運(yùn)用動(dòng)量、能量觀點(diǎn)解決電磁感應(yīng)綜合問題

■河北省衡水市鄭口中學(xué) 王洪亞

運(yùn)用動(dòng)量、能量觀點(diǎn)解決電磁感應(yīng)綜合問題

■河北省衡水市鄭口中學(xué) 王洪亞

在力學(xué)知識(shí)與電磁感應(yīng)的綜合問題中,往往需要運(yùn)用牛頓第二定律、動(dòng)能定理、功能關(guān)系、動(dòng)量定理、動(dòng)量守恒定律,以及能量守恒定律等物理基本規(guī)律。

一、動(dòng)量觀點(diǎn)的運(yùn)用

求解導(dǎo)體棒在磁場中做非勻變速運(yùn)動(dòng)的問題時(shí),應(yīng)用動(dòng)量定理可以由動(dòng)量變化來求變力的沖量,避免由于加速度變化而導(dǎo)致的運(yùn)動(dòng)學(xué)有關(guān)公式不能使用的麻煩,從而解決應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律不易解答的問題。

如圖1所示,在光滑水平面上,一個(gè)豎直向上的勻強(qiáng)磁場分布在寬度為l的區(qū)域內(nèi)。一個(gè)邊長為a的正方形閉合導(dǎo)線框(a〈l)以初速度v0垂直于磁場邊界沿水平面向右方向滑過該磁場區(qū)域,已知該導(dǎo)線框滑出磁場時(shí)的速度為v,則該導(dǎo)線框完全進(jìn)入磁場中時(shí)的速度大小( )。

圖1

解析：導(dǎo)線框進(jìn)入磁場和離開磁場時(shí),由于切割磁感線而在導(dǎo)線框中產(chǎn)生感應(yīng)電流,該感應(yīng)電流受到安培力的作用,將改變導(dǎo)線框的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。因?yàn)閷?dǎo)線框的速度和加速度均發(fā)生變化,所以運(yùn)用動(dòng)力學(xué)方法是不容易求解相關(guān)物理量的。若注意到導(dǎo)線框進(jìn)入磁場和離開磁場時(shí)的磁通量變化大小是相等的,則由動(dòng)量定理可求得安培力在極短時(shí)間內(nèi)的沖量F·Δt=BIL·Δt=BLΔΦ。設(shè)R導(dǎo)線框完全進(jìn)入磁場中時(shí)的速度為vx,則對(duì)導(dǎo)線框進(jìn)入磁場的過程應(yīng)用動(dòng)量定理得

二、能量觀點(diǎn)的運(yùn)用

電磁感應(yīng)的過程實(shí)質(zhì)上是不同形式能量轉(zhuǎn)化的過程。在電磁感應(yīng)過程中產(chǎn)生的感應(yīng)電流在磁場中必定受到安培力的作用,而要維持安培力的存在,必須有其他力克服安培力做功,即有其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能。克服安培力做多少功,就有多少其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能。當(dāng)感應(yīng)電流通過用電器時(shí),電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。因此在電磁感應(yīng)過程中的能量轉(zhuǎn)化特點(diǎn)為:機(jī)械能或其他能→電能→內(nèi)能(焦耳熱)。應(yīng)用能量守恒定律求解電磁感應(yīng)的內(nèi)能問題的基本思路為:先進(jìn)行正確的受力分析,再判斷哪些力做功,做的是正功還是負(fù)功,然后明確有哪些形式的能量參與轉(zhuǎn)化,哪些能量增加哪些能量減少,最后根據(jù)能量守恒定律列式求解。

圖2

例如:如圖2所示,在水平放置的光滑平行金屬導(dǎo)軌上有一質(zhì)量為m的金屬棒ab,導(dǎo)軌左端連接電阻R,其他電阻均不計(jì),磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場垂直于導(dǎo)軌平面向下,金屬棒在一水平恒力F作用下由靜止開始向右運(yùn)動(dòng),則隨著金屬棒運(yùn)動(dòng)速度的增大,感應(yīng)電動(dòng)勢E=BLv增大,回路中電流增大,金屬棒所受安培力F=BIL也安增大,故其加速度減小,即金屬棒做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)金屬棒最終做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí),外力F做功的功率等于電路中的電功率。在金屬棒運(yùn)動(dòng)的過程中,外力F對(duì)金屬棒做的功等于電路中產(chǎn)生的電能與金屬棒增加的動(dòng)能之和,金屬棒克服安培力做的功等于電路中產(chǎn)生的電能。線運(yùn)動(dòng),這時(shí)一定有當(dāng)ab邊越過虛線L2的瞬間,導(dǎo)線框的上下兩邊均切割磁感線,該兩邊均受向上的安培力,且F安'=4F安,故導(dǎo)線框有向上的加速度而做減速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ab邊運(yùn)動(dòng)到虛線L3之前的某個(gè)時(shí)刻,導(dǎo)線框又開始以速度v2做勻速直線運(yùn)動(dòng),此時(shí)應(yīng)有,解得v=。在導(dǎo)線框下落的過程中,盡管重力做了正功,但是并沒有出現(xiàn)某些同學(xué)所期望的v2〉v1。這些同學(xué)之所以會(huì)有這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),實(shí)際上是由忽視了安培力做負(fù)功造成的。在導(dǎo)線框從靜止開始到速度變?yōu)関2的過程中,設(shè)導(dǎo)線框的動(dòng)能變化量大小為ΔEk,重力對(duì)導(dǎo)線框做功大小為W1,安培力對(duì)導(dǎo)線框做功大小為W2,則根據(jù)動(dòng)能定理得ΔEk=機(jī)械能的減少量ΔE= W1-ΔEk=W2,即機(jī)械能的減少量等于導(dǎo)線框中產(chǎn)生的內(nèi)能。

圖3

再如:如圖3所示,水平虛線L1與L2、L2與L3之間的距離均為l,且被虛線分成的兩個(gè)區(qū)域中分別有垂直于紙面向外、向里的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B。一個(gè)邊長也是l的正方形導(dǎo)線框,從虛線L1上方一定高處由靜止開始自由下落,當(dāng)ab邊剛越過虛線L1進(jìn)入磁場時(shí),恰好以速度v1做勻速直如圖4所示,“凸”字形硬質(zhì)金屬線框的質(zhì)量為m,相鄰各邊互相垂直,且處于同一豎直平面內(nèi),ab邊長為l,cd邊長為2l, ab邊與cd邊平行,間距為2l。勻強(qiáng)磁場區(qū)域的上下邊界均水平,磁場方向垂直于線框所在平面。將線框由靜止釋放時(shí), cd邊到磁場上邊界的距離為2l,從cd邊進(jìn)入磁場直到ef、pq邊進(jìn)入磁場前,線框做勻速運(yùn)動(dòng)。在ef、pq邊離開磁場后,ab邊離開磁場前,線框又做勻速運(yùn)動(dòng)。線框在完全穿過磁場區(qū)域的過程中產(chǎn)生的熱量為Q,線框在下落過程中始終處于原豎直平面內(nèi),且ab、cd邊保持水平,重力加速度為g,求:

圖4

(1)ab邊將離開磁場做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小與cd邊剛進(jìn)入磁場做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度大小的比值。

(2)磁場上下邊界間的距離H。

解析：(1)設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,cd邊剛進(jìn)入磁場做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v1,cd邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢為E1,由法拉第電磁感應(yīng)定律得E1=2Blv1。設(shè)線框的總電阻為R,此時(shí)線框中的電流為I1,則由閉合電路歐姆定律得。設(shè)此時(shí)線框所受安培力為F1,則F1=2BI1l,由平衡條件得mg=F。聯(lián)立以上各式解得設(shè)ab邊離開磁場之前,線框做勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)的速度為v,同理得因此

三、動(dòng)量觀點(diǎn)和能量觀點(diǎn)的綜合運(yùn)用

在雙導(dǎo)體棒切割磁感線的電磁感應(yīng)問題中,由于兩根導(dǎo)體棒所受的安培力等大反向,合外力為零,若不受其他外力,則兩導(dǎo)體棒的總動(dòng)量守恒,故解決此類問題往往需要綜合應(yīng)用動(dòng)量守恒定律和能量守恒定律。

如圖5所示,在光滑水平面上停放著一小車,小車上固定一邊長L=0.5m的正方形金屬線框abcd,線框的總電阻R=0.25Ω,小車與線框的總質(zhì)量m=0.5kg。在小車的右側(cè),有一寬度大于線框邊長,具有理想邊界的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B=1T,方向水平且與線框平面垂直。現(xiàn)給小車一水平速度使其向右運(yùn)動(dòng)并能穿過磁場,當(dāng)線框的ab邊剛進(jìn)入磁場時(shí),測得小車的加速度a0=10m/s2。求:

(1)線框的ab邊剛進(jìn)入磁場時(shí),小車的速度大小。

(2)從線框的ab邊剛進(jìn)入磁場開始,到其完全離開磁場,線框中產(chǎn)生的焦耳熱。

圖5

解析：(1)設(shè)線框剛進(jìn)入磁場時(shí),小車的速度為v0,則ab邊切割磁感線產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢E=BLv,線框中的電流I=E,根據(jù)牛頓第二定律得BIL=ma0,解得v0=5m/s。

(2)設(shè)線框全部進(jìn)入磁場時(shí),小車的速度為v1,線框在進(jìn)入磁場的過程中,線框中的平均電流為,所用時(shí)間為Δt,則,解得v=14m/s。設(shè)線框完全離開磁場時(shí),小車的速度為v2,線框在離開磁場的過程中,線框中的平均電流為I,所用時(shí)間為Δt,則Δt=mv-mv,解得v=12123m/s。線框從剛進(jìn)入磁場到完全離開磁場產(chǎn)生的焦耳熱應(yīng)該等于系統(tǒng)損失的機(jī)械能,即

1.如圖6所示,平行金屬導(dǎo)軌與水平面間的夾角為θ,導(dǎo)軌電阻不計(jì),與阻值為R的定值電阻相連,勻強(qiáng)磁場垂直穿過導(dǎo)軌平面,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。一質(zhì)量為m、長度為l的導(dǎo)體棒從ab位置以平行于導(dǎo)軌平面、大小為v的初速度向上運(yùn)動(dòng),最遠(yuǎn)到達(dá)a'b'位置,滑行的距離為s。導(dǎo)體棒的電阻也為R,與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,則在導(dǎo)體棒上滑的過程中( )。

圖6

圖7

2.如圖7所示,一水平方向的勻強(qiáng)磁場區(qū)域的上下邊緣間的距離為h,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,一寬度為b (b〈h)、長度為l、電阻為R、質(zhì)量為m的矩形導(dǎo)體線框緊貼磁場區(qū)域上邊緣從靜止起豎直下落,當(dāng)線框的PQ邊到達(dá)磁場下邊緣時(shí),恰好開始做勻速運(yùn)動(dòng)。求:

(1)線框的MN邊剛好進(jìn)入磁場時(shí),線框的速度大小。

(2)線框從開始下落到剛好完全進(jìn)入磁場所經(jīng)歷的時(shí)間。

3.如圖8所示,兩根足夠長的固定平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi),導(dǎo)軌間的距離為L,導(dǎo)軌上橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd。已知兩導(dǎo)體棒的質(zhì)量均為m,電阻均為R,導(dǎo)軌光滑且電阻不計(jì)。在整個(gè)導(dǎo)軌平面內(nèi)有豎直向上的勻強(qiáng)磁場,磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。開始時(shí),兩導(dǎo)體棒ab和cd有方向相反的水平初速度,且二者初速度大小分別為v0、2v0,求:

(1)兩導(dǎo)體棒從開始運(yùn)動(dòng)到最終達(dá)穩(wěn)定狀態(tài),回路中產(chǎn)生的焦耳熱。