大學(xué)數(shù)學(xué)先修課與優(yōu)秀高中學(xué)生的發(fā)展

王尚志，胡鳳娟

?

大學(xué)數(shù)學(xué)先修課與優(yōu)秀高中學(xué)生的發(fā)展

王尚志1，胡鳳娟2

（1．首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，北京 100048；2．首都師范大學(xué)教師教育學(xué)院，北京 100048）

優(yōu)秀高中生展示才能或進(jìn)入高等院校的途徑由單一到多元；分析大學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要地位：大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類與簡(jiǎn)介、工科類專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容基本要求、典型專業(yè)的數(shù)學(xué)課程介紹、中國人民大學(xué)幾個(gè)文科專業(yè)數(shù)學(xué)課程介紹；認(rèn)識(shí)到整體性、應(yīng)用性、文化性、自主性是高中優(yōu)秀學(xué)生可以嘗試實(shí)現(xiàn)的；CAPM進(jìn)入高中數(shù)學(xué)選修Ⅱ課程，使得“數(shù)學(xué)必修+選修1+大學(xué)先修：微積分（或解析幾何與線性代數(shù)，或概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）”成為的一體化課程方案；CAPM成為優(yōu)秀高中生展示數(shù)學(xué)才能的一個(gè)重要途徑．

大學(xué)數(shù)學(xué)先修課程；大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類；優(yōu)秀高中生

1 優(yōu)秀高中學(xué)生發(fā)展途徑——從單一到多元

建國以來，中國優(yōu)秀高中學(xué)生發(fā)展途徑經(jīng)歷了從單一到多元的過程．

1.1 單一階段

1949—1966年，中國優(yōu)秀高中學(xué)生展示才華的主要途徑是普通高校入學(xué)考試．

1.2 多元階段

1.2.1 高 考

1977年中國恢復(fù)了高考招生制度，經(jīng)過多年來改進(jìn)、完善，高考依然是中國人才選拔最主要的途徑．

1.2.2 數(shù)學(xué)競(jìng)賽

1956年，在著名數(shù)學(xué)家華羅庚等一批數(shù)學(xué)家倡導(dǎo)下，仿蘇聯(lián)模式，北京、天津、上海和武漢舉辦了國內(nèi)第一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽．國外認(rèn)可的世界上最早的有組織的數(shù)學(xué)競(jìng)賽起源于匈牙利，1894年匈牙利在中學(xué)舉辦數(shù)學(xué)競(jìng)賽[1]．1934年，蘇聯(lián)提出“數(shù)學(xué)奧林匹克”的概念，并組織了圣彼得堡地區(qū)的中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽．1934年蘇聯(lián)舉辦莫斯科的中學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽．1961年開始舉辦全蘇中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽．1938年美國開始舉辦低年級(jí)大學(xué)生的普特南數(shù)學(xué)競(jìng)賽．1972年為準(zhǔn)備國際數(shù)學(xué)奧林匹克開始舉辦美國數(shù)學(xué)奧林匹克．1959年，在羅馬尼亞舉辦第一屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克（IMO）．舉辦IMO的目的有三：（1）發(fā)掘和鼓勵(lì)各國中學(xué)生的數(shù)學(xué)天才；（2）促進(jìn)各國師生的國際交往并加強(qiáng)友誼；（3）交流各國數(shù)學(xué)教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)與資料．迄今為止，為準(zhǔn)備國際數(shù)學(xué)奧林匹克，很多國家和地區(qū)都開展數(shù)學(xué)競(jìng)賽．1985年，中國第一次派選手以非正式選手的身份參加IMO．1986年開始舉辦每年一屆的全國中學(xué)生數(shù)學(xué)冬令營，選拔參加IMO的國家隊(duì)成員．并于當(dāng)年第一次正式參加IMO．從數(shù)學(xué)競(jìng)賽開始，陸續(xù)開展了其它學(xué)科競(jìng)賽，如物理競(jìng)賽、化學(xué)競(jìng)賽等，現(xiàn)在還開展了信息技術(shù)奧林匹克競(jìng)賽．學(xué)科競(jìng)賽已經(jīng)成為優(yōu)秀學(xué)生發(fā)展的渠道．

1.2.3 數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽

1985年，美國開始舉行每年一度的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽MCM（1987年前的全稱是Mathematical Competition in Modeling，1988年改全稱為Mathematical Contest in Modeling）[2]．這項(xiàng)競(jìng)賽受到美國廣大師生的一致歡迎，并在世界范圍內(nèi)產(chǎn)生了強(qiáng)烈的反響，許多國家的大學(xué)都紛紛組隊(duì)參賽．1989年在葉其孝教授等多位長期從事數(shù)學(xué)建模研究的大學(xué)教師的組織和推動(dòng)下，中國幾所大學(xué)的學(xué)生開始參加美國的競(jìng)賽，而且積極性越來越高，近年來中國的參賽隊(duì)數(shù)已占到MCM參賽隊(duì)的近三分之一，并取得了優(yōu)異的成績(jī)．中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（CSIAM）于l992年開始舉辦全國性的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽（China Undergraduate Mathematical Contest in Modelin9，縮寫為CUMCM），有10個(gè)省市，74所院校314個(gè)隊(duì)參加[3]．1994年，教育部將全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽列為4項(xiàng)大學(xué)生課外科技活動(dòng)之一后，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽得到了各級(jí)教學(xué)行政領(lǐng)導(dǎo)、廣大師生和企業(yè)界的熱烈響應(yīng)和支持．至今已成為影響最大的數(shù)學(xué)活動(dòng)．有很多中學(xué)的中學(xué)生組隊(duì)參加中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，并取得了很好的成績(jī)．美國科學(xué)院國家研究委員會(huì)在1989年發(fā)表的調(diào)查報(bào)告《關(guān)于未來數(shù)學(xué)教育的報(bào)告》中把數(shù)學(xué)建模進(jìn)入中學(xué)列為數(shù)學(xué)教育改革最急需的項(xiàng)目．上海市1991年，組織了“金橋杯”中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽（也稱為“中學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽”）．北京在1994年組織了第一屆“方正杯”中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽，有兩千多人參加競(jìng)賽．從1997年開始，北京數(shù)學(xué)會(huì)等5家單位組織，把“高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽”作為正式的科普活動(dòng)，定期開展，到現(xiàn)在已經(jīng)舉辦了20屆，參加的學(xué)生已經(jīng)包括了江蘇、四川等多個(gè)省份[4]．“高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽”包括預(yù)賽、論文評(píng)選、決賽3個(gè)環(huán)節(jié)．預(yù)賽設(shè)置6~7道題目，其中近一半是開放性問題（學(xué)生在家中兩天時(shí)間獨(dú)立完成）．參加決賽的同學(xué)需要完成一篇解決實(shí)際問題的論文，論文的問題以自選為主，也可參考組委會(huì)提供的問題；論文提倡2~3人合作完成，也可以獨(dú)立完成．組委會(huì)經(jīng)過篩選，挑出25%的論文參加答辯，評(píng)選出一、二、三等獎(jiǎng)，不定期出版論文集．決賽是封閉考試（5~6道應(yīng)用問題），根據(jù)分?jǐn)?shù)，參看預(yù)賽成績(jī)，評(píng)獎(jiǎng)．公開頒獎(jiǎng)，全國人大副委員長、前北京大學(xué)校長、著名數(shù)學(xué)家丁石孫教授和一批中國科學(xué)院院士參加第一次頒獎(jiǎng)活動(dòng)．

2014年在美國波士頓，由美國數(shù)學(xué)與應(yīng)用聯(lián)合會(huì)（COMAP）和中國香港儒蓮教科文機(jī)構(gòu)（NeoUnion）創(chuàng)辦了“國際數(shù)學(xué)建模挑戰(zhàn)賽”（IMMC），這是面向全球中學(xué)生的一項(xiàng)新型數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽，目前，已經(jīng)有很多學(xué)校參加這一活動(dòng)．在以后文章中，會(huì)詳細(xì)介紹數(shù)學(xué)建模的推進(jìn)情況．

數(shù)學(xué)建模已經(jīng)進(jìn)入了中國“高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”，它一定會(huì)成為優(yōu)秀學(xué)生展示才華的重要渠道．從數(shù)學(xué)開始，逐漸拓展為綜合實(shí)踐活動(dòng)——包括社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，例如，北京實(shí)施的“翱翔計(jì)劃”，由中國科協(xié)舉辦的“創(chuàng)新大賽”都是這樣的活動(dòng)．

1.2.4 大學(xué)先修課程

大學(xué)先修課程（Advanced Placement，簡(jiǎn)寫為“AP”）為優(yōu)秀學(xué)生開辟的另一條展示才華的渠道．在前面鐘秉林會(huì)長，侯自新校長，史寧中校長的文章中做了介紹．

從國際趨勢(shì)看，這4條重要渠道都是優(yōu)秀學(xué)生展示才華的舞臺(tái)——國家高等學(xué)校入學(xué)考試（高考），大學(xué)先修課程的學(xué)習(xí)和考試，社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)和科技實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，包括數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)和學(xué)科競(jìng)賽，包括數(shù)學(xué)競(jìng)賽．

2 大學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要地位

對(duì)優(yōu)秀的中學(xué)生特別是對(duì)數(shù)學(xué)感興趣的學(xué)生，應(yīng)該了解數(shù)學(xué)在自己未來發(fā)展中的作用，當(dāng)然，對(duì)于中學(xué)教師來說，了解一些情況，更為重要，不僅能加深自己對(duì)數(shù)學(xué)的理解，還可以給希望在不同專業(yè)發(fā)展的同學(xué)提供具體的指導(dǎo)．下面從不同角度介紹大學(xué)數(shù)學(xué)課程．

2.1 大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類與簡(jiǎn)介

在大學(xué)教育中，針對(duì)不同專業(yè)需求，大學(xué)數(shù)學(xué)課程分為：數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)課程、理工類專業(yè)數(shù)學(xué)課程、經(jīng)濟(jì)和管理類專業(yè)數(shù)學(xué)課程、醫(yī)科類專業(yè)數(shù)學(xué)課程、人文類專業(yè)數(shù)學(xué)課程、公選數(shù)學(xué)課程，等等．下面簡(jiǎn)單介紹一下這些不同類別數(shù)學(xué)課程．主要依據(jù)教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)的基本要求，另外，隨機(jī)選擇一些大學(xué)的某些專業(yè)，根據(jù)教學(xué)計(jì)劃，概括出這些專業(yè)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要內(nèi)容．

2.1.1 數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)課程

數(shù)學(xué)類專業(yè)數(shù)學(xué)課程一般分為以下幾類：專業(yè)基礎(chǔ)（或必修）課程、專業(yè)限定選修課程、專業(yè)選修課程．

2.1.2 工科類專業(yè)數(shù)學(xué)課程

工科類專業(yè)數(shù)學(xué)課程一般分為兩類，一類數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，包括：微積分、線性代數(shù)與空間解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；另一類是根據(jù)不同專業(yè)需求確定的專業(yè)數(shù)學(xué)課程．

2.1.3 經(jīng)濟(jì)和管理類專業(yè)數(shù)學(xué)課程

經(jīng)濟(jì)和管理類專業(yè)數(shù)學(xué)課程一般分為兩類，一類數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，包括：微積分、線性代數(shù)與空間解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；另一類是根據(jù)不同專業(yè)需求確定的專業(yè)數(shù)學(xué)課程．

2.1.4 醫(yī)科類專業(yè)數(shù)學(xué)課程

醫(yī)科類專業(yè)數(shù)學(xué)課程一般分為兩類，一類數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程，包括：微積分、線性代數(shù)與空間解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；另一類是根據(jù)不同專業(yè)需求確定的專業(yè)數(shù)學(xué)課程．

2.1.5 人文類專業(yè)數(shù)學(xué)

人文類專業(yè)數(shù)學(xué)課程一般分為兩類，一類主要包括：大學(xué)文科數(shù)學(xué)，這是近些年創(chuàng)設(shè)的課程，正在逐步完善；另一類是根據(jù)不同專業(yè)需求確定的專業(yè)數(shù)學(xué)課程．

2.1.6 公選數(shù)學(xué)課程

很多學(xué)校還開設(shè)了供全校選擇的公選數(shù)學(xué)課程，分為兩種類型，一類是應(yīng)用數(shù)學(xué)課程，例如，數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，等等；另一類是數(shù)學(xué)文化類課程，例如，數(shù)學(xué)文化、古今數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)哲學(xué)，等等．

2.2 工科類專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容基本要求

在大學(xué)諸多專業(yè)中，工科類專業(yè)數(shù)量大，學(xué)生人數(shù)多，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主力軍，工科類專業(yè)基礎(chǔ)課程有大量的數(shù)學(xué)課程，搞清楚這些課程內(nèi)容，就很容易搞清其它專業(yè)類數(shù)學(xué)課程內(nèi)容和要求了．工科類專業(yè)種類是非常豐富的，但是，它們的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程內(nèi)容基本上是一致的，即微積分、線性代數(shù)與空間解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，只是根據(jù)不同專業(yè)需要，有的專業(yè)學(xué)得多一些，有的學(xué)得少一些，一般分為A、B、C等專業(yè)要求，A類專業(yè)學(xué)習(xí)課時(shí)多，內(nèi)容也多一些，要求也高一些．

通過數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程——微積分、線性代數(shù)與空間解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的學(xué)習(xí)，獲得有關(guān)微積分、線性代數(shù)與空間解析幾何、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的“基礎(chǔ)知識(shí)、基本概念、基本理論、基本方法”，并接受基本運(yùn)算技能的訓(xùn)練，為今后學(xué)習(xí)相關(guān)后續(xù)課程奠定必要的連續(xù)量、離散量、隨機(jī)量方面的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)．“培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析與解決問題的能力．”對(duì)于內(nèi)容僅僅提供提綱挈領(lǐng)的介紹，需要詳細(xì)了解老師、同學(xué)可以查閱教育部高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)的網(wǎng)站，這個(gè)網(wǎng)站掛靠在高等教育出版社的網(wǎng)站上，老師、同學(xué)也可以參考相應(yīng)的教材．

“微積分”主要學(xué)習(xí)以下內(nèi)容：函數(shù)、極限、連續(xù)、一元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用、一元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用、多（二）元函數(shù)微分學(xué)及其應(yīng)用、多（二）元函數(shù)積分學(xué)及其應(yīng)用、無窮級(jí)數(shù)、常微分方程．

“線性代數(shù)與空間解析幾何”主要學(xué)習(xí)以下內(nèi)容：行列式、矩陣、幾何向量、維向量與向量空間、線性方程組、矩陣特征值與特征向量、實(shí)二次型、空間曲線與曲面．

“概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)”主要學(xué)習(xí)以下內(nèi)容：隨機(jī)事件與概率、隨機(jī)變量及其分布、多維隨機(jī)變量及其分布、隨機(jī)變量數(shù)字特征、大數(shù)定理和中心極限定理、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念、參數(shù)估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)與回歸分析．

2.3 典型專業(yè)的數(shù)學(xué)課程介紹

為了進(jìn)一步了解大學(xué)數(shù)學(xué)課程，選擇了幾個(gè)典型專業(yè)，簡(jiǎn)介這些專業(yè)所學(xué)的主要內(nèi)容．希望能幫助中學(xué)教師和優(yōu)秀學(xué)生開闊視野，更好地選擇適合自己發(fā)展的專業(yè)．有助于理解大學(xué)數(shù)學(xué)先修課程（Chinese Advanced Placement Mathematical，簡(jiǎn)寫為“CAPM”）的設(shè)置．

2.3.1 北京大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)課程

北京大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)為本科學(xué)生開設(shè)了一百多門數(shù)學(xué)課程[5]，分為：專業(yè)必修課程、專業(yè)限定選修課程、專業(yè)任選修課程，同學(xué)可以根據(jù)老師的建議，也可以根據(jù)自己興趣，選擇選修課學(xué)習(xí)．

學(xué)校為學(xué)生精選了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)課程，包括函數(shù)（分析）類課程：數(shù)學(xué)分析（I）、數(shù)學(xué)分析（II）、數(shù)學(xué)分析（III）、復(fù)變函數(shù)、常微分方程；代數(shù)類課程：高等代數(shù)（I）、高等代數(shù)（II）、計(jì)算概論、抽象代數(shù)；幾何類課程：幾何學(xué)；統(tǒng)計(jì)概率類課程：概率論；主要應(yīng)用類課程：數(shù)學(xué)模型，數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)．通過這些課程可以看出：強(qiáng)調(diào)分析基礎(chǔ)，重視幾何直觀始終是北京大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課的特色．

在選修課程中，為不同研究專業(yè)方向提供了極為廣泛的基礎(chǔ)，最大程度滿足不同興趣學(xué)生的需求，大致可以分為：

不同專業(yè)方向的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課：拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)值代數(shù)、數(shù)值代數(shù)II、大學(xué)生代數(shù)教程、數(shù)理邏輯、微分幾何、偏微分方程、實(shí)變函數(shù)、線性代數(shù)群、應(yīng)用偏微分方程、動(dòng)力系統(tǒng)的計(jì)算及其在分子模擬中的應(yīng)用、應(yīng)用隨機(jī)過程、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、實(shí)變函數(shù)與泛函分析、數(shù)值分析、最優(yōu)化方法、泛函分析（1）、泛函分析（2）、測(cè)度論、集合論與圖論、黎曼幾何引論、同稠論、經(jīng)典力學(xué)的數(shù)學(xué)方法、交換代數(shù)、幾何分析、隨機(jī)分析、遍歷論、低維流形、高等概率論、高等統(tǒng)計(jì)學(xué)、抽象代數(shù)II、辛幾何、代數(shù)拓?fù)涑醪?、李群及其表示、偏微分方程?shù)值解、微分拓?fù)?、代?shù)數(shù)論、復(fù)分析、近代偏微分方程、同調(diào)代數(shù)、隨機(jī)過程論、偏微分方程選講、差分方程、近代數(shù)學(xué)物理方法、初等數(shù)論、微分流形、常微分方程定性理論、模型式、解析數(shù)論、代數(shù)幾何初步、實(shí)分析、組合數(shù)學(xué)等．

數(shù)學(xué)應(yīng)用類課程：應(yīng)用數(shù)學(xué)導(dǎo)論、金融數(shù)學(xué)引論、證券投資學(xué)、抽樣調(diào)查、應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析、壽險(xiǎn)精算、模式識(shí)別、算法設(shè)計(jì)與分析、生存分析與可靠性、最優(yōu)化理論與算法、并行計(jì)算II、有限元方法II、應(yīng)用偏微分方程、數(shù)據(jù)中的數(shù)學(xué)、軟件形式化方法、隨機(jī)模擬方法、符號(hào)計(jì)算、數(shù)字信號(hào)處理、時(shí)間序列分析、密碼學(xué)、空間剖分及其計(jì)算幾何學(xué)的應(yīng)用、統(tǒng)計(jì)計(jì)算、應(yīng)用回歸分析、理論計(jì)算機(jī)科學(xué)基礎(chǔ)、非參數(shù)統(tǒng)計(jì)、風(fēng)險(xiǎn)理論、計(jì)算流體力學(xué)、高等統(tǒng)計(jì)選講、數(shù)學(xué)物理中的反問題、流體力學(xué)引論、生物數(shù)學(xué)物理等．

促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的課程：分析討論班、代數(shù)討論班、幾何討論班、分析討論班（II）、代數(shù)討論班（II）、幾何討論班（II）、研究型學(xué)習(xí)、幾何專題研討班等．

通識(shí)文化類課程：數(shù)值方法：原理、算法及應(yīng)用、普通統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)思維方式與創(chuàng)新、普通統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)的思維方式與創(chuàng)新等．

北京大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院還為研究生開設(shè)豐富的、深入研究方向的數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)應(yīng)用課程．

2.3.2 同濟(jì)大學(xué)幾個(gè)理工專業(yè)數(shù)學(xué)課程

選擇同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用化學(xué)[6]、應(yīng)用物理、生物科學(xué)類、生命科學(xué)（實(shí)驗(yàn)基地班）、土木工程、自動(dòng)化、材料科學(xué)與工程等專業(yè)，這些專業(yè)要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)課程如表1所示．

表1 數(shù)學(xué)課程

2.3.3 北京大學(xué)經(jīng)濟(jì)專業(yè)數(shù)學(xué)課程

經(jīng)濟(jì)和管理有關(guān)的專業(yè)對(duì)數(shù)學(xué)需求越來越多，以北京大學(xué)經(jīng)濟(jì)專業(yè)為例，可以充分感受到這一發(fā)展．

基礎(chǔ)必修課：高等數(shù)學(xué)（B上）、高等數(shù)學(xué)（B下）、線性代數(shù)B、統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率統(tǒng)計(jì)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)[3]．對(duì)于經(jīng)濟(jì)分析類專業(yè)還需學(xué)習(xí)：優(yōu)化應(yīng)用理論、應(yīng)用隨機(jī)過程、應(yīng)用時(shí)間序列分析．

2.3.4 中國人民大學(xué)幾個(gè)文科專業(yè)數(shù)學(xué)課程介紹

中國人民大學(xué)的文學(xué)院、外語學(xué)院、國學(xué)院學(xué)生都需學(xué)習(xí)大學(xué)文科數(shù)學(xué)，哲學(xué)院學(xué)生除了學(xué)習(xí)大學(xué)文科數(shù)學(xué)，還需學(xué)習(xí)線性代數(shù)，會(huì)計(jì)學(xué)院學(xué)生在以上學(xué)習(xí)課程基礎(chǔ)上，還要學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)．

還為所有文科學(xué)生開設(shè)了應(yīng)用類和文化類課程的通選課程，應(yīng)用類包括數(shù)學(xué)建模、普通統(tǒng)計(jì)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)，等等；文化類包括古今數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)文化，等等．

從這些專業(yè)設(shè)置數(shù)學(xué)課程可以看出數(shù)學(xué)在大學(xué)學(xué)習(xí)中所起到的重要作用，如果在中學(xué)奠定好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，對(duì)將來發(fā)展是極為有利的．

3 從大學(xué)數(shù)學(xué)課程引發(fā)的思考

縱觀大學(xué)數(shù)學(xué)課程，會(huì)引發(fā)研究者對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育的一些新的思考．

3.1 基礎(chǔ)性——整體性

無論是理科、工科、經(jīng)濟(jì)科、管理科、文科，需要學(xué)習(xí)的主要課程是一致的，可以分為4類：一類是研究運(yùn)算的課程，例如，高等代數(shù)、線性代數(shù)等；一類是研究圖形的幾何類課程，例如，解析幾何、幾何學(xué)等；一類是運(yùn)用極限思想研究函數(shù)的課程，又稱為分析類課程，例如，微積分或數(shù)學(xué)分析、常微分方程、復(fù)變函數(shù)等；還有一類是研究數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)課程和研究隨機(jī)現(xiàn)象的概率課程．

這些課程都是承上啟下的課程，首先，保證幾乎所有學(xué)科需要使用的數(shù)學(xué)知識(shí)和技能，又為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)；其次，這些課程內(nèi)容是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程的自然延伸．在中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，運(yùn)算是最重要的內(nèi)容，從自然數(shù)運(yùn)算到有理數(shù)運(yùn)算，從實(shí)數(shù)運(yùn)算到復(fù)數(shù)運(yùn)算，從數(shù)運(yùn)算到向量運(yùn)算、再到字母運(yùn)算，不僅學(xué)習(xí)運(yùn)算本身，更主要學(xué)習(xí)運(yùn)算的應(yīng)用，用運(yùn)算求解方程、不等式，用運(yùn)算研究函數(shù)變化，用運(yùn)算探索圖形的位置關(guān)系和度量關(guān)系，等等．圖形是中小學(xué)數(shù)學(xué)課程中另一個(gè)重要的內(nèi)容，從小學(xué)到中學(xué)，逐步掌握直線上的圖形、平面上的圖形，空間上的圖形；先掌握直線、平面組成的圖形，進(jìn)而學(xué)會(huì)研究曲線、曲面組成的圖形；在研究圖形方法上，也從實(shí)驗(yàn)幾何的方法到綜合幾何推理方法，從解析幾何方法到向量幾何方法，還學(xué)習(xí)了用導(dǎo)數(shù)研究圖形的方法．函數(shù)是中小學(xué)數(shù)學(xué)中另一個(gè)重要的研究對(duì)象，小學(xué)函數(shù)概念是“隱形”的，通過實(shí)際問題展現(xiàn)出來，例如，路程、速度與時(shí)間的關(guān)系，總價(jià)、單價(jià)與數(shù)量的關(guān)系，逐步從抽象角度討論“兩個(gè)量之間的關(guān)系”，用正比例、反比例關(guān)系來反映量之間的規(guī)律，建立常量與變量的概念是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)飛躍，為建立函數(shù)奠定了基礎(chǔ)，就這樣，從一個(gè)一個(gè)研究實(shí)際的、具體的函數(shù)，開始一類一類地研究函數(shù)，從初中到高中，逐步掌握了正比例函數(shù)、一次函數(shù)、反比例函數(shù)、一元二次函數(shù)、較一般的冪函數(shù)、指數(shù)與對(duì)數(shù)類函數(shù)、正弦類函數(shù)，以及離散類函數(shù)，如，等差數(shù)列、等比數(shù)列，等等，這些函數(shù)奠定了對(duì)基本初等函數(shù)的認(rèn)識(shí)；研究和認(rèn)識(shí)函數(shù)強(qiáng)調(diào)了兩個(gè)基本角度，整體和局部，單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性、最值等都是整體反映函數(shù)性質(zhì)，導(dǎo)數(shù)作為特殊極限開始了從局部揭示函數(shù)性質(zhì)，建立單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)（整體與局部）聯(lián)系，為學(xué)習(xí)分析和后繼課程奠定思想基礎(chǔ)，運(yùn)算和圖形都是解釋函數(shù)的基本方法；函數(shù)的應(yīng)用是加深函數(shù)認(rèn)識(shí)的主渠道，函數(shù)是描述規(guī)律的基本模型，也是解決許多問題的重要工具．對(duì)擁有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)研究也是中小學(xué)的主要學(xué)習(xí)內(nèi)容，學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容的核心是分辨能力，即能分辨什么問題是通過數(shù)據(jù)分析解決的？什么問題具有隨機(jī)性？這種能力是滲透在小學(xué)、初中、高中學(xué)習(xí)過程中的，它伴隨著統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)不斷提升；掌握數(shù)據(jù)分析過程是另一件滲透在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)過程中的內(nèi)容，收集數(shù)據(jù)、整理（描述）數(shù)據(jù)、發(fā)掘數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息，并用這些信息分析解決問題，隨著學(xué)習(xí)這方面本領(lǐng)會(huì)得到不斷的提升；掌握概率和統(tǒng)計(jì)模型，不斷拓展解決問題的范圍，也是需要不斷提升的能力，在中小學(xué)階段，在概率方面初步學(xué)習(xí)掌握了古典概型、幾何概型、二項(xiàng)分布、超幾何分布等，了解正態(tài)分布、統(tǒng)計(jì)方面初步獨(dú)立性檢驗(yàn)和回歸分析；統(tǒng)計(jì)思維與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)思維有一定區(qū)別，后者比較重視演繹推理，前者更多用到歸納推理，在很多統(tǒng)計(jì)問題中，沒有絕對(duì)的對(duì)錯(cuò)，只有結(jié)合具體情境的好壞．

這一次修訂高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，特別強(qiáng)調(diào)了內(nèi)容結(jié)構(gòu)，主線、主題、核心內(nèi)容，突出了與進(jìn)一步學(xué)習(xí)的：函數(shù)主線、幾何與代數(shù)、統(tǒng)計(jì)與概率，以及強(qiáng)調(diào)應(yīng)用的數(shù)學(xué)建模等主線．這樣就使小學(xué)、初中、高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與進(jìn)一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)構(gòu)成系統(tǒng)、整體，也是解決實(shí)際問題最主要的知識(shí)、技能、方法、思想．

CAPM就是按照這樣思想設(shè)置的，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與應(yīng)用形成系統(tǒng)，使一些優(yōu)秀學(xué)生進(jìn)入到一個(gè)更高學(xué)習(xí)領(lǐng)域，對(duì)于部分高中學(xué)生來說，是合理的、可行的．

3.2 應(yīng) 用

大學(xué)數(shù)學(xué)課程中數(shù)學(xué)應(yīng)用的內(nèi)容越來越廣泛，前面可以看到的僅僅是一部分．在社會(huì)學(xué)、文字學(xué)、語言學(xué)、語音學(xué)、美術(shù)、音樂、體育等學(xué)科領(lǐng)域中，大量使用著數(shù)學(xué)，如何讓更多的教師、中學(xué)生了解數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用是數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育工作者非常重要的任務(wù)．應(yīng)該讓更多教師和中學(xué)生知道數(shù)學(xué)的應(yīng)用不僅僅是把數(shù)學(xué)作為工具直接解決問題，更重要的是數(shù)學(xué)思維的應(yīng)用，具有了好的數(shù)學(xué)思維水平，就能夠自覺用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，用數(shù)學(xué)的思維進(jìn)行思考，用數(shù)學(xué)的語言描述世界，用數(shù)學(xué)的能力解決遇到的問題．在這次課程標(biāo)準(zhǔn)的修訂中，把數(shù)學(xué)建模活動(dòng)作為一條主線，使得廣大中學(xué)生參與到數(shù)學(xué)的應(yīng)用中，親身感受用數(shù)學(xué)解決問題的過程，積累用數(shù)學(xué)解決問題的經(jīng)驗(yàn)．

3.3 文 化

在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，很多學(xué)校都為學(xué)生開設(shè)了一些“數(shù)學(xué)文化”的通識(shí)選修課，包括數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)歷史、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用，等等，在中國歷史的長河中，數(shù)學(xué)并不為統(tǒng)治者重視，數(shù)學(xué)僅僅被作為一種技能，沒有進(jìn)入文化傳統(tǒng)的主流．今天，出現(xiàn)了很大的變化，數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育工作者有義務(wù)、有責(zé)任推動(dòng)數(shù)學(xué)進(jìn)入文化主流，讓更多的人能享受到數(shù)學(xué)思維的好處，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)了這一點(diǎn)，努力讓數(shù)學(xué)文化與數(shù)學(xué)內(nèi)容有機(jī)結(jié)合起來．

3.4 自 主

在大學(xué)數(shù)學(xué)課程中，可以看到一類新的課程形式——討論班（Seminar），例如，北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院從二年級(jí)開始，為學(xué)生開設(shè)了不同的討論班，讓學(xué)生通過自主學(xué)習(xí)方式學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，這對(duì)學(xué)生的鍛煉很大．這種方式已經(jīng)成為國內(nèi)外碩士、博士的主要教學(xué)方式．高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也強(qiáng)調(diào)自主學(xué)習(xí)，尤其在CAPM中，希望這種形式能成為重要的教學(xué)方式，對(duì)于優(yōu)秀學(xué)生來說這種方式也許更適合他們．

4 CAPM發(fā)展趨勢(shì)——“數(shù)學(xué)必修與選修1及先修課程”一體化

中國教育學(xué)會(huì)在一些中學(xué)開展了CAPM和考試的試點(diǎn)工作，實(shí)驗(yàn)工作取得了很多好的經(jīng)驗(yàn)，也發(fā)現(xiàn)了一些問題和挑戰(zhàn)，其中最突出的問題是課程和課時(shí)安排，一般都不能滿足數(shù)學(xué)先修課課時(shí)的要求，即6學(xué)分——108課時(shí)．如何解決這個(gè)問題成為制約先修課程實(shí)施的瓶頸．

數(shù)學(xué)專家委員會(huì)進(jìn)行多次深入討論．提出了“數(shù)學(xué)必修、選修1與先修課程”一體化的方案．這里簡(jiǎn)單介紹一下這個(gè)方案的思想，數(shù)學(xué)必修課程是8學(xué)分，選修1課程是6學(xué)分，一門大學(xué)先修課——微積分是6學(xué)分，這樣，學(xué)完這些課程可以得到20學(xué)分．另外，大學(xué)先修課——微積分內(nèi)容涵蓋了必修和選修1中所有與函數(shù)有關(guān)的知識(shí)，對(duì)這些課程內(nèi)容將進(jìn)行整合，針對(duì)這些學(xué)生的實(shí)際情況，建立“數(shù)學(xué)必修+選修1+大學(xué)先修—微積分”一體化的課程方案，這樣就可以用較少的課時(shí)，學(xué)習(xí)到20學(xué)分的內(nèi)容．“數(shù)學(xué)必修+選修1+大學(xué)先修——微積分”（或解析幾何與線性代數(shù)，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)）一體化的課程方案可以根據(jù)不同學(xué)校的實(shí)際進(jìn)行改進(jìn)，形成有特色的校本課程．

將按照方案建立一批實(shí)驗(yàn)學(xué)校，開展新一輪實(shí)驗(yàn)，摸索經(jīng)驗(yàn)，逐步推廣．

5 CAPM與優(yōu)秀高中學(xué)生發(fā)展

下面討論的問題主要是針對(duì)優(yōu)秀高中學(xué)生，或者說學(xué)有余力的學(xué)生，結(jié)合他們發(fā)展的需求，提出一些分析和建議．

5.1 CAPM與專業(yè)選擇

從前面介紹的大學(xué)數(shù)學(xué)課程設(shè)置，可以看到數(shù)學(xué)在大學(xué)學(xué)習(xí)中的地位和作用，打下好的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，有助于學(xué)好任何一個(gè)專業(yè)，有助于做好任何一項(xiàng)工作，近一階段出現(xiàn)了一種現(xiàn)象，很多專業(yè)的碩士、博士都愿意接受數(shù)學(xué)專業(yè)的本科學(xué)士．

對(duì)于優(yōu)秀高中學(xué)生，對(duì)自己的未來應(yīng)有一些思考，對(duì)于有志于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的同學(xué)，可以有兩種選擇，有一些同學(xué)是從小喜歡接受數(shù)學(xué)難題的挑戰(zhàn)，在競(jìng)賽方面，表現(xiàn)出很好的潛能，當(dāng)然可以繼續(xù)爭(zhēng)取更好的成績(jī)，但是，最好不要僅僅限于數(shù)學(xué)競(jìng)賽的知識(shí)范圍，專門做題，可以系統(tǒng)學(xué)習(xí)一些基礎(chǔ)性內(nèi)容，像微積分、解析幾何與線性代數(shù)，也包括概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)，如何能夠選修一門CAPM，也許會(huì)對(duì)將來發(fā)展更好．作者曾有幸多次與匈牙利著名數(shù)學(xué)家P. Erdos在一個(gè)討論班工作，共同討論過這個(gè)問題，他的建議也是這樣的，對(duì)于優(yōu)秀的天才兒童，除了對(duì)接受難題挑戰(zhàn)有極大熱情，如果還能系統(tǒng)學(xué)習(xí)一些重要的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)也許對(duì)他的發(fā)展會(huì)更好一些，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽人才培養(yǎng)方面，中國有一些做法有些過于功利了．

還有一些優(yōu)秀高中學(xué)生，他們最喜歡的領(lǐng)域不是數(shù)學(xué)，也有些同學(xué)可能還不能確定自己的最愛是什么，他們有精力，有的對(duì)數(shù)學(xué)也有興趣，有的至少不反感，建議他們可以選修一門CAPM，經(jīng)歷一下這種正規(guī)數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練，對(duì)將來學(xué)習(xí)、工作一定會(huì)有幫助．學(xué)習(xí)的動(dòng)力可以憑興趣，也可以憑需要．

5.2 CAPM與數(shù)學(xué)建模活動(dòng)

在教育領(lǐng)域中，如前所述，推動(dòng)數(shù)學(xué)建模活動(dòng)是一個(gè)重要方向．最近，還有一個(gè)很時(shí)髦的領(lǐng)域叫STEM（即科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)——Science、Technology、Engineering、Mathematics）或STEAM（即科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)、數(shù)學(xué)——Science、Technology、Engineering、Art、Mathematics），在一定意義上，可以理解為：用數(shù)學(xué)把科學(xué)、技術(shù)、工程聯(lián)系在一起解決現(xiàn)實(shí)中的問題，后者是用數(shù)學(xué)把科學(xué)、技術(shù)、工程和藝術(shù)聯(lián)系在一起解決現(xiàn)實(shí)中的問題，也可以把STEM或STEAM理解為數(shù)學(xué)建模活動(dòng)，在不同問題中，科學(xué)、技術(shù)、工程、藝術(shù)、數(shù)學(xué)所占“比重”有所不同．

學(xué)習(xí)CAPM，對(duì)于參加數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)一定是有幫助的，不僅僅在思維方面，同時(shí)，也是解決問題的基本工具，特別是參加數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽活動(dòng)會(huì)有直接的幫助．

5.3 CAPM與數(shù)學(xué)高考

論述CAPM與數(shù)學(xué)高考的關(guān)系，可以從兩個(gè)方面講述，一個(gè)是知識(shí)方面，CAPM內(nèi)容包含了所有必修和選修1的內(nèi)容，并且更全面、更深刻，無論是知識(shí)還是方法，對(duì)于解決高考試題會(huì)有更多思路．另一個(gè)方面是大家經(jīng)常說的“高觀點(diǎn)”，學(xué)習(xí)了CAPM，如果學(xué)進(jìn)去了，再來看必修和選修1的內(nèi)容，會(huì)看得“透”一些，就是容易抓住內(nèi)容本質(zhì)，能夠抓住這些內(nèi)容的共性、通性、通法．一般情況下，除了一些特別技巧性問題，對(duì)于基本問題，數(shù)學(xué)家會(huì)很快判定出解決問題的思路．當(dāng)然，他們不會(huì)像中學(xué)教師那么熟練．

應(yīng)對(duì)現(xiàn)在的數(shù)學(xué)高考，需要兩方面的本領(lǐng)，一個(gè)是思維，一個(gè)是熟練，學(xué)習(xí)CAPM對(duì)思維能力提升一定會(huì)有很大幫助．

5.4 CAPM與大學(xué)自主招生

國外的CAPM有兩個(gè)基本功能，一個(gè)作為入學(xué)的條件，一個(gè)可以得到大學(xué)課程學(xué)習(xí)的學(xué)分，在國外拿學(xué)分是需要繳費(fèi)的．在中國會(huì)有一個(gè)過程，文理不分科后，數(shù)學(xué)區(qū)分度會(huì)受到影響，也會(huì)影響高考總成績(jī)區(qū)分度，對(duì)優(yōu)秀大學(xué)就需要用其它的素材來評(píng)價(jià)學(xué)生，CAPM的考試成績(jī)將會(huì)成為重要的素材．現(xiàn)在，各個(gè)學(xué)校都在設(shè)立不同考試，需要建立一定權(quán)威的考試是必然的，這已經(jīng)為國外經(jīng)驗(yàn)證明，中國教育學(xué)會(huì)開創(chuàng)這個(gè)評(píng)價(jià)體系，相信經(jīng)過大家共同努力，經(jīng)過科學(xué)實(shí)驗(yàn)，CAPM的考試結(jié)果一定會(huì)成為大學(xué)自主招生的重要參考．

5.5 CAPM與數(shù)學(xué)競(jìng)賽

CAPM學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽可能不會(huì)有直接的作用，這兩種學(xué)習(xí)和考試思路是不同的，正如前面“CAPM與專業(yè)選擇”中所建議，對(duì)于有數(shù)學(xué)天賦的學(xué)生來說，如果還能系統(tǒng)學(xué)習(xí)一些重要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)也許對(duì)他的發(fā)展會(huì)更好一些．

[1] 王元．?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽之我見[J]．自然雜志，1990，（12）：787-790．

[2] 葉其孝．美國大學(xué)生數(shù)學(xué)模型競(jìng)賽及一些想法[J]．高校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，1989，（4）：137-145．

[3] 北京大學(xué)本科生教學(xué)手冊(cè)（2014年版）[DB/OL]．http://dean.pku.edu.cn/notice/content.php?mc=61431&id= 1428041075, 2017-6-18.

[4] 劉來福．增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)激發(fā)創(chuàng)新精神——介紹北京中學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽[J]．?dāng)?shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2001，（5）：618-622．

[5] 2016年級(jí)專業(yè)培養(yǎng)方案[DB/OL]．http://www.math.pku.edu.cn/static/bkszhaosheng.html#, 2017-6-18.

[6] http://jwc.tongji.edu.cn/index.php?classid=6661, 2017-6-18[Z].

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Chinese Advanced Placement Mathematical and the Development of Excellent Senior High School Students

WANG Shang-zhi1, HU Feng-juan2

(1. School of Mathematical Sciences, Capital Normal University, Beijing 100048, China;2. School of Teacher Education, Capital Normal University, Beijing 100048, China)

The way the excellent senior high school students showed their talent or go to colleges and universities was from single to multiple; to analyze the important role of the college mathematics courses: the classification and introduction of the college mathematics curriculum, the basic requirements of the basic Engineering Majors, the introduction of the mathematics courses for typical majors, the introduction of mathematics courses for some art majors in Remain University of China; to recognize the excellent senior high school students can try to obtain integrity, applicability, culture and autonomy; CAPM enter the high school mathematics elective course Mathematics II, making “mathematics compulsory +elective 1+AP:calculus (or analytic geometry and linear algebra, or probability theory and mathematical statistics)” become the integrated curriculum plan; CAPM become an important way for the excellent senior high school students to show their mathematical talent.

Chinese advanced placement mathematical; college mathematics curriculum classification; excellent senior high school students

G423

A

1004–9894（2017）03–0005–05

2017–06–18

王尚志（1946—），男，北京人，教授，博士生導(dǎo)師，中國教育學(xué)會(huì)大學(xué)先修課程數(shù)學(xué)專家委員會(huì)秘書長、高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組組長，主要從事拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)學(xué)教育研究．