數學素養的測量及評價

王婭婷，毛秀珍

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數學素養的測量及評價

王婭婷1，毛秀珍2

（1．四川師范大學教師教育與心理學院，四川成都 610068；2．四川師范大學教育科學學院，四川成都 610068）

近年來，數學素養的探討已經成為數學教育研究中的熱點．圍繞學生數學素養，探討數學素養的測量與評價方法．首先梳理了國、內外數學素養的概念與構成要素，然后對數學素養的測量工具和數據分析方法進行詳細的介紹和評述，最后面向未來對數學素養的發展提出一些思考．

數學素養；測量；數據分析

核心素養是當前教育領域的熱詞．強化學生的核心素養已成為未來基礎教育的頂層理念[1]．《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020年）》將樹立科學的質量觀，促進人的全面發展、適應社會需要作為衡量教育質量的根本標準[2]．之后2014年教育部印發的《關于全面深化課程改革，落實立德樹人根本任務的意見》中，首次提出了“核心素養體系”的概念，明確強調了核心素養開始成為新一輪課程改革深化的方向，同時也界定關鍵能力和必備品格是構建終身學習，全面可持續發展的根基[3]．2016年9月13日，《中國學生發展核心素養》總體框架正式發布，在教育界引起巨大反響．

學生核心素養的培養分解在不同學科素養之中，需要通過不同的課程共同實現（辛濤，2016）[4]．數學作為人類文化的重要組成部分，已深刻滲透在生活的方方面面．數學的發展不單可以提高國民數學知識、能力水平以及解決實際問題的能力，還極大地推動了科學技術的進步．高中數學課程標準明確將數學核心素養定義為：學生應具備的能夠適應終身發展和社會發展需要的、與數學有關的關鍵能力和思維品質．著名學者余文森（2016）指出：“通過厘清數學學科核心素養，清晰地界定和描述數學學科對人發展的價值和意義，體現數學學科對學生成長的獨特貢獻，從而使數學教育真正回到服務于人的發展的方向和軌道上來．”[5]

目前國內外有關學生數學素養的研究主要集中在4個方面：（1）數學素養內涵及構成要素的界定；（2）數學素養的測量與評價；（3）數學素養的現狀及影響因素；（4）數學素養的生成和培養機制．這里將從數學素養的內涵和構成要素，以及測量工具和數據分析方法這幾個方面的相關研究做出詳細的介紹和評述，最后基于數學素養測評方法的發展提出一些思考．

1 數學素養的內涵及構成要素

“數學素養”概念的界定是最基本和核心的研究內容，對實現數學教育目標具有重要指導意義．中國學者已經對國內外數學素養的內涵和構成要素進行了深入的研究，康世剛（2009）指出20世紀70年代末以前，中國并沒有明確地提出“數學素養”的名詞，只是討論與數學素養有關的教學問題；20世紀70年代末到1983年，都是隨意地使用數學素養，也沒有給予明確定義；自1983年以后，才開始將數學素養作為一個研究對象，討論其涵義[6]．劉喆（2011）梳理了西方數學教育中數學素養概念的發展歷程，將其歸納為3個發展階段：20世紀60—80年代中后期是數學素養提出的早期階段；80年代末期至90年代末期是數學素養的內涵不斷拓展與豐富階段；21世紀之后，數學素養的定義逐漸明晰、內涵走向綜合，并指出“內容、過程和背景”是揭示數學素養內涵的3個主要部分[7]；之后胡典順（2010）[8]和何小亞（2015）[9]也總結歸納了國內、外數學素養的緣起，發展和內涵演變歷程．

通過對有關數學素養內涵的研究的梳理，歸納形成了3種主要觀點：第一種看法從“素質”的角度入手：張奠宙教授（1994）提出：“數學素質包括知識觀念、創造能力、思維品質和科學語言4個層面”[10]；王子興（2002）將數學素養界定為數學科學方面的素質[11]；第二種觀點將數學素養作為“能力”的綜合，如束仁武（1997）提出數學素養是指運算能力、發展邏輯能力和空間觀念，辨別、猜想能力等各種數學能力[12]，而劉俊先（2009）[13]和于鳳艷（2010）[14]都強調了學生能夠在日常生活中能夠靈活地運用數學知識、基本技能和思想來解決實際問題的能力；最后一種觀點也是目前最主流的看法，認為數學素養是動態發展的，是一個集合了數學的知識、能力和情感態度價值觀的概念．馬云鵬（2015）將數學核心素養概括為學生學習數學應當達成的有特定意義的綜合性能力，其基于數學知識技能，又高于具體的數學知識技能，具有綜合性、階段性和持久性[15]；何小亞[9]和桂德懷、徐斌艷[16]也均概括性地指出數學素養是數學知識、能力和情感態度價值觀的綜合體．喻平教授通過實證研究，采用大樣本問卷分析得到數學核心素養的兩種結構，除數學抽象、運算能力、推理能力、數學建模、數據處理、空間能力、問題解決等能力外，還把數學文化品格這一要素納入其中[17]．

2 數學素養的測量

厘清“數學素養”概念和構成要素是表征和刻畫“數學素養”水平的基礎．而“數學素養”的測量則是獲取“數學素養”水平的手段和方法．下面將對目前研究中測量“數學素養”的工具和法則進行詳細的介紹和評價．

2.1 國外對數學素養的測量方法

國際上有重要影響的測驗有以下幾種：國際學生評估項目（Program for International Student Assessment，PISA）[18]、國際數學和科學教育成就趨勢研究（The Trends in International Mathematics and Science Study，TIMSS）[19]和美國全國教育進步評價（National Assessment of Education Progress，NAEP）[20]．這里對這3種測評項目進行了比較，具體見表1．

表1 “PISA”“TIMSS”和“NAEP”的比較

綜合上述3種學業質量評價項目，可以發現它們在工具編制、測試內容、評價方式等方面都具有一定的相似性．首先，這些測評項目不但注重學生對于知識的掌握情況，還關注學生認知能力的發展；第二，評價工具除紙筆測驗外，同時均加入了學生的背景問卷，不僅關注學生個體自身，還會從家庭、學校、社會等多方面進行考評，探索影響學生數學素養的因素；第三，這些測試框架形成時間悠久，發展比較成熟，考查題型類似；第四，測驗信息的反饋也不拘泥于一個簡單的分數，而是按照等級的方式，能夠更好地用來指導學校教學工作的開展；最后，它們均運用了現代心理測量學理論指導試卷的編制和分析．但是3者也有一定的差異，比如TIMSS和NAEP注重對具體知識，概念和技能掌握程度的測評，但是PISA在題目設置上則對情境問題的依賴性較高，大部分題目都在考察學生能否在具體情境條件下運用自身的知識和能力來解決問題．這都是值得中國在課程設置與學業評價如測驗編制、成績反饋時借鑒和運用的有益經驗．

此外，許多國家都建立和完善了本國的基礎學業測評體系，如英國自1988年起對7、11、14和16歲學生國家課程各科目情況進行評定；澳大利亞從2008年推出全國性的評價項目（National Assessment Program，簡稱NAP），由聯邦政府批準設立并劃撥專款，對中小學3、5、7和9年級的各學科情況進行全面測評[21]．還有日本近年出現的《日本中小學生數學學力測驗》和法國教育部評估司主辦的《法國全國中小學診斷測驗性數學評價》也可運用于“數學素養”的測量和評價[22]．

2.2 國內對數學素養的測量方法

為順應全球教育改革的發展趨勢與要求，中國基礎教育也開始從“知識核心”逐步邁向“素養本位”時代．2015年，中國宣布實施國家義務教育質量監測體系，每3年為一個監測周期，每年監測兩個領域，測試內容包括了義務教育階段語文、數學、科學、體育、藝術、德育等領域中對閱讀、寫作、問題解決、科學探究、運動與健康、審美等相關素養的測評，被稱為“中國特色的PISA”[23]．

目前，中國學者也積極開展對學生數學素養測評方式的探索，一類是學者直接采用國際上已有的數學素養測評系統對中國學生進行施測，文獻[24~26]都采用了公開的PISA試卷和問卷調查學生的數學素養水平；另一類積極構建中國本土化的面向不同群體（如中小學生、高中生和數學師范生）的數學素養評價工具，基本思路都先將“數學素養”定義為可測量的維度，再圍繞測評維度編制測驗工具，最后對測驗數據進行分析[27~30]．

為增強國家的競爭力，提高人才質量，中國亟需建立一套符合中國國情，完整、系統的測量框架，不但能充分了解學生的知識掌握情況、能力水平高低，并且還可以為教育實踐活動和國家課程改革提供很多有利的建議．但中國大部分研究都直接采納和編譯國外測量工具，自編測量工具較少．很顯然，國外現有測評工具由于文化差異、教育理念的不同以及課程重點等因素會導致直接編譯的工具不能很好地反映中國實情，因此借鑒國內外技術和方法，編制一套符合中國實情、科學可靠的數學素養測評體系刻不容緩．

3 數學素養的數據分析理論與方法

從收集到的數學素養數據分析方法來看，目前大部分有關“數學素養”的研究都采用了經典測量理論進行數據分析和報告，也有部分研究運用了項目反應理論挖掘數據信息．下面將對各種數據分析方法進行評述．

3.1 經典測量理論下數學素養的分析

1968年洛德和諾維克提出經典測驗理論（Classical Test Theory，CTT），即經典的真分數理論，將測驗觀察分數表示為真分數和誤差分數之和．經典測量理論是標準化考試的理論支柱，其突出的優點是：理論和方法體系相對完整，前提假設比較弱，很容易為實際考試工作所滿足；所涉及到的數學模型及參數的概念和估計方法容易被人理解和掌握；所提倡的標準化技術在控制測量誤差等方面具有明顯的效果（楊志明、張雷，2003）[31]．

目前傳統測量理論已廣泛應用到學生數學素養的分析中，主要包括兩個方面的內容：項目特征（項目難度和區分度）和測驗質量（測驗的信、效度）．當前對“數學素養”試卷的項目分析，并得到了較好的測驗信效度[32]．同時也有研究基于CTT理論分析學生個體在數學素養水平的差異，如針對不同性別以及不同民族學生的差異分析[24，26，30]．

盡管CTT簡單易用，但是這也不可避免其在數據分析和報告方面的不足．例如，項目難度、區分度、信度和效度完全依賴于接受測驗的被試樣本能力．假如被試的水平越高（低），則項目的難度越小（大），區分度也會越低；同時被試樣本組的能力分布又依賴于項目的難度，當項目的難度都很高（低），被試得分分布越集中，這樣就會在一定程度上降低被試能力的估計準確性．因此，隨著現代測量理論和計算機技術的迅速發展，研究者們開始運用新的理論方法進行數據分析和報告．

3.2 項目反應理論下數學素養的分析

美國測量學家F. Lord于1952年提出的項目反應理論（Item Response Theory，IRT）是在克服CTT局限性的基礎上發展而來．它通過被試的潛在特質來預測和解釋對項目和測驗的反應行為，關注被試在某一任務領域的整體精熟程度[33]．IRT建立了包括測驗項目參數，被試能力以及被試正確作答概率的數學函數，通過輸入被試的作答反應，輸出得到項目參數和被試的能力水平．常用軟件有IRTPRO、Parscale、BILOG、Conqest等．

不同于CTT只報告測驗分數，項目反應理論一方面能夠對試題進行深入細致的分析，可以通過試題的特征曲線和信息量分析，測驗目的以測量學的標準定義到測驗目標信息函數上，從圖形和數據的角度直接反映是否達到測驗的目標，保證了測驗的精度．測驗目標信息曲線中兩個重要的概念：項目信息曲線和測驗信息曲線，首先項目信息曲線是關于項目信息函數的曲線，其大小由項目參數和被試特質水平決定，項目提供的信息量越大，表明這個項目在評價此被試特質水平時越有價值[34]；其次測驗信息曲線是由項目信息曲線疊加而成，也即所有項目信息函數的累加和，它反映了整個測驗在評價不同被試特質水平時的信息貢獻關系，測驗提供的信息量越大，測量標準誤就越小，則該測驗在評價該被試特質水平時越精確[35]．

另一方面，同時通過項目反應理論可以獲得試題的參數，包括難度、區分度和被試的能力參數．由于IRT假設項目參數估計獨立于被試樣本，不依賴于被試群體的能力的分布．換句話而言，不需擔心因被試群體的改變，導致項目的難度會有變化．另外，IRT可以通過模型估計被試的能力水平，并估計測量誤差，充分提高了測驗的信度．因此進一步確定什么能力水平的考生能對試題做出正確的應答，對哪些考生具有良好的區分能力，試題的質量是否良好．

當前IRT越來越廣泛深入到測評領域，其優勢也日益得到認識．國際上大型測評項目都運用IRT分析和報告測量數據．例如，OECD在公布PISA測驗的數據結果時，均會采用IRT統計學生得分并設計了6個能力水平，水平由低到高，每個水平都規定了具體能達到的要求．國內，采用IRT理論和技術分析數學素養的測評報告已不再新鮮．例如，盧光輝（2007）運用三參邏輯斯蒂克模型分析數學素養調查試卷的項目，采用BILOG對項目和被試群體的參數進行估計[24]．

可見，IRT分析的結果提供的信息量遠遠大于CTT的原始分數報告，其測量也更符合實際情況．依據IRT理論不僅可以指導測驗編制，提高測驗本身的信、效度質量，還能充分利用項目信息，更加準確地估計被試能力．

3.3 多維項目反應理論下數學素養的分析

隨著項目反應理論在實際測驗中的廣泛應用，人們逐漸發現很少有測驗只測量單一維度或特質水平[36]．多維項目反應理論（Multidimensional Item Response Theory，MIRT）正是基于IRT單維性假設的限制應運而生．MIRT引入多維能力、多維項目區分度以及多個步驟難度參數模擬測驗項目和被試間的相互作用，采用概率模型來表征具有特定多維能力水平的被試正確答對特定項目的概率（Reckase，2009）[37]．它實現了同時估計被試多個能力維度的值，可以深入分析被試在測驗每個維度上的表現，進而實現認知診斷功能（Zhang & Stone，2008）[38]．可以預見到MIRT的應用順應了從2001年美國法案“No Child Left Behind”（NCLB）到2011“Race to the top”早期學習挑戰經費的設立，再到中國《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010—2020）年》對教育認知診斷功能的要求，是今后研究與實踐發展的趨勢．

MIRT是基于因子分析和IRT的雙重背景下發展起來的新型測驗理論，關注被試在測驗多個領域的能力水平．例如，Yao和Schwarz（2006）運用多維項目反應理論分析了五年級學生寫作測驗的二維結構和項目特征[39]；涂冬波、蔡艷、戴海琦和丁樹良（2011）運用MIRT證實瑞文高級推理測驗數據滿足多維性結構[40]；張軍（2011）運用MIRT分析了中國漢語水平考試（HSK）中閱讀部分的潛在多維度結構[41]．因此，IRT在實際測驗中不總是適用的，對許多測驗如認知診斷測驗、公務員考試、表現性評估、寫作測驗等，MIRT都更適于分析測驗和被試特征（van der Linden & Hambleton，1997）[42]．目前對于數學素養的測驗還沒有應用多維項目反應理論進行診斷，但可以預見到多維項目反應理論具有廣泛的應用前景，也更為適用于分析“數學素養”這類多維特質型測驗．

3 小結與展望

當前，學生數學素養的測評已經成為各國測驗的研究熱點和教育者關注的重點．國際測評發展歷史悠久，并且形成比較完善的測評體系，在許多國家得到應用和推廣．但是，也要關注到各國都還缺乏一套適合于本國各個學段，具備統一、完整結構的數學素養測評體系．

中國沒有真正意義實現全面系統地測量學生數學素養：目前要么直接采用現有國際測評項目，經驗證這些測驗對中國學生施測時得到較好的信效度．由于項目特定評價對象的要求，在中國實行只能是對等同年級的學生．再加上國際評價側重點與中國教學實際仍有一定的差距，如中國課程設置上更加關注知識和技能方面的培養，測評維度也有差異，若直接照搬忽視了中國的本土化特點；要么自編的數學素養測評工具，其優勢在于能夠對于不同年齡階段學生、具體數學領域進行測評．但目前對數學素養在概念界定和維度劃分上差異很大，具體采取測評的形式不一．在這種背景下，中國有必要汲取國際測驗的新思路和理念，結合中國實際國情，構建中國學生數學素養測評的框架體系和數學素養評價系統．因此借鑒國內外工具和方法編制一套符合中國實情，科學、可靠的數學素養測評體系刻不容緩．

另外，關于數學素養的大部分研究以經典測量理論為依據對學生數學素養進行測量和評價，隨著測量理論和計算機技術的發展，經典測量的缺陷也日益突出：對不同的被試進行施測，得到測驗分析結果會有很大差異，導致測驗項目的難度、區分度以及信效度都會有差異．因此，采用新的測量理論除了能克服CTT的缺陷外，在指導測量工具的編制和提高測量數據分析準確性上都具有明顯的優勢．同時，現代測量理論基于數學模型的方法分析數據，提高了學生能力水平的估計精度．最后，采用多維項目反應理論可以同時獲得學生在多個維度上的能力水平，較以前的測驗總分的報告更準確和詳細，除了能更加準確地獲得測量結果，還可以更加明確項目更適合哪種能力水平的考生作答，能更好地組織試卷，提高測驗的質量．因此，在未來的研究中學者可以嘗試利用MIRT對學生數學素養進行分析．

作為學生所必備的素養之一，數學素養決定了義務教育階段的數學教育必須面向全體學生，為每一位學生的終身發展奠定基礎．因此在數學素養的測量和評價上，必須積極創新、與時俱進，形成具有中國特色的數學素養測評體系，并借助現代測量技術，為現代數學教育提供指導和方向．

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[責任編校：周學智]

Measurement and Analysis of Students’ Mathematical Literacy

WANG Ya-ting1, MAO Xiu-zhen2

(1. College of Teacher Education and Psychology,Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610068, China;2. College of Education, Sichuan Normal University, Sichuan Chengdu 610068, China)

In recent years, the research of mathematical literacy has become a hot spot in the research of mathematics education. So this paper focus on the students mathematical literacy to explore its measurement and evaluation methods. First, carding the concept of national and international mathematical literacy and elements, Then introduced and reviewed the measurement methods of mathematical literacy in detail , Finally based on the development of the mathematical literacy put forward some reflection.

mathematical literacy; measurement; data analysis

G40-03

A

1004–9894（2017）03–0073–05

2017–01–20

國家自然科學基金青年項目——多維計算機化自適應測驗的研究與應用（31400897）

王婭婷（1992—），女，山西晉中人，碩士研究生，主要從事教育與心理測量、評價研究．毛秀珍為本文通訊作者．