小題大做 變換思路 拓展思維
——以一道中考模考“中檔”題為例

□劉 莎

（寧波市海曙區鄞江鎮中學，浙江寧波 315151）

小題大做 變換思路 拓展思維
——以一道中考模考“中檔”題為例

□劉 莎

（寧波市海曙區鄞江鎮中學，浙江寧波 315151）

對中考常見的關于反比例函數“中檔”選擇題進行小題大做，多視角審視，探究多種解決此類問題的思路，可以拓展學生的數學思維.

反比例函數；一題多解；變換思路

以平時學生常見的不起眼的小題著眼，變換多種解題思路，引領學生深入探討，最后得出此類問題的若干處理方法，以到達培養學生分析問題、創新解決問題的目的.本文就以2016年中考模考中出現的一道關于反比例函數的“中檔”選擇題為例，呈現小題大做，變換解題思路，拓展學生思維.

一、原題呈現

例題（2016年浙江省寧波市中考模擬試題）如圖1，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A，B分別在函數和的圖象上，AB與y軸交于點C，且OC平分∠AOB，若，則k的值是（）

圖1

這道選擇題以反比例函數的概念和角平分線的性質為載體，不但可以考查學生的基礎知識、基本技能和基本解題經驗，而且還能夠培養學生的思維品質和探究能力.

二、解法探究

思路1——著眼于選擇題的試驗篩選法

對于單項選擇題，可以投“機”取“巧”，通過特殊情形的檢驗，就可以篩選出正確的答案，發揮由特殊鑒別一般的檢測功能.

圖2

解法1如圖2，針對這道選擇題，不妨在函數的圖象上取點，由于 y軸平分∠AOB，則在函數的圖象上可以把點B的坐標設為(m,m)，其中m＞0，則

則m=3，則k=m2=9，故可選（B）.

解法2不妨在函數的圖象上取點，由于y軸平分∠AOB，則在函數的圖象上可設A(-n,n)，其中n＞0，則解得n

則k=9，故可選（B）.

點評在解法1、解法2中，在兩個函數的圖象上所取的特殊點是它們與直線y=x或直線y=-x的交點，這使得運算最簡單.

思路2——代入動點的參數坐標

假如這道題不是選擇題，而是填空題或解答題的局部環節，那么就要探究一般性解法，這里考慮兩個伴隨動點 A和B的參數坐標.

解法3在函數的圖象上任意取點，其中a＞0，由于y軸平分∠AOB，則在函數的圖象上可以把點B的坐標設為，其中a，m＞0，則，則k=3m2.

則k=3m2=9，故選（B）.

……（以下類似于解法3）.

解法5根據，設 ||OA=r，，根據y軸平分∠AOB，設∠AOC=∠BOC=? ，則 兩 點 A(-rsin?,rcos?)、，代入函數式可得

相除得k=9，故選（B）.

點評對動點進行審題的視角不同，就會牽引著不同思考側重點，于是可以靈活引入不同的參數表示動點的縱橫坐標，從而圓滿解決問題.

思路3——利用面積和相似比

解法6如圖3，作AF⊥y軸于F點，則作BG ⊥y軸于G點，同理得

圖3

由于∠AOF=∠BOG，

則Rt△AFO～Rt△BGO

所以k=3m2=9，故選（B）.

點評 琢磨解法6的相似比觀點，啟示著我們猜想并驗證出新結論“任意兩個反比例函數的圖象必然相似或全等”.

思路4——利用軸對稱圖形

基于角平分線的題設條件，可以著眼于圖形的對稱性來尋找解法.

解法7如圖4，考慮到y軸是∠AOB的角平分線，不妨沿著y軸將∠AOB折疊，就使函數圖 象上的動點A正好對稱翻折成OB上的點（記為 A′），則伴隨動點 A′在函數圖象上.

圖4

設兩點 A′，B在正比例函數 y=mx（m＞0）的圖象上，分別通過解方程組得到

則m=9，故選（B）.

解法8提示：根據y軸是∠AOB的角平分線，可設直線OA，OB分別是正比例函數y=-mx，y=mx的圖象……（以下類似于解法8）.

點評 解法7、解法8用兩種不同方式構圖，可以把題意的原始示意圖轉化成熟悉的幾何基本圖形，從而機智、從容地解決問題.

三、回顧升華

進一步思索上述問題的條件、結論和解題過程，還可以引導學生感悟到兩個新結論——

結論1設k1?k2＞0，若點A是過原點的直線l與反比例函數的圖象的交點，點B是直線l與反比例函數的圖象的交點，則

結論2設k1?k2＜0，已知過原點的兩直線l1，l2，點A是直線l1與反比例函數的圖象的交點，點B是直線l2與反比例函數的圖象的交點，若直線l1,l2關于y軸對稱（或l1⊥l2），則

對于“中檔”題的一題多解探究，有利于學生深刻理解數學的基本知識和基本思想，對于更為復雜的所謂難題，也會漸漸地有所提高.小處做“文章”，多角度、多視角拓寬學生的解題視野，從而提高學生的綜合思維能力.