■湖南省新田縣第一中學 歐衛衛

圓錐曲線錯點多 審題求解細斟酌

■湖南省新田縣第一中學 歐衛衛

學習圓錐曲線常常會出現以下錯誤:對橢圓的定義理解不透、忽視焦點位置、求動點的軌跡方程不排除不滿足條件的點、忽視直線的斜率不存在的情形等。

錯點一、對橢圓的定義理解不透

已知F1、F2為兩個定點,動點P滿足|PF1|+|PF2|=2017,則動點P的軌跡是( )。

A.橢圓 B.圓 C.線段 D.不確定

錯解:由橢圓的定義知,動點P的軌跡是橢圓,故選A。

錯因：對橢圓的定義理解不透徹,認為點P到兩點的距離之和為常數的點的軌跡是橢圓。

正解：依題意,①當兩定點F1、F2的距離|F1F2|〈2017時,動點P的軌跡是以F1、F2為焦點的橢圓;②當兩定點F1、F2的距離|F1F2|=2017時,動點P的軌跡是線段|F1F2|;③當兩定點F1、F2的距離|F1F2|〉2017時,動點P的軌跡不存在。故選D。

對比練習1：已知雙曲線x2-y2=25的左、右焦點為F1、F2,點P在雙曲線上,若|PF1|=18,則|PF2|=_________。

解析：由x2-y2=25得,所以2a=10。因為|PF1|=18,由||PF1|-|PF2||=2a=10得|PF2|=18-10=8或|PF2|=18+10=28。所以|PF2|=8或28。

錯點二、忽視焦點位置

錯點三、求動點的軌跡方程不排除不滿足條件的點

已知定點A(0,7),B(0,-7), C(12,2),以點C為一個焦點作過A、B的橢圓,求另一個焦點F的軌跡方程。

錯解:設F(x,y)為軌跡上的任意一點,依題意,得|FA|+|CA|=|FB|+|CB|= 2a(a表示橢圓的長半軸長)。所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=-=2,所以|FA|-|FB|=2。由雙曲線的定義知,F點在以A、B為焦點,2為實軸長的雙曲線上,所以點F的軌跡方程是y2-。

錯因：利用雙曲線定義求方程,要注意三點:(1)距離之差的絕對值;(2)2a〈|F1F2|; (3)焦點所在坐標軸的位置。點F的軌跡是雙曲線的下支,一定要分清是差的絕對值為常數,還是差為常數。

正解：設F(x,y)為軌跡上的任意一點,依題意,得|FA|+|CA|=|FB|+|CB|= 2a(a表示橢圓的長半軸長)。所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=122+92-122+(-5)2=2,所以|FA|-|FB|=2〈14。由雙曲線的定義知,F點在以A、B為焦點,2為實軸長的雙曲線的下支上,所以點F的軌跡方程是

對比練習3：若動點M與兩個定點A(3, 0),B(3,0)構成的三角形的周長為16,則動點M的軌跡方程為________。

解析：因為A、B是兩定點,|AB|=6。又三角形的周長為16,所以|MA|+|MB|= 10,由橢圓的定義知動點M的軌跡是以A、B

錯點四、忽視直線的斜率不存在的情形

(2)當AB與x軸不垂直時,解題過程同錯解。綜上所述,△AOB面積的最大值為

對比練習4：求過點(0,1)的直線,使它與拋物線y2=2x僅有一個交點。

解析：①當所求直線的斜率k不存在,即直線垂直x軸時,因為過點(0,1),所以x= 0,即y軸,正好與拋物線y2=2x相切。

②當所求直線的斜率k=0時,直線為y=1,直線平行x軸,正好與拋物線y2=2x只有一個交點。

③當k≠0時,設所求的過點(0,1)的直線為y=kx+1,則,所以k2x2+ (2k-2)x+1=0,令Δ=0,解得k=。所以所求直線為y=x+1。

(責任編輯 王福華)