“微元法”在電磁感應問題中的應用

■湖南省新田縣第一中學 唐朝忠

“微元法”在電磁感應問題中的應用

■湖南省新田縣第一中學 唐朝忠

微元法又叫微小變量法,是分析、解決物理問題的常用方法之一。在由導體棒切割磁感線引起的電磁感應現象中,若回路閉合,則導體棒中將產生感應電流,使得導體棒受到安培力的作用,導體棒在安培力的作用下,其速度將變化,速度的變化將導致安培力發生變化,進而導致導體棒的加速度也發生變化。運用微元法求解此類電磁感應問題將會獲得事半功倍的效果。

一、導體棒只受安培力作用

如圖1所示,寬度為L的光滑金屬導軌一端封閉,電阻不計,足夠長。導軌的水平部分處在方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場中。質量為m、電阻為r的導體棒從高度為h的導軌的傾斜部分上由靜止開始滑下,導體棒由于在磁場中受安培力的作用,在導軌的水平部分上滑行距離s后停下。

(1)求導體棒剛滑到導軌的水平部分上時的速度v0。

(2)寫出導體棒在導軌的水平部分上滑行的速度v與在導軌的水平部分上滑行的距離x的函數關系。

解析：(1)導體棒在從靜止開始剛好滑到導軌的水平部分上的過程中,由機械能守恒定律得mgh=mv20,解得v0=

(2)當導體棒在磁場中的速度為v時,受到的安培力大小F=BIL=,安培力安的方向與速度v的方向相反。因為安培力是變力,所以需要使用微元法將變力問題轉化為恒力問題。在極短時間Δt內,導體棒受到的安培力可以看成恒力,設導體棒的加速度為a,則由牛頓第二定律得F安=ma,解得在極短時間Δt內,導體棒速度的變化量為-vΔt,又有vΔt= Δx,因此在時間t內導體棒速度的變化量·vΔt=-,則v= v+Δv=。

點評:微元法是將研究的對象或過程進行無限細分,以達到化變為恒、化曲為直的目的。本題第(2)問利用微元法將變力問題轉化為恒力問題,分析微小恒力所遵循的物理規律,然后將與每個微小恒力相關的物理量累加求和,從而順利求得速度v與位移x的函數關系。

二、導體棒既受安培力又受重力作用

圖2

如圖2所示,在豎直平面內有一邊長為L、質量為m、電阻為R的正方形金屬線框,豎直向下的勻強重力場和水平方向的磁場組成了一個復合場,磁場方向與線框平面垂直,磁感應強度大小隨豎直向下的z軸按B=B0+kz的規律均勻增大。將線框在復合場中以初速度v0水平拋出,重力加速度為g,求:

(1)線框的豎直分速度為v1時,線框中瞬時電流的大小。

(2)如果線框從開始拋出到瞬時速度大小為v2所經歷的時間為t,那么線框在時間t內的豎直分位移大小為多少?

解析：(1)因為線框左右兩邊切割磁感線產生的感應電動勢抵消,線框上下兩邊所在處的磁感應強度大小不同,所以線框中感應電流的大小

(2)線框受重力和安培力作用,其中重力mg為恒力,安培力為變力,因此可以把線框的運動分解為在重力作用下的勻加速運動和在安培力作用下的變加速運動。線框在重力作用下,在時間t內增加的速度(Δv)1=gt。設在極短時間Δt內,變力可以看成恒力,變加速運動可以看成勻加速運動,則線框在安培力作用下的加速度,在極短時間Δt內速度的增加量Δt,又有vzΔt=Δz,因此在時間t內線框因安培力的作用而增加的速度。由運動的合成知在時間t內總的增加的速度為從宏觀上看時間t內速度的增加量為,即解得

點評:本題中線框雖然在復合場中受到重力和安培力兩個力的作用,但是因為重力是恒力,安培力是變力,所以需要先將線框的運動分解成重力作用下的自由落體運動和安培力作用下的變加速運動,再利用微元法將變力問題轉化成恒力問題,最后運用運動的合成求解線框的位移。

三、導體棒受到的重力和安培力不在一條直線上

圖3

如圖3所示,兩平行光滑金屬導軌安裝在一光滑絕緣斜面上,導軌間距為L、足夠長且電阻忽略不計,斜面傾角為α。條形勻強磁場的寬度為d,磁感應強度大小為B,磁場方向與斜面垂直。長度為2d的絕緣桿將導體棒和正方形單匝線框連接在一起形成一個整體裝置,其總質量為m,置于導軌上。導體棒中通以大小恒為I的電流(由外接恒流源產生,圖中未畫出)。線框的邊長為d(d〈L),電阻為R,下邊與磁場區域上邊界重合。將裝置由靜止釋放,導體棒恰好運動到磁場下邊界處返回。導體棒在整個運動過程中始終與導軌垂直,重力加速度為g。求線框第一次穿越磁場所需的時間t0。

解析：設線框剛離開磁場下邊界時的速度為v1,則線框將繼續向下運動2d,由動能定理得,解得線框在第一次穿越磁場的過程中,裝置在磁場中受到的合力F=mgsinα-F',感應電動勢ε=Bdv,感應電流安培力F'=BI'd,由牛頓第二定律可知,在t到t+Δt時間內,有Δv=,則即解得t=0

點評:本題中裝置受到的重力和安培力不在一條直線上,如果按照例2的方法將導體棒的運動分解成在重力作用下的運動和在安培力作用下的變加速運動,則會使解題過程煩瑣,且容易出錯。

(責任編輯 張 巧)