基于貝葉斯理論的小批量產品抽樣檢驗方法

張士軍，劉志國

（軍械工程學院基礎部，石家莊050003）

基于貝葉斯理論的小批量產品抽樣檢驗方法

張士軍，劉志國

（軍械工程學院基礎部，石家莊050003）

文章針對小批量產品抽樣檢驗存在的樣本量大、檢驗費用高等問題，研究了基于貝葉斯理論的抽樣檢驗方法，該方法充分利用質量的歷史信息，以費用最小為目標，在保證質量的前提下，盡可能減少所檢驗樣品的個數，降低檢驗的工作量和成本。

小批量；貝葉斯理論；抽樣檢驗

0 引言

統計抽樣檢驗是檢驗產品質量的一種十分重要的、經濟的手段，是質量管理和質量監督的重要組成部分和基本統計技術。統計抽樣檢驗是標準化程度很高的領域，迄今為止我國已發布了三十余個統計抽樣檢驗國家標準，這些標準在產品的檢驗驗收中得到了廣泛的應用。

隨著社會的發展和科技的進步，產品的檢驗驗收呈現出一些新的特點：產品的科技含量和價值越來越高，產品的結構越來越復雜，檢驗的費用和工作量大幅增加；與此同時，產品的批量卻往往很小。而多數現行的抽樣檢驗標準（如GB/2828）設計抽樣方案時是基于二項分布或泊松分布的，基本不適于小批量情形。即使是針對小批量的抽樣標準（如GB/T13264）也不適于批量過小的情形。而且，現行的抽樣檢驗標準設計抽樣方案時均沒有專門考慮費用的因素。因此，對于批量較小、檢驗費用較高的產品檢驗驗收，如果沿用現行的抽樣檢驗標準來設計抽樣方案，樣本量通常比較大，將耗費大量的人力、物力和財力，既不精確也不經濟。小批量產品的檢驗方法是目前迫切需要解決的一個理論問題，由于許多產品的檢驗費用和檢驗工作量很大，對于小批量產品如何在保證質量的前提下盡可能減少檢驗的樣本量，也是一個具有重要實用價值的實際問題。

針對小批量產品的檢驗，本文基于貝葉斯理論，充分利用質量的歷史信息，以費用最小為目標構建了優化模型，得到了貝葉斯抽樣方案，在保證質量的前提下，盡可能減少了檢驗所需的樣本量，降低了檢驗的工作量和成本。

1 貝葉斯抽樣方案統計原理

1.1 有關概念及假定

在產品檢驗中，可以采用三種方式：第一，不檢驗（免檢），直接接收產品；第二，全檢（百分之百檢驗），剔除產品中的不合格品，接收其余的合格品；第三，抽檢，利用統計抽樣理論設計的抽樣方案，從檢驗批中抽取部分產品進行檢驗，根據檢驗的結果決定產品的接收與否。在實際的抽檢中，如果按照抽樣方案的判別規則拒收了，那么需要對產品進行全檢后再接收。如何在這三種方式之間選擇，以使得費用最小，這就是貝葉斯抽樣檢驗所研究的問題。

為便于討論，先給出有關的概念和假定。

1.1.1出廠費用（A）

出廠費用是指由于不合格品出廠給企業帶來的各種費用。比如：維修或更換不合格品的費用、產品退貨帶來的損失、不合格品招致的賠款等。上述費用對于單個不合格品的平均值用符號A表示。

1.1.2全檢費用（R）

全檢費用是指對于非破壞性的檢驗，進行全檢的檢驗費用以及由于產品全檢對企業生產帶來的影響。比如：每個產品的檢驗費、復式費、檢驗導致的停工損失等。本文用符號R表示單個產品的平均全檢費用。

1.1.3抽檢費用（S）

抽檢費用是指對產品抽檢所帶來的費用。比如：檢驗設備費、工時費以及其他費用。本文用符號S表示單個被檢產品的平均抽檢費用。

在上述三種平均費用中，假定R＜A。因為若R＞A，企業就不必進行檢驗了，在通常情況下，這不符合實際。A,R,S可根據歷史資料統計得到，在以后的討論中，均假定為已知量。

1.1.4先驗信息

假定產品的不合格品率p（）0≤p≤1是一隨機變量，其概率密度函數為稱為先驗概率密度函數，反映了生產過程的質量水平的變化情況，f（）p可以通過企業的歷史數據資料得到。根據概率密度函數的定義，應滿足如下性質：

1.2 決策費用分析

下面對各種決策的總費用進行分析，為建立抽樣方案的數學模型奠定基礎。

設產品的批量為N，不合格品率為p，由于決策時，每批產品的不合格品率是不知道的，在這種情況下，通常是計算各種決策下的期望總費用。

根據上面給出的條件及假定：

期望出廠總費用：

期望全檢總費用：

對于抽檢的情形，設抽檢的樣本量為n（）n＜N,抽檢結果會有兩種情形：一是接收產品，從而可以出廠；二是拒收產品，這時需要對產品進行全數檢驗，然后才能出廠。第一種情形下的費用為：nS+（）N-n Ap；第二種情形下的費用為：nS+（）N-n R。設抽樣方案判定產品接收和拒收的概率分別為P(p)，Q(p)，可以得到：

期望抽檢總費用：

將上述三種決策下相應的費用進行比較分析如下：

首先，將全檢和不檢兩種情況進行比較。由式（1）和式（2）不難看出：就全檢和不檢兩種決策而言，當pˉ＞R/A時，由于Apˉ＞R，企業這時應進行全數檢驗。而如果pˉ＜R/A，由于Apˉ＜R，這時企業對產品可以免檢，直接出廠；這說明：R/A是企業選擇不檢和全檢的分界線，記。假定當p變化時，企業做出的決策都是正確的，在這種理想的狀態下，企業產品出廠造成的損失最小。此時企業的總費用為：

KM表明了在企業能夠正確地判斷產品的質量水平的情況下，至少還需要支出的費用。不難證明：＞KM。事實上，企業只根據值來制定策略是一定存在損失的，這個損失值就是，該值即是統計決策理論中的完全情報價值。

記：

則Km表示在理想的狀態下每個產品出廠的平均費用。

其次，將抽檢情形下的費用與其他情形的費用進行比較。

最終得到：

此外，當0≤p≤pr時，R-Ap＞0，故。而pr≤p≤1時，Ap-R≥0，從而（）N-n

根據以上分析，由于抽檢造成的損失以及抽檢錯判帶來的損失，導致在抽檢條件下期望總平均費用K總是大于理想狀態下的總費用KM,從而為優化K提供了空間。

1.3 貝葉斯抽樣方案的數學模型

設產品的批量為N，不合格品率為p，采用計數一次抽樣方案進行檢驗。抽樣方案的樣本量為n，接收數為Ac。根據上面的討論，期望抽檢總費用為：

不難看出：期望抽檢總費用K是樣本量n與接收數Ac的函數。通過前面的費用分析可知：K＞KM。因此，可以通過選擇n和Ac對K進行優化。這就要求我們設計一個抽樣方案，使其期望抽檢總費用K最小。這種抽樣方案依據了不合格品率的先驗分布，稱為貝葉斯抽樣方案。下面建立優化問題的數學模型。

為了對期望抽檢總費用K進行優化，考慮目標函數K的約束條件，設抽樣方案的樣本量為n，對于抽檢的n個產品，其相應的費用為nS；對于其余的（）N-n個產品，其相應的費用至少為。相比直接作出不抽檢的決策，企業采用抽檢所節約的費用不超過。由于采用抽樣檢驗的目的就是為了節約費用，應有，由此得到優化問題的約束條件為：

這樣，貝葉斯計數抽樣檢驗方案的優化模型可以表示為：

2 貝葉斯抽樣方案的制定

2.1 后驗期望的性質

為通過求解貝葉斯計數抽樣檢驗方案的數學模型制定抽樣方案，首先給出不合格品率p的后驗期望值的概念并討論其性質。

當不合格品率p一定時，在容量為n的樣本中出現x個不合格品的概率服從二項分布，這個概率密度可視為已知p時的條件概率密度，記為，從而：

由于產品不合格品率p的先驗概率密度為f（）p，因此，樣本中出現x個不合格品的邊際概率密度為：b（）x,n

產品不合格品率p關于后驗概率密度的期望稱為后驗期望，記為.即：

由以上三個性質，容易得到遞推的關系式：

2.2 模型求解

對目標函數K的表達式作變化，最后可以得到：

均為常量，因此，當Ac取上述值時，K也達到最小。

對于給定的N，在滿足優化模型約束條件的樣本量n中，進而驗證

是否成立，如果滿足上述兩個條件，對于這樣的N和n，即可按上述原則求得相應的Ac以及總平均費用K。在不同的樣本量n所求得的總平均費用中取最小者，即可得到優化問題的最小費用，而相應的樣本量n和接收數Ac即是總平均費用最小的貝葉斯計數抽檢方案。

3 應用案例

設某型產品作為某大型裝備的關鍵部件，其生產由外協制作加工，其質量對裝備的整體效果具有重要影響。其結構復雜、價格昂貴、檢驗費用高，但生產的批量較小，一般在100以內，是典型的小批量生產。如何在保證質量的前提下節約檢驗費用，一直是困擾檢驗部門的一個難題。

設該產品的批量N=100,有關費用指標為：S= 2000,R=1500,A=10000。通過對該產品歷史數據資料的統計分析，將其不合格率p的先驗分布取為β（）8,64。若抽取容量為n的樣本中出現x個不合格品的概率服從二項分布，不難得到p的后驗分布為β(7+x,n+x+63)。

其后驗期望：

將上述數據代入1.3中的優化模型，利用后驗期望的性質可以得到貝葉斯抽樣方案為：樣本量n=8，接收數Ac=4，最小費用為15400元。而在同樣條件下的期望出廠費用為111111元，期望全檢費用為150000元?？梢?，采用貝葉斯方案能夠大幅節儉費用。

4 結論

對于批量較小、費用高昂的產品檢驗問題，本文研究了基于先驗信息的貝葉斯抽樣檢驗方法，該方法充分利用產品質量的歷史資料，以尋找最小期望總平均費用為目標。與目前常見的抽檢方案相比，貝葉斯計數抽樣抽檢方案具有減少抽檢量以及使期望總平均費用支出最少的優點，具有廣泛的推廣應用價值。在實際使用過程中，要結合產品的特點和企業的情況，充分發揮貝葉斯計數抽樣抽檢方案的優勢，積極使用貝葉斯計數抽樣抽檢的方法。

[1]馬毅林等.產品質量抽樣檢驗[M].北京：中國標準出版社，1998.

[2]白先光，張春曉等.小批量產品抽樣檢驗方法的運用[J].中國質量，2012,(1).

（責任編輯/亦民）

Sampling Inspection Method for Small-Batch Products Based on Bayesian Theory

Zhang Shijun,Liu Zhiguo
(Department of Fundamental Courses,Ordnance Engineering College PLA,Shijiazhuang 050003,China）

Aiming at such problems as vast samples and high cost in sampling inspection for small amount of products,this paper studies the sampling inspection method based on Bayesian theory.With the minimum cost as its aim,the method makes full use of the historical information about quality,and with quality guarantee as the precondition,reduces the number of the inspected items as well as the workload and cost of inspection as much as possible.

small batch;Bayesian theory;sampling inspection

F212

A

1002-6487（2017）11-0024-03

張士軍（1968—），男，河北新樂人，博士，副教授，研究方向：統計抽樣檢驗。劉志國（1984—），男，黑龍江哈爾濱人，碩士研究生，研究方向：軍事運籌學。