運用動量、能量觀點解決電磁感應綜合問題

■河北省衡水市鄭口中學 王洪亞

運用動量、能量觀點解決電磁感應綜合問題

■河北省衡水市鄭口中學 王洪亞

在力學知識與電磁感應的綜合問題中,往往需要運用牛頓第二定律、動能定理、功能關系、動量定理、動量守恒定律,以及能量守恒定律等物理基本規(guī)律。

一、動量觀點的運用

求解導體棒在磁場中做非勻變速運動的問題時,應用動量定理可以由動量變化來求變力的沖量,避免由于加速度變化而導致的運動學有關公式不能使用的麻煩,從而解決應用牛頓運動定律不易解答的問題。

如圖1所示,在光滑水平面上,一個豎直向上的勻強磁場分布在寬度為l的區(qū)域內。一個邊長為a的正方形閉合導線框(a〈l)以初速度v0垂直于磁場邊界沿水平面向右方向滑過該磁場區(qū)域,已知該導線框滑出磁場時的速度為v,則該導線框完全進入磁場中時的速度大小( )。

圖1

解析：導線框進入磁場和離開磁場時,由于切割磁感線而在導線框中產生感應電流,該感應電流受到安培力的作用,將改變導線框的運動狀態(tài)。因為導線框的速度和加速度均發(fā)生變化,所以運用動力學方法是不容易求解相關物理量的。若注意到導線框進入磁場和離開磁場時的磁通量變化大小是相等的,則由動量定理可求得安培力在極短時間內的沖量F·Δt=BIL·Δt=BLΔΦ。設R導線框完全進入磁場中時的速度為vx,則對導線框進入磁場的過程應用動量定理得

二、能量觀點的運用

電磁感應的過程實質上是不同形式能量轉化的過程。在電磁感應過程中產生的感應電流在磁場中必定受到安培力的作用,而要維持安培力的存在,必須有其他力克服安培力做功,即有其他形式的能轉化為電能。克服安培力做多少功,就有多少其他形式的能轉化為電能。當感應電流通過用電器時,電能轉化為內能。因此在電磁感應過程中的能量轉化特點為:機械能或其他能→電能→內能(焦耳熱)。應用能量守恒定律求解電磁感應的內能問題的基本思路為:先進行正確的受力分析,再判斷哪些力做功,做的是正功還是負功,然后明確有哪些形式的能量參與轉化,哪些能量增加哪些能量減少,最后根據能量守恒定律列式求解。

圖2

例如:如圖2所示,在水平放置的光滑平行金屬導軌上有一質量為m的金屬棒ab,導軌左端連接電阻R,其他電阻均不計,磁感應強度為B的勻強磁場垂直于導軌平面向下,金屬棒在一水平恒力F作用下由靜止開始向右運動,則隨著金屬棒運動速度的增大,感應電動勢E=BLv增大,回路中電流增大,金屬棒所受安培力F=BIL也安增大,故其加速度減小,即金屬棒做加速度減小的加速運動。當金屬棒最終做勻速運動時,外力F做功的功率等于電路中的電功率。在金屬棒運動的過程中,外力F對金屬棒做的功等于電路中產生的電能與金屬棒增加的動能之和,金屬棒克服安培力做的功等于電路中產生的電能。線運動,這時一定有當ab邊越過虛線L2的瞬間,導線框的上下兩邊均切割磁感線,該兩邊均受向上的安培力,且F安'=4F安,故導線框有向上的加速度而做減速運動。當ab邊運動到虛線L3之前的某個時刻,導線框又開始以速度v2做勻速直線運動,此時應有,解得v=。在導線框下落的過程中,盡管重力做了正功,但是并沒有出現(xiàn)某些同學所期望的v2〉v1。這些同學之所以會有這種錯誤認識,實際上是由忽視了安培力做負功造成的。在導線框從靜止開始到速度變?yōu)関2的過程中,設導線框的動能變化量大小為ΔEk,重力對導線框做功大小為W1,安培力對導線框做功大小為W2,則根據動能定理得ΔEk=機械能的減少量ΔE= W1-ΔEk=W2,即機械能的減少量等于導線框中產生的內能。

圖3

再如:如圖3所示,水平虛線L1與L2、L2與L3之間的距離均為l,且被虛線分成的兩個區(qū)域中分別有垂直于紙面向外、向里的勻強磁場,磁感應強度大小均為B。一個邊長也是l的正方形導線框,從虛線L1上方一定高處由靜止開始自由下落,當ab邊剛越過虛線L1進入磁場時,恰好以速度v1做勻速直如圖4所示,“凸”字形硬質金屬線框的質量為m,相鄰各邊互相垂直,且處于同一豎直平面內,ab邊長為l,cd邊長為2l, ab邊與cd邊平行,間距為2l。勻強磁場區(qū)域的上下邊界均水平,磁場方向垂直于線框所在平面。將線框由靜止釋放時, cd邊到磁場上邊界的距離為2l,從cd邊進入磁場直到ef、pq邊進入磁場前,線框做勻速運動。在ef、pq邊離開磁場后,ab邊離開磁場前,線框又做勻速運動。線框在完全穿過磁場區(qū)域的過程中產生的熱量為Q,線框在下落過程中始終處于原豎直平面內,且ab、cd邊保持水平,重力加速度為g,求:

圖4

(1)ab邊將離開磁場做勻速運動時的速度大小與cd邊剛進入磁場做勻速運動時的速度大小的比值。

(2)磁場上下邊界間的距離H。

解析：(1)設磁感應強度大小為B,cd邊剛進入磁場做勻速運動時的速度為v1,cd邊切割磁感線產生的感應電動勢為E1,由法拉第電磁感應定律得E1=2Blv1。設線框的總電阻為R,此時線框中的電流為I1,則由閉合電路歐姆定律得。設此時線框所受安培力為F1,則F1=2BI1l,由平衡條件得mg=F。聯(lián)立以上各式解得設ab邊離開磁場之前,線框做勻速運動時的速度為v,同理得因此

三、動量觀點和能量觀點的綜合運用

在雙導體棒切割磁感線的電磁感應問題中,由于兩根導體棒所受的安培力等大反向,合外力為零,若不受其他外力,則兩導體棒的總動量守恒,故解決此類問題往往需要綜合應用動量守恒定律和能量守恒定律。

如圖5所示,在光滑水平面上停放著一小車,小車上固定一邊長L=0.5m的正方形金屬線框abcd,線框的總電阻R=0.25Ω,小車與線框的總質量m=0.5kg。在小車的右側,有一寬度大于線框邊長,具有理想邊界的勻強磁場,磁感應強度大小B=1T,方向水平且與線框平面垂直。現(xiàn)給小車一水平速度使其向右運動并能穿過磁場,當線框的ab邊剛進入磁場時,測得小車的加速度a0=10m/s2。求:

(1)線框的ab邊剛進入磁場時,小車的速度大小。

(2)從線框的ab邊剛進入磁場開始,到其完全離開磁場,線框中產生的焦耳熱。

圖5

解析：(1)設線框剛進入磁場時,小車的速度為v0,則ab邊切割磁感線產生的感應電動勢E=BLv,線框中的電流I=E,根據牛頓第二定律得BIL=ma0,解得v0=5m/s。

(2)設線框全部進入磁場時,小車的速度為v1,線框在進入磁場的過程中,線框中的平均電流為,所用時間為Δt,則,解得v=14m/s。設線框完全離開磁場時,小車的速度為v2,線框在離開磁場的過程中,線框中的平均電流為I,所用時間為Δt,則Δt=mv-mv,解得v=12123m/s。線框從剛進入磁場到完全離開磁場產生的焦耳熱應該等于系統(tǒng)損失的機械能,即

1.如圖6所示,平行金屬導軌與水平面間的夾角為θ,導軌電阻不計,與阻值為R的定值電阻相連,勻強磁場垂直穿過導軌平面,磁感應強度大小為B。一質量為m、長度為l的導體棒從ab位置以平行于導軌平面、大小為v的初速度向上運動,最遠到達a'b'位置,滑行的距離為s。導體棒的電阻也為R,與導軌間的動摩擦因數為μ,則在導體棒上滑的過程中( )。

圖6

圖7

2.如圖7所示,一水平方向的勻強磁場區(qū)域的上下邊緣間的距離為h,磁感應強度大小為B,一寬度為b (b〈h)、長度為l、電阻為R、質量為m的矩形導體線框緊貼磁場區(qū)域上邊緣從靜止起豎直下落,當線框的PQ邊到達磁場下邊緣時,恰好開始做勻速運動。求:

(1)線框的MN邊剛好進入磁場時,線框的速度大小。

(2)線框從開始下落到剛好完全進入磁場所經歷的時間。

3.如圖8所示,兩根足夠長的固定平行金屬導軌位于同一水平面內,導軌間的距離為L,導軌上橫放著兩根導體棒ab和cd。已知兩導體棒的質量均為m,電阻均為R,導軌光滑且電阻不計。在整個導軌平面內有豎直向上的勻強磁場,磁感應強度大小為B。開始時,兩導體棒ab和cd有方向相反的水平初速度,且二者初速度大小分別為v0、2v0,求:

(1)兩導體棒從開始運動到最終達穩(wěn)定狀態(tài),回路中產生的焦耳熱。