和最大公因數。本節課的重點應放在學生對公倍數的概念的認識上也為今后的通分、約分學習打下的基礎，具有科學的、嚴密的邏輯性。

學情分析

本節課是在學生已經對因數、倍數和最大公因數有了較深的了解的基礎上，進一步來學習幾個數之間倍數的關系。確定教學重點“公倍數與最小公倍數的概念建立”的理由是：《標準》中要求4—6年級的學生能找出10以內任意兩個自然數的公倍數與最小公倍數，因此，學生的學習內容應該是現實的、有意義的、富有挑戰性的；其次，有效的數學活動必須建立在學生的認知發展水平和已有的知識經驗基礎之上；再者，結合教學內容特征，創設富有生活情趣的問題情境，利用學生的生活經驗與知識背景，鼓勵學生解決簡單的實際問題，激活學生的數學思維，提高解題技能。

教學目標

知識與技能目標：

讓學生充分經歷公倍數與最小公倍數概念的產生過程，激發學習興趣，建立概念，掌握找兩個數的最小公倍數的基本方法，掌握求有特殊關系的兩個數的最小公倍數的方法。

通過解決實際問題，使學生初步了解兩個數的公倍數和最小公倍數在現實生活中的應用。

過程與方法目標

學生親歷猜想、動手操作驗證、記錄過程。學生根據觀察數據，培養學生數感，提高數學素質，正確理解公倍數和最小公倍數的概念，探究找公倍數的方法，會利用列舉法等基本方法找出兩個數的公倍數和最小公倍數。

情感態度與價值觀目標

學生在充分經歷公倍數概念的產生過程，感受到數學學習的快樂。學會用數學的眼光觀察生活，多角度的思考問題。積極參與對數學數學問題的探究過程，體驗到學習數學的快樂和價值。

教學環境與準備*

微機教室，一人一機 準備鴻合白板軟件、PPT、小動畫、網頁

教學過程

一、游戲導入，猜想、驗證

（1）猜想

今年是雞年，有一個跟雞有關的游戲，想玩嗎？（白板演示播放小動畫）

請看，這是一個正六邊形和一個正方形！正方形也可以說是正四邊形。接下來我們就用這兩張圖片來玩游戲。我把正六邊形固定不動，讓正四邊形繞正六邊形按一個方向轉動。你們注意到沒有，當正四邊形開始轉動的時候，里面這一只可愛的傲驕大公雞的尾巴——（斷開了！）

我想請大家來猜一猜，從這個時候接著算，會不會有那么一個時刻，尾巴又能重新接來回了，你來猜一猜得轉動幾次？

同學猜（6次，9，次，24次，12次，18次），到底是幾次？怎么才能知道？

我來轉，你們大聲數！

（2）驗證 白板演示播放小動畫1

師：剛才轉到第幾次重新接回？（12次。）

如果繼續轉，看看轉到第幾次，圖形才能恢復正常狀態，尾巴還能重新接回？（24））

只有這一種答案嗎？繼續轉動下去到第多少次，尾巴還能重新接回？（36...）

我們把剛才的活動記下來。

師板書：6、4：12 24 36 ...

這個游戲好玩嗎？

（設計部意圖：游戲情景導入，猜想公雞尾巴重新接回的次數，在播放動畫驗證中也為下面的幾個環節進行了鋪墊。通過做尾巴重新接回的游戲，把知識融進生活，吸引學生。《數學課程標準》中要求：“要培養學生的數感，數感中重要的一點就是能用數學思想、從數學的角度來解決生產、生活中的問題。”在游戲中使學生考慮到這里面有數學因素，這就是一種數學意識，通過這個游戲使學生感受到我要通過數學方法來解決問題，我覺得這無形中提高了學生的數學素養。）

（3）學生操作親歷猜想、驗證、記錄過程。

這么好玩的游戲，你們想不想自己來玩一玩？ 下發操作動畫文件

請看屏幕。動物變了，更重要的是——圖形也變了。

轉動幾次，尾巴又能重新回復常態？ 來看看誰猜對了？

你們以小組為單位，也像剛才那樣，先猜，再轉，最后將數據填在表格里。開始！

設計意圖：

其實是齒輪的原理讓我想起了這個多邊形轉動的游戲，，學生不知道用公倍數的知識來解決它，所以第一次很容易猜錯，沒有關系，我想學生在課堂上沒有問題，沒有矛盾那這堂課的價值又如何體現呢？通過孩子們的動手操作、小組合作，他們慢慢的會發現，其實就是用最小公倍數的知識來解決問題。第一次猜錯，很容易激起學生的強烈猜第二次的欲望，這次游戲不是簡單的重復，從多邊形的邊數看，第一次選擇的是6和4，既不是倍數關系也不是互質關系，第二次選擇的是8和5，是互質的關系；重新接回的次數看，先是12次，比較小，后是40次，比較大；在電腦上操作節省時間。

（4）數據匯總

隨機展現學生小組的操作過程，教師監控學習過程

操作結束，教師直接將數據分別展示在“教師機的桌面上” 播放學生的過程、動畫4

6，4：12、24、36、……

8，5：40、80、120、……

8，4：8、16、24、……

5，4：20、40、60、……

（5）驗證

師生共同驗證，并記錄數據。白板演示播放小動畫2

剛才認真的看了同學們的記錄，我發現各小組數據都是一樣的，我已經把它顯示出來。

設計意圖：這兩組多邊形的邊數，也是有意設計，一組是5和4，是互質關系，一組是8和4，是倍數關系，看了前面教師作了兩次示范，并且對小組怎么玩作了比較細致的要求和說明。第三次玩這個游戲是以小組的形式進行的猜了，又親自動手玩了！這樣有利于學生從多種不同情況的接回次數中去歸納發現奧秘。

二、操作中的新發現，引出公倍數和最小公倍數的概念

1.提出問題

我們總共玩了三次尾巴重新接回的游戲，得到了這樣一些數據。（師將數據整理到屏幕上。）

下面我們來研究研究，為什么轉動這么多次，這是一種偶然的結果呢？還是一種有規律的結果？

2.小組討論

先請大家在小組內說一說，我們再請小組代表來匯報。

學生小組討論，師時而巡視時而參與學生的討論。

3.匯報交流：

你能不能結合數據說說你們的發現？

師：你又有什么發現？

（兩個數的公倍數都是最小公倍數的倍數，沒有最大的公倍數...）

師：兩個數有這么多的公倍數，你覺得哪個最重要？為什么？

（最小公倍數，知道了最小公倍數就可以求出其他的公倍數。 ）

生舉例，師將學生舉例的數字圈起來。屏幕批注、漫游擴大版面

生：兩個圖形邊數乘起來，能夠得到其中一個重新接回的數字。

師：你能不能也像剛才那位同學一樣，結合電腦的數據來說明？（展示學生在桌面上的說明過程）

生：比如說12、24、36，都是尾巴重新接回的次數，然后呢，12既是6的倍數又是4的倍數，24是6的倍數，也是4的倍數，36也是6的倍數和4的倍數。

其它組數據也是一樣的，40是8的倍數也是5的倍數，80是8的倍數也是5的倍數，120是8的倍數也是5的倍數。

師：這是他們小組的發現，你們對他們的發現有什么看法？你還有什么疑問嗎？

學生可能會問：如果邊數多的圖形圍著邊數少的圖形轉，那也會是這樣的數據嗎？

（以公雞為例 演示反轉的動畫）

4.引出公倍數和最小公倍數的概念

同學們，通過剛才大家的討論和匯報，看來尾巴重新接回的次數與圖形的邊數有關。

同學們，像這樣的數，同時是兩個數公共的倍數，在數學上叫——公倍數！

那黑板上這么多的公倍數，你們覺得哪一個最重要？為什么？

（指著公倍數中最小的那些）像這樣的數，在公倍數中是最小的，它們就叫——最小公倍數。

師：原來，尾巴重新接回的次數就是多邊形邊數的邊數的公倍數，第一次接回就是邊數的最小公倍數！

師：原來尾巴重新接回有這樣數學奧妙！

設計意圖：用重復來突出教學重點和難點還是很有必要的。費盡千辛萬苦之力揭開了尾巴重新接回的奧秘，同時也就引入了公倍數和最小公倍數的兩個概念。讓學生用舉例的方式來作補充說明，這種學法指導，指導學生在表達自己的觀點的時候要盡量用舉例的形式來佐證 。小組討論后要選小組代表來匯報交流，先選一個典型錯誤的小組代表來匯報，可以更多地展示知識的形成過程，更多地照顧到中后進學生。

三、自主探究，嘗試求兩個數的最小公倍數。

那如果現在還讓你們玩這個游戲，有把握嗎？

比如說8邊形和6邊形，我們要知道8邊形和6邊形至少轉動幾次尾巴重新接回，其實就是求8和6的——最小公倍數。

請在電腦中，把你們找8和6的最小公倍數的過程寫下來。

學生在白板軟件上操作，

老師用電腦監控學生的解答過程。

老師用電腦監控學生的解答過程

交流時向全班同學轉播一學生的做法。

向全班同學轉播一學生的做法

師：你來說說你是怎么找8和6的最小公倍數的。

生：答……

師：為了讓大家看得更清楚，我把他的想法在屏幕上再演示一遍。

老師課件演示學生的做法。

剛才老師發現還有一種很特別的做法，老師在屏幕上展示，看看你們能不能看懂？）

PPT課件演示另一種做法

他的做法其實就是先依次將6的倍數寫下來，看看它是不是同時也是8的倍數。6的第一個倍數6不是8的倍數，12不是8的倍數，18不是8的倍數，24是8的倍數。這樣24就是8和6的最小公倍數。

師：同學們真聰明！能夠積極思考，靈活變通，開拓創新出這么多求最小公倍數的好方法，真是不簡單哪！我們在計算的時候可以根據情況，靈活應用。

設計意圖：學生代表匯報后教師又作了課件演示，這是學生第一次學習找兩個數的最小公倍數，有必要先學后教，但教師還得要教。教師用課件演示找最小公倍數的過程和方法，學生靜靜地看不說話，過后再讓學生說說是怎么找到的，能凝聚注意，提高效率。

四、鞏固提升

下發動畫游戲

1.試著闖關，找到求最小公倍數規律是阻擊海盜強有力的武器，闖關開始！

2.你能找出闖關武器——規律嗎？

第一次是闖3關。

每一關隨機出10道題，每關時間限制在1分鐘之內。第一關是兩個大小數有倍數關系，第二關是互質的兩個數，要求學生輸入算式正確結果，電腦最終出示練習成績。

第三關是不互質的兩個數，快速解答較難，引起學生思考：“有沒有更簡便的方法？”

3.1分鐘后統計第一關闖關結果，有闖關成功的嗎？你擁有的武器是什么？

如果沒成功，看第一組“海盜”有什么特點？ （兩個數是倍數關系）

再闖一次，你肯定成功！

第二次闖關。

設計意圖：學生與多媒體計算機的交互技術和實時作業反饋技術是整合的亮點，是表現在學生的“學”上，“闖關游戲反饋”主要體現了“及時學習”、“即求即應”的互動學習模式，這也是本課對信息化學習的一點探索和嘗試。

五、舉例聯系生活，幫助學生理解公倍數的概念

同學們，我們通過玩尾巴回復常態的游戲，認識到了兩個新的概念，公倍數和最小公倍數。那么，你們能否用舉例的形式說明什么樣的數是兩個數的公倍數？

生：24是6的倍數，24也是4的倍數，24是6和4的公倍數。

師：誰還再來舉出生活中應用最小公倍數的例子？

3路汽車：每隔6分鐘發一次車；5路汽車：每隔8分鐘發一次車，這兩路汽車同時發車后，過多少分鐘兩路汽車還會同時發車。

（2種澆花同時澆的時間、2種果樹同時結果的時間）

設計意圖：舉例是理解概念的一種基本方法！學生舉的都是數字例證時，老師舉了兩個生活實例作為補充。

六、總結全課

看來同學們掌握得不錯。那么關于公倍數和最小公倍數，大家還有什么問題想問的嗎？

其實老師也有一個問題。如果邊數多的圖形圍著邊數少的圖形轉，這個問題，就請大家課后去思考、去討論、去探究！今天這節課就上到這里。下課！