以數輔形，由形引數

程效

[摘 要] 作為初中數學中思想方法的典型代表，數形結合思想對于高效學習的價值不容小覷. 從基本教學理論出發，筆者對不同知識模塊中數形結合思想的適用進行了詳細闡述，希望在深入剖析其實際運用途徑的同時，引導初中學生逐步建立起思想方法的意識，助推高效學習.

[關鍵詞] 初中數學；數形結合

初中數學當中的知識點就像是一顆顆零散的珠子，分布于各個知識模塊當中. 為了將這些知識內容全面且高效地加以掌握，我們就需要找到一條恰當的線，將這些“珠子”巧妙地串起來. 如此一來，整個數學學習過程就會順暢許多，條理清晰，明確高效. 那么，什么才是穿梭于數學知識學習當中的那條線呢？這就是具有普適性與規律性的數學思想方法. 在初中數學當中，這樣的思想方法不在少數. 而在眾多數學思想方法當中，數形結合是頗為典型的一種.

數形結合，解答數式問題

數式問題是數學學習的基礎，也是學生們進入初中數學學習時首先接觸到的知識內容. 從復雜程度上來講，數式知識的難度其實并不算顯著. 但是，對于剛剛步入初中階段的學生來講，想要將這部分知識內容全部掌握到位，也并不是那么容易的. 如果能夠將圖形的方法運用到數式問題的分析當中去，將會為學生們提供很大幫助.

在對有理數的內容進行教學時，教師為學生們設計了這樣一個問題：已知，實數a和b在數軸上的位置如圖1所示，那么，+a-b的化簡結果是什么？這樣的提問形式在初中階段的數式教學當中是非常典型的. 很多時候，數字之間的大小關系并不會直接提供給學生，而是需要大家通過讀懂數軸等圖形來得出. 這樣的問題設計方式，不僅考查了學生們對于有理數式化簡規則的掌握，同時還結合了數軸表示方法的考查，問題雖然簡短，但綜合性很強.

數式知識的難度雖然不算太大，但是，在面對一些較為復雜的問題時，如果一味停留在理論文字的層面上加以思考，往往會讓學生們的思維變得混亂，甚至會在抽象化的死胡同里不知所措. 圖形的適時運用，無疑為學生們的問題分析過程起到了一個撥云見日的輔助作用.

數形結合，解答方程問題

我們在這里所討論的方程是較為廣義的，既包括嚴格意義上各種類型的方程式，也包括含有未知數元素的不等式. 圍繞方程內容所出現的數學問題，并不僅僅是單純地求解方程式，還會出現很多綜合性很強的題目. 如果學生們不具備以數形結合的方式來分析方程問題的能力，將會對數學知識的學習造成很大阻礙.

在對一元二次方程的內容進行教學時，教師在課堂上出示了這樣一道習題：圖2所表示的是一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像. 如果關于x的方程ax2+bx+c-k=0有兩個不相等的實數根，那么，k的取值范圍是什么？一提到“兩個不相等的實數根”，很多學生馬上想到了根與系數的關系，進而想要通過判斷b2-4ac的符號來求解，但發現行不通. 這時，如果能夠結合題中所給出的方程圖像，將問題轉化為兩個函數交點的問題，思路便會瞬間清晰起來. 具體來講，就是將y=ax2+bx+c與y=k聯立，結合圖像發現，只要滿足y=k<3就可以保證拋物線與直線一定存在兩個不同的交點，k<3的正確結論便會很自然地得出了. 這道題目的解答過程，很明顯地體現出了數形結合思想的重要性. 一方面，要引導學生們勤于用圖形的邏輯思考問題，另一方面，還要讓學生們善于借助圖形的方法來解答問題. 兩個方面協同入手，才能夠將數形結合的思想方法落到實處.

表面看來，方程是一個純代數的知識模塊，實則不然. 方程當中的很多數量關系，都是可以通過圖形的方式加以反映的. 從這個特點入手，我們便能夠掌握解答方程問題的另一個途徑，即從方程所對應的圖形切入，運用它的幾何意義來尋找代數關系.

數形結合，解答函數問題

在整個初中階段的數學知識內容當中，函數所占據的篇幅不可小覷. 從覆蓋率上來看，函數知識的重要性已經不言而喻了. 函數內容的重要性，不僅體現在知識點的龐大數量上，更體現在函數知識與函數思維在各個數學知識模塊當中的廣泛滲透上. 為了能夠將函數知識理解透徹，我們必須善于運用圖形，在數形結合當中開展學習活動.

為了幫助學生將二次函數的知識理解繼續深化，教師在教學過程中出示了一道應用性問題：運動員在進行10米跳臺的跳水訓練時，將運動員的身體視為一個點，其在空中的運動過程可以表示為圖3當中過原點O的一條拋物線. 在對一個動作進行訓練時，要求運動員要跳躍到距離水面10米的高度，并在距離水池邊4米的位置入水，且必須在距離水面以上5米的位置完成所有空中動作，準備入水. （1）圖中拋物線的解析式是什么？（2）如果某運動員在一次訓練當中，整個運動過程是按照圖中的拋物線進行的，且完成全部空中動作時，距離水池邊的水平距離是3米，那么這次跳水是否能夠成功呢？請通過計算來證明你的結論. 在這個問題的分析過程當中，圖形的作用十分明顯. 雖然問題建立在運動員跳水這個實際活動背景下，但是，從中所抽象出來的二次函數圖像仍然是解題的關鍵. 只有將函數圖像讀懂了，并將其中所標出的數據翻譯對、運用好，才能順暢分析函數問題.

學好函數知識，對于很多初中學生來講都不是那么容易. 在大家看來，函數內容的抽象性很強，特別是在面對一些疑難復雜的問題時，很難從中迅速找到分析入口. 于是，教師啟發并引導學生采用數形結合的思想方法來處理函數問題，即使題目敘述再抽象，也要努力找出其與圖形之間的連接點. 有了圖形的輔助，原本晦澀的函數語言瞬間變得生動具體了. 在這樣的氛圍之下，學生們解答函數問題也就容易多了.

數形結合，解答統計問題

統計內容雖然算不上是初中數學當中的主體知識，卻在各類考試當中頻繁出現. 如果學生們在統計問題的解答當中出現錯誤，造成失分，是非常可惜的. 在統計知識內容的構成當中，圖形一直是必不可少的. 將統計思路與統計圖形相結合，既是統計知識學習的必然要求，也是準確分析統計問題的一條捷徑.

為了強化訓練學生們識讀統計圖的能力，教師為學生設計了這樣一道習題：某種報紙共有4個版面. 發行商為了掌握讀者們對于每個版面的滿意程度，特進行了一次廣泛的市場調查，請每位參與調查的讀者選出一個自己最為滿意的版面，并將收集到的數據匯總為下面的兩幅統計圖（如圖4）. （1）從下面的條形統計圖當中，你能夠得到什么信息？（2）你能夠依據條形統計圖中的信息，將扇形統計圖補充完全嗎？二者分別具有什么特點？（3）結合圖中所顯示的調查數據，請為該報紙的進一步完善提出一些建議. 這道統計問題已經把“數”和“形”聯系得非常緊密了. 無須教師做過多講解，學生們也已經深深感受到了數形結合思想的重要性.

從很大程度上來講，想要將統計知識學習到位，就是要學會如何讀懂統計圖. 無論是柱狀圖、餅狀圖，還是數據表格，其中都隱含著豐富的數量關系. 只有讀懂圖，找準足夠的信息，才能明確統計思路，順利解答問題. 因此，熟練掌握數形結合思想，對于統計知識學習的價值不言而喻.

總之，從思想方法的層面入手處理數學問題，不僅是一個具體的解題操作，更是對學生們的數學思維方式設定出了一種高效率的模式. 通過這樣的教學，學生們在面對一個具體的知識內容或是數學問題時，不再是將目光狹窄地局限于當前內容的解答當中，而是能夠站在更高的角度分析問題，并以規律性的方法對之進行分類，從而選擇有效的思想方法來處理. 數學知識是“數”與“形”的結合，以數形結合的思想方法來分析問題，顯然是最為直接和必要的途徑. 作為數學學習的基礎階段，在初中數學教學當中強調數形結合，并廣泛使用數形結合，無疑是為整個初中數學教學的高效推進開了一個好頭.