■江蘇省常州市第二中學 黃 雯

立足基本方法 提高思維層次
——例談解析幾何問題的解題策略

■江蘇省常州市第二中學 黃 雯

圓錐曲線是高考考查的重點內容,在填空題與解答題中均有體現(xiàn)。填空題綜合性較小,主要考查圓錐曲線的定義、標準方程和簡單的幾何性質。解答題除了考查圓錐曲線的通性通法和基本知識,還經常與函數(shù)、不等式、向量等知識結合起來構成難度較大的綜合題,往往滲透著數(shù)形結合、化歸轉化、函數(shù)與方程等數(shù)學思想。本文圍繞解析幾何題如何優(yōu)化過程、減小運算量、提高思維層次、正確解出結果的話題進行研討。

一、最值與范圍問題——構建目標函數(shù)

如圖1,點P(0,-1)是橢圓C1:的一個頂點,橢圓C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑。l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D。

圖1

(1)求橢圓C1的方程;

(2)求△ABD面積S的取值范圍。

解析：(1)橢圓C1的方程為

(2)設A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0, y0),直線l1的方程為y=kx-1(k一定存在),則直線l2的方程為x+ky+k=0。

解法1:構建二次函數(shù)。

感悟：解決圓錐曲線中的最值與范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和不等關系,根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍。因此,求解這類問題的關鍵是建立關于某個變量的目標函數(shù),在建立函數(shù)的過程中要根據(jù)題意把需要的量都用我們選用的變量表示,有時在建立關系的過程中也會采用多個變量,只要在最后求解時把多個變量轉化為單個變量即可,同時要特別注意變量的取值范圍。在建立了目標函數(shù)之后,我們經常將其轉化為二次函數(shù)、雙曲線型函數(shù)、有理分式函數(shù)、三角函數(shù)等,關鍵是巧用換元法。

二、定點定值問題——從向量的角度轉化

已知圓C:(x-3)2+(y-4)2= 4,直線l1過定點A(1,0)。

(1)若l1與圓相切,求l1的方程。

(2)若l1與圓相交于P、Q兩點,線段PQ的中點為M,又l1與l2:x+2y+2=0的交點為N,判斷AM·AN是否為定值。若是,請求出定值;若不是,請說明理由。

解析：(1)①若直線l1的斜率不存在,即直線l1的方程為x=1,符合題意。

②若直線l1的斜率存在,設直線l1的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0。由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于圓C的半徑,即解得k=,此時直線l1的方程為3x-4y-3=0。綜上可知,直線l1的方程為x=1或3x-4y-3=0。

解法2:設點N(x,y),因為N在直線l2上,所以x+2y=-2。

感悟：處理本題時,若將直線l1的方程y=k(x-1)與圓C的方程聯(lián)立,用k表示出弦PQ的中點M的坐標,再求出l1與l2的交點N的坐標,最后代入計算AM·AN的值,這個思路清晰,但運算繁冗。而向量具有代數(shù)與幾何形式的雙重屬性,與解析幾何的本質同屬一脈,在解決線段長度問題時,可以把長度問題轉化為向量問題進行優(yōu)化處理。本題因為A共線,所以AM· AN可以用表示,與單純的計算長度相比,顯得更為方便簡潔。

三、“設而不求”與“設而求之”

(1)求橢圓C的方程。

(2)設動直線l與兩定直線l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分別交于P、Q兩點。若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點,試探究:△OPQ的面積是否存在最小值?若存在,求出該最小值;若不存在,請說明理由。

解析：(1)橢圓方程為

(2)當直線l的斜率不存在時,方程為x=±4,此時S△OPQ=8。

解法1:兩直線l1:x-2y=0和l2:x+ 2y=0可統(tǒng)一表示為x2-4y2=0,由得(1-4k2)x2-8kmx-4m2=0,由韋達定理,得

感悟：解析幾何的本質就是將抽象的幾何問題轉化為易于計算的代數(shù)問題,“設而不求”和“設而求之”都是解析幾何本質的體現(xiàn)。很多時候,采用“設而不求”的策略可以使復雜的問題簡單化,但是再好的方法也有其適用的范圍,且這一方法有時對解題技巧及思維有較高的要求。例如本題第(2)問的解法2采用“設而求之”的方法,解題過程自然簡潔,從而收到準確、快速的解題效果。

四、借形助數(shù)，事半功倍

已知定點A(-1,0),圓C:x2+ y2-2x-23y+3=0。

(1)過點A向圓C引切線,求切線長;

(2)過點A作直線l1交圓C于P、Q兩點,且求直線l1的斜率k;

(3)定點M、N在直線l2:x=1上,對于圓C上任意一點R都滿足RN=3RM,試求M、N兩點的坐標。

解析：(1)圓C:x2+y2-2x-23y+ 3=0,可化為(x-1)2+(y-3)2=1。如圖2,過點A作圓C的切線,切點為T,連接AC、CT,故

(2)解法1:由切割線定理,AT2=AP· AQ,則6=AP·AQ=2AP2,所以AP=PQ= 3,所以圓心C到直線l1的距離,由題意知直線l的斜1率一定存在,設l1:y= k(x+1),即kx-y+k=0,所以

解法2:如圖3,取線段PQ的中點H,連接CP、CH,設CH=d,PH=a,則AP=2a。在Rt△CPH中,CH2+PH2=CP2,即a2+d2=1。在Rt△CAH中,CH2+AH2=AC2,即9a2+d2=7。解得以下同解法1。

圖2

圖3

感悟：在解答解析幾何問題的過程中,幾何條件的轉化對計算的難易有時起著決定性的作用,數(shù)形結合思想可以使某些抽象的數(shù)學問題直觀化、生動化,能夠變抽象思維為形象思維,有助于把握數(shù)學問題的本質。例如本題第(2)問,如果能將直線與圓相切的條件用好,可以收到事半功倍的效果。

(責任編輯 王福華)