探一道中考題與模擬題的相似之處

謝賽琴

[摘 要] 中考數學命題者最擔心的是壓軸題出現雷同題. 本文通過分析浙江省衢州市2016年一道中考題與模擬題的相似之處，警示我們——命題者最擔心的事也有可能很巧合地發生，要增強防范意識.

[關鍵詞] 中考題；模擬題；相似；垂直四邊形

筆者在翻閱寧夏人民教育出版社2016年7月出版發行的《2016年浙江中考試卷匯編·中考卷+模擬卷·數學》時驚奇地發現，浙江省衢州市2016年數學中考試卷第23題（以下簡稱中考題）與衢州市菁才中學2016年數學中考模擬卷第23題（以下簡稱模擬題）有許多相似之處，故錄下以探討.

題目呈現

模擬題 定義：對角線互相垂直的凸四邊形叫作“垂直四邊形”.

（1）理解：如圖1，已知四邊形ABCD是“垂直四邊形”，對角線AC，BD交于點O，AC=8，BD=7，則四邊形ABCD的面積為______；

（2）探究：小明對“垂直四邊形”ABCD（如圖1）進行了深入探究，發現其一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和，即AB2+CD2=AD2+BC2. 你認為他的發現正確嗎？試說明理由.

（3）應用：①如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，動點P從點A出發，沿AB方向以每秒5個單位長度的速度向點B勻速運動，同時點Q從點C出發，沿CA方向以每秒6個單位長度的速度向點A勻速運動，運動時間為t秒（0

②如圖3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接EG，請直接寫出線段EG與BC之間的數量關系.

中考題 如圖4，我們把對角線互相垂直的四邊形叫作“垂直四邊形”.

（1）概念理解：如圖5，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，問：四邊形ABCD是垂直四邊形嗎？請說明理由.

（2）性質探究：試探索垂直四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數量關系，猜想結論（要求用文字語言敘述）并寫出證明過程（先畫出圖形，寫出已知、求證）.

（3）問題解決：如圖6，分別以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，連接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的長.

題目的相似之處

1. 題干部分

模擬題給出了“垂直四邊形”的定義，即對角線互相垂直的凸四邊形叫作“垂直四邊形”. 中考題給出的定義是：如圖4，我們把對角線互相垂直的四邊形叫作“垂直四邊形”. 中考題雖然沒有像模擬題那樣加上“凸四邊形”，但它加上了“如圖4”，已經明確是凸四邊形，所以可以說題干部分兩題完全相同.

2. 第（1）小題

對于第（1）小題，兩道題都是對新概念的簡單理解，所不同的是，模擬題是利用垂直四邊形的性質——對角線互相垂直，求四邊形的面積；中考題則是利用垂直平分線的判定證明四邊形ABCD的對角線互相垂直，從而得出四邊形ABCD是垂直四邊形.

3. 第（2）小題

兩題都是探究垂直四邊形的性質——垂直四邊形一組對邊的平方和等于另一組對邊的平方和. 所不同的是，模擬題是直接給出這一性質，要求學生證明；中考題則是讓學生先探索，然后猜想結論，最后寫出已知、求證和證明過程. 其求解的基本思路是相同的，但難易有所不同.

4. 第（3）小題

兩題都是“垂直四邊形”性質的應用. 模擬題多了①，其②與中考題都是以Rt△ACB的直角邊AC和斜邊AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE，這樣得到的圖3與圖6很相似. 不同的是，模擬題中的AB=3AC，中考題利用勾股數賦值AC=4，AB=5. 中考題連接了CE，BG，而模擬題沒有，故模擬題的EG與BC之間的數量關系更難求.

解法的相似之處

通過上述分析，我們發現兩題有很多相似之處，因而其解法也有許多相似之處.

第（1）小題略.

對于第（2）小題，兩道題的解法如下——

模擬題 （2）正確. 理由如下：因為四邊形ABCD是垂直四邊形，所以AC⊥BD. 所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

中考題 （2）猜想結論：垂直四邊形的兩組對邊的平方和相等.

已知：如圖7，在四邊形ABCD中，對角線AC⊥BD，垂足為O.

求證：AB2+CD2=AD2+BC2.

證明：因為AC⊥BD，所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

對于第（3）小題，模擬題①略. 模擬題②的解法隱藏得比較深，這里要上下聯系，要想到利用（2）中垂直四邊形的性質進行求解. 而圖3中找不到垂直四邊形，所以要去探索出隱藏的垂直四邊形，這就需要添加適當的輔助線. 結合以往的經驗和直覺，連接BG和CE覺得可能垂直，于是給以證明，再連接BE，CG，垂直四邊形就有了. 接著利用（2）中的性質，就可以求得EG與BC的關系. 下面給出求解方法——

模擬題 （3）②如圖8，連接BG，CE，BE，CG. 設CE與BG交于點M，與AB交于點N. 因為AB=3AC，設AC=a，則AB=3a. 因為∠ACB=90°，所以BC==2a. 在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，所以BE=3a，CG=a，∠BAG=∠CAE. 所以△AEC≌△ABG. 所以∠AEC=∠ABG. 又因為∠ANE=∠BNM，所以∠BME=∠BAE=90°. 所以EC⊥BG. 所以四邊形BCGE為垂直四邊形. 由（2）知BC2+EG2=BE2+CG2，即（2a）2+EG2=（3a）2+a2，因此EG2=12a2=BC2.

中考題 （3）如圖9，連接BE，CG，設CE與BG交于點M，AC與BG交于點N. 接下來證四邊形BCGE為垂直四邊形（與上述模擬題最后一小問②相同，此處不再贅述）. 由（2）知BC2+EG2=BE2+CG2，又因為BC2=52-42=9，BE2=52+52=50，CG2=42+42=32，所以9+EG2=50+32，因此EG2=73，EG=.

反思

中考數學命題權現在大部分省都下放到地級市，由此培養了一大批一線中考命題教師，通過這些教師的指導和帶動，初中教師整體的命題水平已得到提高. 但中考命題隊伍中也存在水平的高低，有些命題者有待進一步磨煉. 本例中的中考題與模擬題如此高度相似，與中考命題者所選題的思路單一和撞車風險意識不夠有關. 中考命題者可能查閱有關成題沒有發現類似題，但不知道他們閉門命題時，有同行編題并朝著中考命題者同一思路編出了高度雷同題（這可能連模擬題的編制者也難以置信）. 大家看到，本例定義對角線互相垂直的凸四邊形為垂直四邊形，這樣就易編出：新概念的簡單應用；性質探究，而這性質也是比較單一的，大家都易想到垂直有直角，想到用勾股定理構造題，于是就容易撞在一起；所編題怎樣應用，也集中指向上一小題得到的性質，這就要有垂直四邊形，也就是有兩線段互相垂直并可進一步求值，這些都有一定的指向性，于是又容易撞在一起. 模擬題和中考題第（3）小題的撞車嚴重影響了試卷的公平性. 通過本例，希望能給以后命題者在命題時有所警醒. 本文不妥之處，敬請各位同行和專家指出.